中小口徑次鏡支撐結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能分析

賈慶蓮，鄧文淵

（中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春 130033）

在現(xiàn)代望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中，卡塞格林系統(tǒng)由于在主鏡和次鏡之間沒有中間像，具有結(jié)構(gòu)緊湊、尺寸小、筒長短以及軸上分辨率高等特點(diǎn)得到廣泛的應(yīng)用［1，2］。對(duì)次鏡支撐結(jié)構(gòu)而言，一般要求結(jié)構(gòu)簡單、易于裝配、有良好的剛性及穩(wěn)定性，而且要求遮攔比小。在實(shí)際使用過程中，既有口徑在幾百毫米的小口徑系統(tǒng)，也有口徑多達(dá)幾米的大型望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)［3］，這就對(duì)次鏡的支撐結(jié)構(gòu)提出了很多要求，選擇合適的支撐結(jié)構(gòu)成為影響望遠(yuǎn)系統(tǒng)性能的一個(gè)關(guān)鍵因素。

在常用的次鏡支撐結(jié)構(gòu)中，典型的有三翼對(duì)稱結(jié)構(gòu)、三翼偏置結(jié)構(gòu)、四翼十字型對(duì)稱結(jié)構(gòu)以及四翼十字型偏置結(jié)構(gòu)等［4-7］。這些結(jié)構(gòu)的共同點(diǎn)是在次鏡與次鏡支架之間采用薄片梁連接，這種筋板式的薄片梁如果設(shè)計(jì)合理即可以保證整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，又可以盡量減小遮攔比。

圖1 次鏡支撐結(jié)構(gòu)Fig.1 Supporting structure of second mirror

圖2 次鏡支撐結(jié)構(gòu)的一階振型Fig.2 First order resonant model for the structure of second mirror

在影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的因素中，梁片的厚度和寬度越大，則穩(wěn)定性越好，主、次鏡的口徑差越大，遮攔比越小，有利于光學(xué)系統(tǒng)優(yōu)質(zhì)成像，但也同時(shí)加長了梁片長度，降低了支撐結(jié)構(gòu)的剛度及諧振頻率。

因此分析梁片的厚度變化及系統(tǒng)的口徑變化對(duì)支撐結(jié)構(gòu)的諧振頻率及軸向變形的影響，并由此針對(duì)一定的口徑選取合適的梁片及結(jié)構(gòu)是望遠(yuǎn)鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)的前提，也正是本文的研究重點(diǎn)。

1 次鏡支撐結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型

目前典型的光機(jī)結(jié)構(gòu)中，次鏡支撐結(jié)構(gòu)如圖1所示。為了使問題簡化，假定次鏡組件的質(zhì)量沿圓周方向和光軸方向均勻分布，那么連接次鏡支撐座與次鏡之間的薄片梁在支撐端就會(huì)受到均勻載荷的作用而產(chǎn)生振動(dòng)，假定次鏡支撐端固定，而薄片梁與次鏡連接處為固定約束，在由于薄片梁的抗彎曲能力較差，由此造成次鏡支撐結(jié)構(gòu)的一階振型主要是薄片梁的彎曲振動(dòng)，如圖2所示。

在對(duì)稱結(jié)構(gòu)中取任意一條薄片梁，基于彈性力學(xué)理論［8］，建立其動(dòng)力學(xué)分析模型，如圖3所示。梁片在x、y方向的變形分別為x、y，對(duì)應(yīng)的變形角為 。

圖3 薄片梁的動(dòng)力學(xué)分析模型Fig.3 Dynamic analysis model for the plate

其諧振頻率為［5］：

式中，r為次鏡的關(guān)徑，E為梁片材料的彈性模量，I為梁片的慣性矩，A為梁片面積，l為梁片的長度（l=D/2 ），J為次鏡及其組件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2 次鏡支撐結(jié)構(gòu)的有限元分析及一階諧振頻率的計(jì)算結(jié)果

針對(duì)小口徑中波紅外測(cè)量系統(tǒng)，其D=220mm，d=40mm，t=3mm，取其偏置 h=6mm，材料為鑄鋁，針對(duì)上述四種結(jié)構(gòu)，其一階諧振頻率為三翼對(duì)稱結(jié)構(gòu)為1139Hz，三翼偏置結(jié)構(gòu)為1601Hz，四翼十字型對(duì)稱結(jié)構(gòu) 1129Hz，四翼十字型偏置結(jié)構(gòu)為1805Hz。從結(jié)果可以看出，這種小口徑的光學(xué)系統(tǒng)，一階諧振頻率最高的結(jié)構(gòu)為四翼偏置結(jié)構(gòu)，其次為三翼偏置結(jié)構(gòu)，最小的為四翼十字型對(duì)稱結(jié)構(gòu)。無論哪種次鏡支撐結(jié)構(gòu)其一階諧振頻率都很高，因此綜合加工工藝及制造成本等多方面因素，選取結(jié)構(gòu)最簡單的三翼對(duì)稱結(jié)構(gòu)就能良好的滿足要求。

當(dāng)系統(tǒng)口徑增加到為650mm時(shí)，其一階諧振頻率為三翼對(duì)稱結(jié)構(gòu)為 197Hz，三翼偏置結(jié)構(gòu)為277Hz，四翼十字型對(duì)稱結(jié)構(gòu)170Hz，四翼十字型偏置結(jié)構(gòu)為297Hz。結(jié)果可以看出，一階諧振頻率最高的結(jié)構(gòu)為四翼偏置結(jié)構(gòu)，其次為三翼偏置結(jié)構(gòu)，最小的為四翼十字型對(duì)稱結(jié)構(gòu)，其規(guī)律與口徑為220mm時(shí)完全一致。

如果保證遮攔比一致，材料選為 A3鋼，針對(duì)三翼對(duì)稱結(jié)構(gòu)，通光口徑從220mm到800mm，其一階諧振頻率變化曲線如圖4所示。

從圖4中可以看出，隨著通光口徑的增加，次鏡組件的一階諧振頻率下降很快，當(dāng)系統(tǒng)口徑達(dá)到800mm時(shí)，一階諧振頻率已經(jīng)降到129Hz，如果再增加系統(tǒng)口徑，這種三翼對(duì)稱支撐結(jié)構(gòu)就不能滿足系統(tǒng)高穩(wěn)定性的要求了。

針對(duì)系統(tǒng)口徑為800mm的四翼偏置支撐結(jié)構(gòu)，改變梁片的厚度，其一階諧振頻率的變化曲線如圖5所示，其沿軸向的變形量如圖6所示。

從圖5可以看出隨著梁片厚度的增加，次鏡支撐組件的一階諧振頻率也在增加，對(duì)四翼偏置結(jié)構(gòu)當(dāng)梁片厚度為 4mm時(shí)，其諧振頻率已經(jīng)達(dá)到208Hz。而對(duì)三翼對(duì)稱結(jié)構(gòu)當(dāng)梁片厚度為4mm時(shí)，其諧振頻率為96Hz，當(dāng)梁片厚度增加到9mm時(shí)，其諧振頻率才為198Hz，比四翼偏置結(jié)構(gòu)的小很多。

從圖6可以看出，隨著梁片厚度的增加，次鏡組件沿光軸方向的變形量在減小，當(dāng)梁自厚度為3mm時(shí)，軸向變形達(dá)到0.077mm，而當(dāng)梁片厚度增加到9mm時(shí)，軸向變形量已經(jīng)減小到0.037mm。

從圖5和圖6結(jié)果可以看出，隨著梁片厚度的增加，次鏡支撐結(jié)構(gòu)的剛度增加，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性加強(qiáng)，由此造成了一階諧振頻率的提高和軸向變形量的減小。

3 結(jié)論

本文針對(duì)口徑在800mm以內(nèi)的中小口徑卡塞格林系統(tǒng)的次鏡支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，分析了次鏡支撐結(jié)構(gòu)中薄片梁的剛度及其變形。經(jīng)過有限元分析，利用Ansys軟件分析了幾種常用結(jié)構(gòu)的一階振型。

有限元仿真結(jié)果表明當(dāng)系統(tǒng)通光口徑為220mm時(shí)，幾種結(jié)構(gòu)的一階諧振頻率都達(dá)到一千Hz以上，因此選用加工工藝簡單、成本較低的三翼對(duì)稱支撐結(jié)構(gòu)就能很好的滿足要求。但當(dāng)系統(tǒng)口徑達(dá)到650mm時(shí)，幾種不同結(jié)構(gòu)的一階諧振頻率都已經(jīng)下降到300Hz以下，其中四翼對(duì)稱結(jié)構(gòu)只有170Hz。

當(dāng)保證系統(tǒng)遮攔比一致時(shí)，針對(duì)三翼對(duì)稱支撐結(jié)構(gòu)，當(dāng)通光口徑達(dá)到800mm時(shí)，其一階諧振頻率已經(jīng)下降到129Hz。

圖4 通光口徑對(duì)一階諧振頻率的影響Fig.4 Influence of telescopic aperture on first order resonant frequency

圖5 梁片厚度對(duì)一階諧振頻率的影響Fig.5 Influence of width of plate on first order resonant frequency

圖6 梁片厚度對(duì)次鏡軸向變形的影響Fig.6 Influence of width of plate on the optical-axis deformation of second mirror

當(dāng)增加梁片厚度時(shí)，一階諧振頻率都會(huì)提高，但相比較而言，三翼對(duì)稱結(jié)構(gòu)的頻率增加速率較大，而四翼偏置結(jié)構(gòu)的增加速度率較小。同樣當(dāng)梁片厚度從3mm增加到9mm時(shí)，次鏡組件的軸向變形減小了兩倍。

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