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    基于VaR風(fēng)險(xiǎn)約束下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)混合投資策略

    2011-03-09 06:38:00王定成1b
    統(tǒng)計(jì)與決策 2011年12期
    關(guān)鍵詞:盈余保險(xiǎn)公司概率

    趙 武,王定成,2,1b,曾 勇

    (1.電子科技大學(xué) a.經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院;b.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 610054;2.澳大利亞國立大學(xué) 金融數(shù)學(xué)中心,堪培拉,ACT 0200)

    0 引言

    眾所周知,保險(xiǎn)公司的成功運(yùn)營不僅依賴于其保險(xiǎn)業(yè)務(wù),而且依賴于其投資業(yè)務(wù)。這樣保險(xiǎn)公司既面臨著金融市場潛在損失的風(fēng)險(xiǎn),還面臨著高額保險(xiǎn)索賠的風(fēng)險(xiǎn)。結(jié)果,綜合考慮金融市場的動(dòng)態(tài)變化以及保險(xiǎn)過程還有兩者相互作用的聚合風(fēng)險(xiǎn)模型是十分必要的。自從 F.Lundberg在齊次復(fù)合泊松過程索賠的基礎(chǔ)上建立聚合風(fēng)險(xiǎn)模型以來,精算界一直把破產(chǎn)概率作為保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)度量。在經(jīng)典的破產(chǎn)理論中,Gerber[1]和Feller[2]對(duì)保險(xiǎn)公司的盈余用隨機(jī)過程建模,分別利用了鞅方法和更新方法得到了破產(chǎn)概率的指數(shù)型上界。并且如果索賠額大小具有指數(shù)矩,那么破產(chǎn)概率隨初始資本金呈現(xiàn)指數(shù)衰減,關(guān)于經(jīng)典結(jié)果的詳細(xì)討論可以參考卡爾斯等[3]。經(jīng)典結(jié)果的一個(gè)重要的推廣途徑就是考慮保險(xiǎn)公司把盈余投資到利率為常數(shù)的無風(fēng)險(xiǎn)債券上,Klüppelberg& Stadtmüller[4]考慮了這種模型,得到了當(dāng)索賠額大小具有規(guī)則變化尾的情形下,隨著初始資本金的增大,破產(chǎn)概率和索賠額的尾部有著同樣的衰減速度;Sundt&Teugels[5]得到了破產(chǎn)概率對(duì)于初始資本金的一致上界;Tang[6]討論了索賠到達(dá)過程為一復(fù)合泊松過程時(shí)有限時(shí)間破產(chǎn)概率問題;Wang[7]將Tang[6]的結(jié)果推廣到索賠到達(dá)過程為更新過程的情形。

    Paulsen&Gjessing[8]首先研究了保險(xiǎn)公司的投資問題,但只是考慮了將所有的盈余投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上,而沒有考慮投資組合問題;Browne[9]考慮了保險(xiǎn)公司的承保盈余過程是帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是幾何布朗運(yùn)動(dòng)的模型,得到了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資應(yīng)該與初始資本金無關(guān),并且恒為常數(shù),但是顯然模型不滿足聚合風(fēng)險(xiǎn)模型通常的假設(shè),即復(fù)合泊松過程的假設(shè);Hipp&Plum[10]建立了保險(xiǎn)公司的承保盈余過程為復(fù)合泊松過程的模型,得到了最大化生存概率的HJB(Hamilton-jacobi-Bellman)方程。Gaier et.al[11]在索賠額具有一致指數(shù)矩的假設(shè)下,得到了一種常數(shù)的投資策略,并在這種常數(shù)投資下,估計(jì)出破產(chǎn)概率的Lundberg上界。

    本文同樣考慮保險(xiǎn)公司的投資策略問題,與以往的文獻(xiàn)不同的是,用在險(xiǎn)價(jià)值(VaR Value-at-Risk)而不是破產(chǎn)概率去衡量保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn),在險(xiǎn)價(jià)值是重要的金融風(fēng)險(xiǎn)管理工具之一,在國際上已獲得廣泛認(rèn)可。VaR的優(yōu)點(diǎn)在于概念簡單直觀、計(jì)算方便且易于實(shí)施。可將其定義為在一定的持有期及一定的統(tǒng)計(jì)置信度內(nèi),某一金融工具或投資組合所面臨的最大潛在損失的估計(jì)值。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格,本文用指數(shù)Lévy過程進(jìn)行建模1。在本文的第二部分,假設(shè)保險(xiǎn)公司采取混合投資策略,我們對(duì)保險(xiǎn)公司的總資產(chǎn)過程建立模型,在此基礎(chǔ)上給出最優(yōu)化模型可以使VaR限制在一定的水平下,保險(xiǎn)公司總期望財(cái)富最大。第三部分給出模型求解。

    1 模型的建立

    首先介紹經(jīng)典的Cramér-Lundberg風(fēng)險(xiǎn)模型。記保險(xiǎn)公司在時(shí)刻的承保盈余過程為,

    就稱分布函數(shù)為一有正則變化尾的分布,具有尾指標(biāo)-α<0,記為FX(x)∈R-α.很多著名的重尾分布都具有正則變化尾,如帕累托分布,逆Gamma分布等。

    接下來給出混合投資策略的定義,參見Emmer et.al[12]。混合投資策略是指在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上投資總財(cái)富的固定比例的份額到風(fēng)險(xiǎn)市場上,剩下的用來購買無風(fēng)險(xiǎn)債券。假設(shè)保險(xiǎn)公司投資到一個(gè) Black-Scholes型的市場,該市場由股票和無風(fēng)險(xiǎn)債券組成。債券和股票的各自的價(jià)格過程如下:

    對(duì)(2)中的兩式分別微分,得:

    在每一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)上把總資產(chǎn)的一個(gè)固定比例投資風(fēng)險(xiǎn)市場,剩下的1-θ投資到無風(fēng)險(xiǎn)市場上。本文不考慮保險(xiǎn)公司賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和借貸,所以θ∈[0,1]。雖然為常數(shù),該投資組合策略是一個(gè)動(dòng)態(tài)策略,因?yàn)楸kU(xiǎn)公司的總資產(chǎn)過程是不斷變化的,保險(xiǎn)公司要不斷的調(diào)整投資組合頭寸。被稱為投資策略。Lévy過程L(t)的特征三元組為(γ,σ2,v)。定義ε(L)被定義成下面微分方程的解

    過程Z=ε(L)被稱為過程的隨機(jī)指數(shù)或稱為Doléans-Dade指數(shù)。Cont&Tankov[13]中證明了ε(L)的存在唯一性。

    綜合以上假設(shè),保險(xiǎn)公司的總資產(chǎn)過程滿足以下隨機(jī)微分方程:

    Lθ的Laplace指數(shù)如果存在,可以表示為φ(θ,s)=logE[e-sLθ(A)]。從Kostadinova[15]中引理5.3.1可以得出,如果0<E[L(1)]<∞,σ>0或者v((-∞,0))兩者成立其一,對(duì)于θ∈(0,1),一定存在唯一的正數(shù)κ=κ(θ)>0使得φ(θ,κ)=0。

    定義保險(xiǎn)公司的折現(xiàn)凈損失過程如下:

    其中β∈(0,1)是一個(gè)小概率值,代表著很高的置信水平。我們要解決的是如下的最優(yōu)化問題:

    其中:C>0,T>0

    根據(jù)有限時(shí)間破產(chǎn)概率的定義:

    ψ(u,T)=P{Vθ(t)>u},對(duì)于某個(gè)0≤t≤T}等價(jià)地,有:

    根據(jù)(13),最優(yōu)化問題(11)等價(jià)于:

    由(14)可知,最優(yōu)化模型(11)中的VaRβ()的經(jīng)濟(jì)解釋為:如果保險(xiǎn)公司要在時(shí)間之前破產(chǎn)的概率不超過,所需準(zhǔn)備的最少的初始準(zhǔn)備金。

    2 模型的求解

    由于最優(yōu)化模型(14)的復(fù)雜形式,幾乎是不可能找到模型的解析解,我們的目標(biāo)是找到模型的近似解法。Heyde& Wang[16]針對(duì)該模型,假設(shè)索賠額具有正則變化尾,即FX(x)∈ R-α,研究了有限時(shí)間破產(chǎn)概率,并得到了破產(chǎn)概率的尾漸進(jìn)等價(jià)式。本文利用其結(jié)果,給出最優(yōu)化模型(14)的近似最優(yōu)解。

    令θ*為最優(yōu)的投資策略,下面給出定理1。

    定理1.假設(shè)安全負(fù)荷條件2成立,即c-λE(X)>0。還假設(shè)φ(-1)>δ。如果索賠額服從連續(xù)型分布,且FX(x)∈R-α。那么,對(duì)于任意固定的T>0和充分大的u,最優(yōu)化問題(14)解為

    其中θ2是方程J(φ(θ,α))≥(C)的兩個(gè)解中較大的那個(gè)解。

    如果條件φ(α+1)+δ<φ(α)成立,J(φ(θ,α))在區(qū)間θ∈[0,1]單調(diào)遞增,且:

    證明:參考Kostadinova[15]中的引理3.4.4,如果c-λE(X)>0和φ(-1)>δ成立,那么E[Uθ(T)]關(guān)于θ遞增。因此,最優(yōu)化模型(14)等價(jià)于:

    接下來要考慮的就是對(duì)式(18)求解。

    根據(jù)Heyde&Wang[16]中的定理1,如果FX(x)∈R-α,那么對(duì)于固定的T>0:

    對(duì)于充分大的,把(19)代入(18),可得:

    因?yàn)閑xp(φ(θ,α)T))-1和φ(θ,α)同號(hào),而且(u)連續(xù)且遞減,所以有:

    下一步,考慮φ(θ,α)的性質(zhì),由Kostadinova[15]給出的引理3.2.5,φ(θ,α)是關(guān)于θ的嚴(yán)格凸函數(shù)。如果φ(-1)>δ成立,那么:

    我們可以找到φ(θ,α)的極值點(diǎn)θ^,由(7),可以算出:

    對(duì)φ(θ,α)求一階導(dǎo)數(shù),有:

    如果?/?θφ(1,α)≥0,等價(jià)于α(α+1)+δ≥φ(α)成立,那么φ (θ,α)的極小點(diǎn)θ^∈[0,1],反之α(α+1)+δ<φ(α)成立,φ(θ,α)在區(qū)間θ∈[0,1]單調(diào)遞減。對(duì)J(φ(θ,α))求導(dǎo)

    圖1 J(θ)的圖形(φ(1,α)+δ(α))。

    圖2.的圖形(φ(α+1)+δ<δ(α))

    圖1表示了條件(φ(α+1)+δ≥δ(α))成立的情形,這時(shí)θ*=θ2;圖2表示了條件φ(α+1)+δ<δ(α))成立的情形,這時(shí)θ*=1。

    最后給出具體的數(shù)值例子闡述上述結(jié)果。參數(shù)的設(shè)定保證三個(gè)例子的股票收益的期望和方差都相等,且E[L(1)]= 0.5,Var[L(1)]=2。設(shè)定λ=0.2,c=2,C=15。索賠額服從參數(shù)為的帕累托分布。下面考慮三個(gè)具體的Lévy過程:

    模型 1(幾何布朗運(yùn)動(dòng)):假設(shè)股票的對(duì)數(shù)收益率為L(t)= at+bW(t)。其中a=0.2,b=0.5。

    模型3(VG Lévy過程,madan&Seneta[18]):L(t)=μt+W(V (t))。其中μ>0,W是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng),飄移率為a,波動(dòng)率為b。V(t)是一個(gè)和過程獨(dú)立的gamma Lévy過程,V(1)具有Gamma分布,其密度函數(shù)為:

    V(t)的特征三元組為(0,0,vΓ),vΓ(dx)=I{x>0}ηx-1e-βxdx。L的Lévy測度為:

    令β=η=4,μ=0.2,a=0,b=0.5。

    根據(jù)定理1,可以分別計(jì)算上述三個(gè)模型的最優(yōu)投資比例,由下表給出。

    表1 最優(yōu)投資比例

    4 結(jié)束語

    在聚合風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上,本文考慮了保險(xiǎn)公司的投資問題,假設(shè)保險(xiǎn)公司在Black-Sholes型的市場上進(jìn)行投資,投資策略采用混合投資策略,即將全部資產(chǎn)按固定比例分別投資于股票市場和無風(fēng)險(xiǎn)債券。假設(shè)股票價(jià)格服從指數(shù)Lévy過程,同時(shí)索賠額服從重尾分布,在此基礎(chǔ)上對(duì)保險(xiǎn)公司的總資產(chǎn)過程進(jìn)行建模。利用VaR方法建立了保險(xiǎn)公司的最大風(fēng)險(xiǎn)承受能力與最優(yōu)投資比例之間的關(guān)系。最后利用破產(chǎn)理論給出了最優(yōu)投資比例的近似最優(yōu)解,該最優(yōu)投資比例可以在VaR限制在一定水平下可以使保險(xiǎn)公司的期望財(cái)富最大。

    [1]Gerber,H.U.,成世學(xué),嚴(yán)穎譯.數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)論導(dǎo)引[M].北京:世界圖書出版發(fā)行公司,1997.

    [2]Feller,W.An Introduction to Probability Theory and Its Applications.[M].New York:John Wiley Sons,1971.

    [3]R.卡爾斯,M.胡法茲,J.達(dá)吶,M.狄尼特.現(xiàn)代精算風(fēng)險(xiǎn)理論[M].科學(xué)出版社,2005.

    [4]Klüppelberg C,Stadtmüller U.Ruin Probabilities in the Presence of Heavy-Tails and Interest Rates[J].Scand.Actuarial J.,1998,(1).

    [5]Sundt B,Teugels JL.Ruin Estimates under Interest Force[J].Insurance:Mathematics and Economics,1995,16(1).

    [6]Tang Q.The Finite Time Ruin Probability of the Compound Poisson Modelwith ConstantInterestForce[J].J.Appl.Probab.,2005,42(3).

    [7]WangDC.Finite-Time Ruin Probability with Heavy-Tailed Claims and Constant Interest Rate[J].Stochastic Models,2008,24(1).

    [8]Paulsen J,Gjessing HH.Ruin Theory with Stochastic Return on Investments[J].Advances in Applied Probability,1997,29(4).

    [9]Browne S.Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process:Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin[J].Mathematics of Operations Research,1995,20(4).

    [10]Hipp C,Plum M.Optimal Investment for Insurers[J].Insurance: Mathematics and Economics,2000,27(2).

    [11]Gaier J,Grandits P,Schachermayer W.Asymptotic Ruin Probabilities and Optimal Investment[J].Ann.Appl.Probab,2003,13(3).

    [12]Emmer S,Klüppelburg C,Korn K.Optimal Portfolioswith Bounded Capital-at-Risk[J].Math.Finance.,2001,(11).

    [13]Cont R.,Tankov P.Financial Modeling with Jump Processes[M]. New York:Chapman&Hall/CRC,2004.

    [14]Klüppelberg C,Kostadinova R.Integrated Insurance Risk Mod els with Exponential Lévy Investment[J].Insurance:Mathematics and Economics,2008,42(2).

    [15]R.Kostadinova.Optimal Investment for Insurers when the Stock Price Follows an Exponential Lévy Process[J].Insurance:Mathematics and Economics,2007,41(2).

    [16]Heyde CC,Wang DC.Finite-time Ruin Probability with an ExponentialLévy ProcessInvestmentReturn and Heavy-tailed Claims[J].Adv.in.Appl.Probab,2009,41(1).

    [17]Kou SG.A Jump-diffusion Model for Option Pricing[J].Management Science,2002,48(8).

    [18]Madan D,Seneta E.The Variance Gamma(VG)Model for Share Market Returns[J].Journal of Business,1990,63(4).

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