基于極大似然估計(jì)法參數(shù)空間上的區(qū)間估計(jì)

楊志忠

（青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，西寧 810008）

0 引言

經(jīng)典的頻率方法廣泛應(yīng)用于參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，但當(dāng)參數(shù)受約束時(shí)，一般情形下得到的參數(shù)估計(jì)不能保證仍然在限制參數(shù)空間上。李新民、李國(guó)英利用Fiducial推斷法，求出了限制參數(shù)空間上的參數(shù)區(qū)間估計(jì)[5]，并且結(jié)合實(shí)例說(shuō)明了其合理性。

Fiducial推斷具體為：已知隨機(jī)變量X對(duì)應(yīng)分布函數(shù)為F（x|θ），其中θ為未知參數(shù)，樣本空間為x，參數(shù)空間為Ω。假如ξ在上可以找到一個(gè)隨機(jī)變量E，其分布Q已知，且存在ξ×Ω的函數(shù)h(e,θ)使得Xd=h(E,θ)，其中表示同分布，并且對(duì)X的任意觀測(cè)值x∈x和E的任意觀察測(cè)值e∈ξ，方程x=h (e,θ)在Ω上有唯一解，其解記為：Θ=(E)，(E)在Q下的分布為Θ的Fiducial分布為：F(θ)=Q((e)≤θ(e)∈Ω*)。再給定置信水平1-α的條件下Θ的1-α區(qū)間估計(jì)為：（θ1，θ2），其中θ1，θ2由（1）、（2）式?jīng)Q定：

其中0＜α1＜α,0＜α2＜α且α1+α2=α。

在利用Fiducial推斷時(shí)，其關(guān)鍵為可以找到E～Q且有Xh(E,θ)，并且方程x=h(e,θ)在Ω上存在唯一解，但理論分析表明應(yīng)該是方程X=h(e,θ)在Ω上存在唯一解，在實(shí)際操作中這些條件不易達(dá)到，故其操作性是有局限的。在此我們不再去尋找變量E～Q而是首先利用極大似然估計(jì)法求出參數(shù)θ∈Ω*的點(diǎn)估計(jì)θ＾再用樣本去代替E，求出了參數(shù)θ的條件分布，進(jìn)而求出了參數(shù)θ的區(qū)間估計(jì)。

1 主要結(jié)果

由于X的分布函數(shù)為F（X|θ），θ=（θ1，θ2，…，θk）∈Ω*為未知參數(shù)，其中Ω*?Ω,Ω為參數(shù)空間，Ω*為限制參數(shù)空間，從總體中抽取X1,X2,…，Xn樣本，由極大似然估計(jì)法有[3]：

則同似然方程

在給定α1,α2其中0＜α1＜α,0＜α2＜α,(0＜α＜1)且α1+α2=α的條件θ下的1-α區(qū)間估計(jì)為（θ1，θ2），其中θ1、θ2由（4）、（5）式?jīng)Q定

2 實(shí)例分析

Seidenfeld[1]-Mayo[2]問(wèn)題，已知X～Uniform（0，θ）假設(shè)未知參數(shù)θ≤θ*，不妨設(shè)θ*=15，當(dāng)觀測(cè)值為X時(shí)，求θi的1-α區(qū)間估計(jì)。

利用Fiducial方法可知θ的1-α區(qū)間估計(jì)為：(θ1,θ2)其中θ1θ2由下式?jīng)Q定

當(dāng)x=10，α1=α2=0.025時(shí)θ的1-α區(qū)間估計(jì)為：

現(xiàn)利用本文方法求θ的1-α區(qū)間估計(jì)。

從總體中抽取一組樣本X1,X2,…，Xn，由于X～U(0,θ)，則Xi～U(0,θ)由極大似然估計(jì)法，似然函數(shù)L為：

因此θ的條件分布函數(shù)為

在給定α1,α2其中0＜α1＜α，0＜α2＜α(0＜α＜1)且α1+α2=α的條件下θ的1-α區(qū)間估計(jì)為（θ1,θ2）其中θ1,θ2由（6）、（7）式?jīng)Q定

當(dāng)α1=α2=0.025，n=10,=8,(θ1,θ2)=(10.373,14.962)∈Ω*

我們發(fā)現(xiàn)，|θ2-θ1|=4.589其中μ，σ2為未知參數(shù)，若μ≥μ0，不妨設(shè)μ0=15,當(dāng)觀測(cè)值為X1，X2，…，Xn時(shí)，求μ的1-α區(qū)間估計(jì)，

當(dāng)n=6,S2=4/5,=14，由Fiducial方法可知μ的1-α區(qū)間最短估計(jì)為

現(xiàn)利用本文方法求μ的1-α區(qū)間估計(jì)。

有似然函數(shù)

則有對(duì)數(shù)似然函數(shù)1nL為

有對(duì)數(shù)似然方程

在給定α1,α2其中0＜α1＜α,0＜α2＜α,(0＜α＜1)且α1的條件下μ的1-α區(qū)間估計(jì)為（μ1，μ2)，（μ1，μ2由（8）、（9）式?jīng)Q定

當(dāng)n=6,S2=4/5,=14,α1=α2=0.025時(shí)

以實(shí)例表明，在同等置信水平下用本文的計(jì)算結(jié)果更為精確，說(shuō)明本方法時(shí)可行的。

[1]Seidenfeld F.Philosophical Problems of Statistical Inference[M]. Dordrecht:Reidel,1979.

[2]Mayo DG.Indefense of the Neyman-Pearson Theory of Confidence Intervals[J].Philosophy of Science,1981,48(2).

[3]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社,2004.

[4]陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國(guó)科技大學(xué)出版社,2005.

[5]李新民,李國(guó)英.限制參數(shù)空間上的Fiducial推斷[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2005，(12).

[6]茆詩(shī)松，王靜龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2002.