基于奇異譜分析的GRNN模型在金融時間序列中的應(yīng)用

劉遵雄，周天清

（華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，江西南昌 330013）

在過去幾十年里，各種線性與非線性的時間序列建模預(yù)測方法被提出，包括自回歸移動平均（ARMA）、求和自回歸移動平均（ARIMA）、自回歸條件異方差（ARCH）、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）[1]、遺傳算法（GA）[2]、支持向量機(jī)（SVM）[3]、門限自回歸（TAR）、自適應(yīng)回歸（AAR）和泛函數(shù)自回歸（FAR）等，其中許多方法已成功地應(yīng)用到金融時間序列分析中，并且獲得了較為理想的結(jié)果。然而，其中有些方法須以在一定假設(shè)條件（如線性、平穩(wěn)性、標(biāo)準(zhǔn)性假設(shè)等）為前提，而另一些方法則無法直接適用于高維、高噪聲數(shù)據(jù)的建模。奇異譜分析（singular spectrum analysis，SSA）技術(shù)的提出是時間序列分析研究的重大變革，它結(jié)合典型時間序列分析、多元統(tǒng)計(jì)、多元幾何、動態(tài)系統(tǒng)、信號處理及奇異值分解（SVD）等技術(shù)[4]，破除了許多傳統(tǒng)方法的假設(shè)前提，是一類元參數(shù)、獨(dú)立于模型的時間序列分析技術(shù)[5]。

奇異譜分析通過將原始序列延時地排列成一矩陣形式，然后應(yīng)用奇異值分解將原始序列分解成少數(shù)可解釋、獨(dú)立的成份之和，如緩慢變化趨勢、擺動成份和隨機(jī)噪聲[6]。奇異譜分析技術(shù)主要用于解決趨勢或準(zhǔn)周期成分的檢測與提取、降噪、預(yù)測、異常點(diǎn)檢測等問題，廣泛應(yīng)用于氣候、環(huán)境、地理、社會科學(xué)及金融等多方領(lǐng)域。

常見的奇異譜分析預(yù)測技術(shù)通常以傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或線性遞歸公式（linear recurrent formula，LRF）[7]為模型進(jìn)行預(yù)測，但是基于奇異譜分析的傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練速度緩慢，而基于奇異譜分析的線性遞歸預(yù)測效果有待改進(jìn)?；诖?，本文將廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（general regression neural network，GRNN）與奇異譜分析技術(shù)相結(jié)合形成基于奇異譜分析的廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型，以同方股份收盤價格為測試對象驗(yàn)證其預(yù)測效果。

1 奇異譜分析

奇異譜分析算法包含分解與重構(gòu)兩個階段。前者將原始序列延時地排列成一矩陣形式，進(jìn)行奇異值分解；后者利用求得的主成份進(jìn)行分組并對組成份所形成的矩陣對角平均化。

1.1 分解

1.2 重構(gòu)

2 預(yù)測模型

2.1 線性遞歸公式

2.2 廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8-9]是徑向前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBF的一個分支，它以數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)進(jìn)行非線性（核）回歸分析。GRNN與傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣，具有很強(qiáng)的非線性建模能力、較高的容錯性及魯棒性，其逼近能力和學(xué)習(xí)速度較傳統(tǒng)的RBF網(wǎng)絡(luò)有著較強(qiáng)的優(yōu)勢，且當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，預(yù)測效果不受影響。

對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)p維輸入向量X={}，x2，…，xp，其輸出為Y={y1，y2，…，yp}，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1。

如果GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層的傳遞函數(shù)以高斯函數(shù)為概率密度函數(shù)，那么網(wǎng)絡(luò)的輸出為

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

以同方股份1997年6月至1998年5月收盤價格共204個數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)。根據(jù)奇異譜分析的步驟，首先將序列以80為窗口長度（一般小于等于序列長度的一半）組織成一延時矩陣，然后采用SVD對延時矩陣進(jìn)行分解，得80個特征值（按非增序排列）。首5個特征值的貢獻(xiàn)率分別為98.765 66%，0.411 16%，0.363 15%，0.252 86%，0.005 481%，其中98.765 66%的特征值對應(yīng)的重構(gòu)序列代表原始序列的趨勢，見圖2，后四項(xiàng)則指示著序列的波動情況，見圖3。特征值中最后75項(xiàng)由于貢獻(xiàn)率極小，可被視為序列噪聲數(shù)據(jù)。最后由前5個成份重構(gòu)成降噪后的序列，見圖4，該序列將用于預(yù)測。

圖2中，原始序列呈現(xiàn)出較為復(fù)雜的波動變化，而由貢獻(xiàn)率98.765 66%的特征向量重構(gòu)序列擬合曲線近似于一上升直線?？梢园l(fā)現(xiàn)，由首個成份形成的重構(gòu)序列能夠較好地捕捉原始序列的趨勢。

圖3中，由前2-5個成份形成的重構(gòu)序列擬合曲線波動變化比較平緩，沒有出現(xiàn)銳角變化情況，而且基本上反映了原始序列的波動變化。由于金融時間序列中普遍存在噪聲，噪聲點(diǎn)通常呈現(xiàn)出較大的波動變化（表現(xiàn)為較為尖銳的齒狀），因此，可將由前2-5個成份形成的重構(gòu)序列近似地看成原始序列的波動成份，其很好刻畫了原始序列的波動變化。

圖4中，由前5個成份形成的重構(gòu)序列擬合曲線波動變化相對于原始序列較平緩，其較好地過濾了噪聲數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了對原始序列的逼近。該文用該5個成份形成的降噪重構(gòu)序列作為廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型的輸入。

該文提出了一種基于奇異譜分析的廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法，其基本工作原理：首先對原始序列進(jìn)行奇異譜分析得到降噪后的重構(gòu)序列，然后將廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于該重構(gòu)序列。相比傳統(tǒng)的奇異譜分析預(yù)測（如caterpillar SSA3.3[10]）主要采用線性遞歸函數(shù)為預(yù)測模型。

對于廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測方法，最為關(guān)鍵的參數(shù)為前面所提的平滑因子σ，考慮到廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一類訓(xùn)練速度快，非線性映射能力強(qiáng)，能以任意速度逼近任意連續(xù)函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)模型。該文通過考慮預(yù)測誤差（絕對值形式）試探性地在[ ]0.01，0.5間選擇平滑因子σ。

對原始序列和重構(gòu)序列進(jìn)行廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的平滑因子與預(yù)測誤差的關(guān)系見圖5。從圖中可知，兩曲線均呈現(xiàn)出先減后增的趨勢，其中前者在平滑因子為0.12時取得最小誤差均值0.005 004，后者在平滑因子為0.07時取得最小誤差均值0.002 877。故對于原始序列應(yīng)用GRNN時，平滑因子取0.12；對于重構(gòu)序列則取0.07。

由于影響股票價格難以進(jìn)行長期預(yù)測，往往只能進(jìn)行短期的預(yù)測。該文使用GRNN，LRF+SSA和GRNN+SSA三種方法對同方股份的收盤價格進(jìn)行未來一天的預(yù)測。GRNN直接將原始數(shù)據(jù)為其輸入進(jìn)行預(yù)測；LRF+SSA先利用SSA獲得降噪成份，后以LRF為模型進(jìn)行預(yù)測；GRNN+SSA同樣先利用SSA獲取降噪成份，再使用GRNN進(jìn)行預(yù)測。各類方法的預(yù)測值及其預(yù)測誤差見表1，從表中可以發(fā)現(xiàn)，采用LRF+SSA方法進(jìn)行預(yù)測的誤差值最大，GRNN次之，而GRNN+SSA預(yù)測誤差最小，原因在于GRNN+SSA方法既能有效利用SSA技術(shù)降噪能力，又能攝取GRNN強(qiáng)大的非線性映射能力及任意逼近能力，從而使其達(dá)到了較兩者更優(yōu)的預(yù)測效果。

表1 各類預(yù)測值及誤差Tab.1 Various predicted values and error

4 結(jié)論

提出了基于奇異譜分析的廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法GRNN+SSA，并將其應(yīng)用于同方股份收盤價格的短期預(yù)測，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，GRNN+SSA預(yù)測效果明顯好于傳統(tǒng)的LRF+SSA及GRNN方法，原因在于，GRNN+SSA方法同時兼有SSA和GRNN方法的優(yōu)點(diǎn)，即集成了SSA降噪能力及GRNN的強(qiáng)大非線性映射與任意逼近能力。因此，可試將其推廣用于回歸復(fù)雜多噪聲時間序列的分析建模。

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