加筋板整體屈曲臨界應(yīng)力計(jì)算與分析

王 偉 吳 梵

海軍工程大學(xué) 船舶與動(dòng)力學(xué)院，湖北 武漢 430033

加筋板整體屈曲臨界應(yīng)力計(jì)算與分析

王 偉 吳 梵

海軍工程大學(xué) 船舶與動(dòng)力學(xué)院，湖北 武漢 430033

利用解析法對(duì)加筋板穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，忽略材料非線(xiàn)性的影響，利用理論方法求解四邊簡(jiǎn)支加筋板的整體屈曲臨界應(yīng)力。對(duì)有一根加強(qiáng)筋的加筋板，定義板的撓曲函數(shù)，將其代入邊界方程和協(xié)調(diào)方程，求解線(xiàn)性方程組的特征方程得到加筋板的臨界應(yīng)力。對(duì)有2根或多根加強(qiáng)筋的規(guī)則加筋板，利用能量法導(dǎo)出統(tǒng)一計(jì)算的公式得到臨界應(yīng)力。最后，利用有限元軟件Abaqus和Nastran進(jìn)行數(shù)值仿真，與理論解比較后得出本文計(jì)算方法是正確的，可以準(zhǔn)確求解加筋板的穩(wěn)定性問(wèn)題。

加筋板；穩(wěn)定性；整體屈曲；臨界應(yīng)力

1 引言

屈曲問(wèn)題是船舶設(shè)計(jì)中的重要問(wèn)題，歷來(lái)受到船舶力學(xué)工作者的高度重視［1］。現(xiàn)代船舶隨著功能的多樣化，結(jié)構(gòu)形式更加復(fù)雜，為了保證船體結(jié)構(gòu)的安全，必須對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行研究。加筋板是船體的主要組成結(jié)構(gòu)，對(duì)其穩(wěn)定性的研究是船舶穩(wěn)定性研究的基礎(chǔ)。許多學(xué)者都進(jìn)行了加筋板的穩(wěn)定性研究［2－7］，其中絕大多數(shù)是采用有限元法進(jìn)行研究，缺乏理論指導(dǎo)，沒(méi)有給出統(tǒng)一的計(jì)算公式，本文利用解析法，研究了加筋板的屈曲問(wèn)題，給出了規(guī)則加筋板臨界應(yīng)力的統(tǒng)一計(jì)算公式，使加筋板的臨界應(yīng)力計(jì)算簡(jiǎn)單可靠，可以用來(lái)指導(dǎo)工程實(shí)踐。屈曲從失效模式上分為局部屈曲和整體屈曲，整體屈曲對(duì)船舶結(jié)構(gòu)的影響更大，所以本文只研究加筋板的整體屈曲問(wèn)題。在計(jì)算過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化理論推導(dǎo)，忽略了材料非線(xiàn)性的影響，本文只研究加筋板的彈性屈曲問(wèn)題。

2 理論分析

2.1 基本模型

一塊長(zhǎng)度為a，寬度為b，厚度為t的矩形板，四邊簡(jiǎn)支連接，該板在中線(xiàn)上有一縱向加強(qiáng)筋，加強(qiáng)筋的截面積為A，慣性矩為I。假定加強(qiáng)筋的抗扭剛度相當(dāng)小，可以忽略不計(jì)，只考慮加強(qiáng)筋在垂直于板面方向的抗彎剛度，如圖1所示，加筋板單向受壓，板在x＝0和x＝a的2條邊上承受均布荷載σt，加強(qiáng)筋具有和板相同的壓應(yīng)力。

2.2 屈曲模式分析

首先引入下列符號(hào)：

式中，系數(shù)γ為加強(qiáng)筋的抗彎剛度與寬度為b的板的抗彎剛度的比值；δ為加強(qiáng)筋的橫截面積與板的橫截面積bt的比值；n為加強(qiáng)筋的數(shù)量。

由于板和加強(qiáng)筋組成的加筋板是對(duì)稱(chēng)于x軸的，在屈曲后所發(fā)生的位移形式有以下2種情況：對(duì)稱(chēng)形式—加強(qiáng)筋和板一起發(fā)生撓曲，即加筋板的整體屈曲；反對(duì)稱(chēng)形式—加強(qiáng)筋保持為直線(xiàn)，加強(qiáng)筋兩側(cè)的板各自發(fā)生撓曲，即加筋板的局部屈曲。在后一種情況中，板在屈曲后有一波節(jié)線(xiàn)，它和加強(qiáng)筋的軸相重合，板的每一半就相當(dāng)于長(zhǎng)度為a，寬度為b／2的四邊簡(jiǎn)支板，此時(shí)，板和加強(qiáng)筋組成的加筋板的屈曲荷載達(dá)到其最大值。

加筋板的剛度比值γ較小時(shí)，加筋板出現(xiàn)對(duì)稱(chēng)位移形式，此后隨著γ的逐漸增大，加筋板的臨界應(yīng)力逐漸增大，當(dāng)γ大于某一數(shù)值γ0時(shí)，加筋板出現(xiàn)反對(duì)稱(chēng)的位移形式，此后加筋板相當(dāng)于2塊四邊簡(jiǎn)支的板和加強(qiáng)筋各自發(fā)生撓曲，加筋板的臨界應(yīng)力與筋無(wú)關(guān)，而是等于寬度為b／2的簡(jiǎn)支板的臨界應(yīng)力。臨界值γ0是與加筋板產(chǎn)生反對(duì)稱(chēng)屈曲形式所必需的加強(qiáng)筋的最小抗彎剛度相對(duì)應(yīng)的，求出γ0就可以直接判斷加筋板是發(fā)生對(duì)稱(chēng)屈曲還是發(fā)生反對(duì)稱(chēng)屈曲。當(dāng)γ＞γ0時(shí)，加筋板發(fā)生反對(duì)稱(chēng)屈曲，加筋板的臨界應(yīng)力達(dá)到最大值，這在工程實(shí)際中很少遇到，即使遇到也可以容易求解，所以本文主要研究在γ＜γ0時(shí)的對(duì)稱(chēng)屈曲情況。

2.3 臨界應(yīng)力求解

假設(shè)屈曲板的撓度表達(dá)式為［8］：

式中，w1為板的下半部分的撓度。由于對(duì)稱(chēng)關(guān)系，板的另一半的撓度w2可立即得到。κ1和κ2的表達(dá)式為：

式中，Q1和Q2為靠近加強(qiáng)筋的板在單位長(zhǎng)度內(nèi)的剪切力。

加強(qiáng)筋的軸向荷載為σcA，將加強(qiáng)筋簡(jiǎn)化為單跨梁，它的撓度w的微分方程式為：

將式（3）分別代入式（6）、式（7）、式（15），求解線(xiàn)性方程組的特征方程得到對(duì)稱(chēng)屈曲形式的穩(wěn)定條件：

將式（4）、式（5）代入式（16），對(duì)不同的半波數(shù) m求出相應(yīng)的μ，回代式（5）得到該屈曲模式下的臨界應(yīng)力為：

2.4 兩根相同加強(qiáng)筋規(guī)則布置的情況

如圖2所示單向受壓的四邊簡(jiǎn)支板上有2根加強(qiáng)筋，加強(qiáng)筋將板等分為3份，由于加強(qiáng)筋尺寸相同，而且均勻布置，因此加筋板將發(fā)生關(guān)于板面中線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)屈曲或3個(gè)半波的反對(duì)稱(chēng)屈曲，不會(huì)發(fā)生其他形式的屈曲。發(fā)生反對(duì)稱(chēng)屈曲時(shí)的臨界應(yīng)力可以利用板的屈曲理論求得，在此不作討論，主要研究發(fā)生對(duì)稱(chēng)屈曲時(shí)情況。

若用上面類(lèi)似方法進(jìn)行求解，協(xié)調(diào)方程難以確定，下面采用能量法計(jì)算多根加強(qiáng)筋的加筋板整體屈曲臨界應(yīng)力。加強(qiáng)筋均勻布置，加筋板為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，根據(jù)板架的簡(jiǎn)化計(jì)算模型［9］，假設(shè)四邊簡(jiǎn)支加筋板的撓度為：

式中，m為x方向的半波數(shù)；y方向?yàn)閷?duì)稱(chēng)屈曲形式，只有1個(gè)半波。

板的應(yīng)變能為：

式中，Nx為板上作用的均布?jí)毫?，?Nx＝σcrt；t為加筋板的板厚。

加強(qiáng)筋的外力功為：

式中，Px為加強(qiáng)筋上作用的軸向力，且Px＝σcrAx；Ax為加強(qiáng)筋的截面積。

根據(jù)Timoshenko提出的能量法，如果加強(qiáng)筋的外力功小于其應(yīng)變能，加強(qiáng)筋是穩(wěn)定的；如果外力功大于應(yīng)變能，加筋板是不穩(wěn)定的［10］。利用外力功等于應(yīng)變能可以確定加筋板對(duì)稱(chēng)屈曲時(shí)的臨界應(yīng)力，簡(jiǎn)化得到：

求出最小的σcr便得到加筋板的臨界應(yīng)力，此時(shí)對(duì)應(yīng)的m值為x方向的半波值。

2.5 多根相同加強(qiáng)筋規(guī)則布置的情況

3根相同加強(qiáng)筋均勻布置的加筋板示意圖如圖3所示。

撓曲線(xiàn)仍取上面的函數(shù)為：

根據(jù)相關(guān)參考文獻(xiàn)中提到的加筋板臨界應(yīng)力統(tǒng)一公式的推演過(guò)程，結(jié)合上面的推導(dǎo)，得到如下結(jié)論：對(duì)于相同加強(qiáng)筋均勻布置的規(guī)則板架，其發(fā)生整體失穩(wěn)時(shí)，在y向屈曲成一個(gè)半波，且臨界應(yīng)力為：

式中，n為加強(qiáng)筋的數(shù)目。

此公式具有一定的通用性，可以方便計(jì)算規(guī)則加筋板的臨界應(yīng)力。

3 算例分析

3.1 一根加強(qiáng)筋置于簡(jiǎn)支板中的情形

板和加強(qiáng)筋示意圖如圖4所示。

板四邊簡(jiǎn)支，加強(qiáng)筋縱向布置在板中間，加筋板縱向受壓，板和加強(qiáng)筋采用相同的材料，E＝205 800 MPa，υ＝0.3。 利用本文方法求得理論解，同時(shí)利用有限元軟件Abaqus和MSC.Nastran進(jìn)行數(shù)值仿真，將有限元解與理論解進(jìn)行比較。

3.1.1 板和加強(qiáng)筋的尺寸都發(fā)生變化的情況

取12個(gè)算例，板和加強(qiáng)筋的尺寸都在發(fā)生變化，研究各參數(shù)對(duì)臨界應(yīng)力的影響，計(jì)算結(jié)果如表1所示，臨界應(yīng)力隨γ的變化曲線(xiàn)如圖5所示。

從表中數(shù)據(jù)和圖中曲線(xiàn)可以得出如下結(jié)論：

1）Abaqus計(jì)算的結(jié)果與理論值較接近，用其進(jìn)行數(shù)值仿真，所得結(jié)果更加準(zhǔn)確；

2）板的尺寸較加強(qiáng)筋的尺寸對(duì)臨界應(yīng)力影響大一些，在板和加強(qiáng)筋的尺寸都發(fā)生變化時(shí)，首先關(guān)注板尺寸的變化；

3）加強(qiáng)筋的高度比厚度對(duì)臨界應(yīng)力影響大一些；

表1 板和加強(qiáng)筋尺寸均發(fā)生變化的臨界應(yīng)力計(jì)算表Tab.1 Camputation sheet of critical stress varying with the sizes of plate and stiffener

4）在各參數(shù)都變化時(shí)，臨界應(yīng)力與γ沒(méi)有完全的線(xiàn)性增長(zhǎng)關(guān)系，不能僅根據(jù)γ的變化判斷臨界應(yīng)力的變化，還要參考其他數(shù)據(jù)；

5）理論計(jì)算結(jié)果較有限元解偏大。這主要是由于撓度表達(dá)式中所選的項(xiàng)數(shù)太少，這樣計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但使結(jié)果偏大，增加撓度表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)就可以使結(jié)果更加準(zhǔn)確。

3.1.2 板寬發(fā)生變化，其他尺寸均不變

板尺寸對(duì)臨界應(yīng)力的影響很大，取4個(gè)算例，板的寬度發(fā)生變化，其它尺寸不變，研究板寬單獨(dú)變化對(duì)臨界應(yīng)力的影響，計(jì)算結(jié)果如表2所示，臨界應(yīng)力隨γ和δ的變化曲線(xiàn)如圖6和圖7所示。

表2 板寬發(fā)生變化的臨界應(yīng)力計(jì)算表Tab.2 Computation sheet of critical stress varying with width of plate

從表中數(shù)據(jù)和圖中曲線(xiàn)可見(jiàn)：

1）隨著板寬的增加，臨界應(yīng)力減小的幅度越來(lái)越小；

2）臨界應(yīng)力隨γ和δ的增大而增大，增長(zhǎng)幅度越來(lái)越大。

3.1.3 板厚發(fā)生變化，其他尺寸均不變

取4個(gè)算例，板的厚度發(fā)生變化，其他尺寸不變，研究板厚單獨(dú)變化對(duì)臨界應(yīng)力的影響，計(jì)算結(jié)果如表3所示，臨界應(yīng)力隨γ和δ的變化曲線(xiàn)如圖8、圖9所示。

從表中數(shù)據(jù)和圖中曲線(xiàn)可見(jiàn)：臨界應(yīng)力隨γ和δ的增大而減小，減小幅度越來(lái)越??；隨著板厚的增加，加筋板的屈曲半波數(shù)發(fā)生變化。

表3 板厚發(fā)生變化的臨界應(yīng)力計(jì)算表Tab.3 Computation sheet of critical stress varying with the plate thickness

3.2 多根加強(qiáng)筋均勻布置的情況

利用有限元軟件Abaqus和Nastran進(jìn)行仿真計(jì)算，得出多根加強(qiáng)筋時(shí)加筋板穩(wěn)定性的規(guī)律。材料屬性同上，加強(qiáng)筋采用板條加強(qiáng)筋和L型加強(qiáng)筋。

3.2.1 多根板條加強(qiáng)筋的情況

取 4個(gè)算例，板條加強(qiáng)筋的根數(shù)為 2、3、4、5，研究加筋板臨界應(yīng)力隨根數(shù)的變化規(guī)律，計(jì)算結(jié)果如表4所示，臨界應(yīng)力隨γ和δ的變化曲線(xiàn)如圖10和11所示。

表4 多根板條加強(qiáng)筋臨界應(yīng)力計(jì)算表Tab.4 Computation sheet of critical stress of stiffener with multiple slabs

從表中數(shù)據(jù)和圖中曲線(xiàn)可見(jiàn)：

1）臨界應(yīng)力隨γ和δ的增大而增大；

2）隨著板條加強(qiáng)筋數(shù)量的增加，加筋板屈曲的半波數(shù)并沒(méi)有發(fā)生變化，說(shuō)明加強(qiáng)筋的數(shù)量并不是影響屈曲模式的主要因素。

3.2.2 多根L型加強(qiáng)筋的情況

取 4 個(gè)算例，L 型加強(qiáng)筋的根數(shù)為 2、3、4、5，研究加筋板臨界應(yīng)力隨根數(shù)的變化規(guī)律，計(jì)算結(jié)果如表5所示，臨界應(yīng)力隨γ和δ的變化曲線(xiàn)如圖12和13所示。

表5 多根L型加強(qiáng)筋臨界應(yīng)力計(jì)算表Tab.5 Computation sheet of critical stress of stiffener with multiple L slabs

從表中數(shù)據(jù)和圖中曲線(xiàn)可見(jiàn)：

1）臨界應(yīng)力隨γ和δ的增大而增大；

2）L型加強(qiáng)筋比板條加強(qiáng)筋對(duì)加筋板的臨界應(yīng)力影響大。

4 結(jié)論

通過(guò)理論分析和算例比較，可以得到如下結(jié)論：

1）本文導(dǎo)出的解析方法簡(jiǎn)單可靠，可以求解加筋板的彈性屈曲問(wèn)題，具有重要的理論價(jià)值，為更加復(fù)雜結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問(wèn)題求解奠定理論基礎(chǔ)。

2）加強(qiáng)筋的尺寸和形狀影響加筋板的臨界應(yīng)力，但板的尺寸，特別是厚度對(duì)臨界應(yīng)力的影響比加強(qiáng)筋的尺寸影響更大。

3）加筋板的屈曲模式受板的厚度，加強(qiáng)筋的尺寸和位置的影響，由多種條件共同制約。

4）有限元軟件Abaqus和Nastran對(duì)同一問(wèn)題所得的結(jié)果有偏差，這是由于它們采用的求解器不同。Abaqus軟件采用Subspace法進(jìn)行求解，而Nastran軟件采用Lanczos法進(jìn)行求解。

5）本文忽略了材料的非線(xiàn)性影響，只求解加筋板的彈性屈曲臨界應(yīng)力，沒(méi)有對(duì)結(jié)果進(jìn)行非線(xiàn)性修正，這和實(shí)際情況有所差別，需要在后面的研究中解決非線(xiàn)性的影響。

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Computational Analysis on the Critical Stress of Stiffened Plates′Overall Buckling

Wang WeiWu Fan
College of Naval Architecture and Power，Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China

The paper used analytical method to deal with the stability problem of stiffened plates， by ignoring the influence of material＇s nonlinearity， it employed theoretical method to resolve critical buckling stress of stiffened rectangular plate with simplified supporting.For single stiffened plate， the deflection function was defined and introduced to boundary equation and coordinate equation，which acquired the critical stress of stiffened plate by solving linear equations.For plate with two or more stiffeners， the paper acquired the critical stress through uniform formulation using Energy Method.The results of numerical simulation by using Abaqus and Nastran were compared with theoretical solutions，the validity of analytical method was verified， it can be used to solve the stability problem of stiffened plates.

stiffened plate； stability； overall buckling； critical stress

U661.31

A

1673－3185（2011）03－21－07

10.3969/j.issn.1673-3185.2011.03.005

2010-05-27

王 偉（1985－），男，碩士研究生。研究方向：船舶結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。E-mail：wangweixfl＠163.cn

吳 梵（1962－），男，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：艦船結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。