基于接觸算法的氣囊隔振特性分析及簡(jiǎn)化

張平豪，吳新躍

（海軍工程大學(xué) 機(jī)械工程系，武漢 430033）

1 引 言

氣囊隔振器主要由上下安裝板之間囊式簾線橡膠層及囊內(nèi)密封的高壓空氣組成，氣囊隔振器的載荷可以通過(guò)充、放氣來(lái)調(diào)整，通過(guò)高度保持裝置，能夠使各個(gè)氣囊的高度保持一致,確保輸出端與軸系的對(duì)中要求。另外，氣囊隔振器還具有承載大（可達(dá)15t以上）、結(jié)構(gòu)尺寸小、隔振頻率低（一般小于2Hz）、阻尼性能好、無(wú)駐波效應(yīng)和高頻隔振性能好等優(yōu)點(diǎn)，能夠顯著降低船舶的結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

本文使用ABAQUS軟件以及接觸算法對(duì)兩種安裝模式不同的囊式空氣彈簧隔振器的隔振特性進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，在分析結(jié)果的基礎(chǔ)上找出結(jié)構(gòu)的薄弱之處，并提出相應(yīng)的改進(jìn)措施與有限元模型的簡(jiǎn)化方法。

2 求解方法理論分析

2.1 模態(tài)分析法

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有限元法的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)彈性連續(xù)體的振動(dòng)問(wèn)題，離散為一個(gè)以有限節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題。空間離散的多自由度時(shí)不變線性系統(tǒng)，其動(dòng)力方程在無(wú)阻尼情況下可用二階常微分方程表示：

式中：{x（ t ）}—位移向量；{ f（t ）}—激振力向量；[M ]—質(zhì)量矩陣；[K]—?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

式中：ρ為材料密度；N為單元形函數(shù)，與有限元單元種類有關(guān)；B=LN，L為單元特征長(zhǎng)度；D為彈性矩陣，由彈性模量和泊松比確定[1]。利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力對(duì)離散動(dòng)力學(xué)微分方程特征值問(wèn)題進(jìn)行求解是一條非常高效的途徑。

2.2 接觸算法

對(duì)稱罰函數(shù)算法是ABAQUS處理接觸-碰撞表面最常用的接觸算法，其物理意義相當(dāng)于在兩個(gè)接觸面之間放置一個(gè)法向彈簧，使得法向界面接觸力的大小與穿透深度、主接觸面剛度成正比?？紤]兩物體A、B接觸問(wèn)題，如圖 1所示當(dāng)前構(gòu)形為 VA和VB，邊界面為 ΩA和 ΩB，接觸面記為 ΩC=ΩA∩ΩB，由于兩物體不能互相重疊，事先無(wú)法確定兩物體在哪一點(diǎn)接觸，因此只能在每一時(shí)步，對(duì)比ΩC面上物體A、B的坐標(biāo)或?qū)Ρ人俾蕘?lái)實(shí)現(xiàn)位移協(xié)調(diào)條件。

式中N表示法線方向。

算法如圖1所示，其有限元計(jì)算步驟如下：

（1）對(duì)接觸面上的任一個(gè)從節(jié)點(diǎn)ns搜索與它最靠近的主節(jié)點(diǎn)ms。

（2）檢查與主節(jié)點(diǎn)ms有關(guān)的所有主片Si，確定從節(jié)點(diǎn)ns在主片上可能接觸點(diǎn)C的位置。

（3）檢查從節(jié)點(diǎn)ns是否穿透主片，穿透則附加法向接觸力fs，如有摩擦系數(shù)則計(jì)入摩擦力

由以上原理分析可知，接觸算法能夠解決梁?jiǎn)卧M螺栓聯(lián)結(jié)中節(jié)點(diǎn)相互進(jìn)入的情況；而且接觸單元沒(méi)有質(zhì)量，不會(huì)改變系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；而且接觸的添加非常方便。下面將接觸算法與共節(jié)點(diǎn)處理進(jìn)行比較計(jì)算，以驗(yàn)證上述分析。

3 隔振器模型介紹

3.1 幾何模型

囊式空氣彈簧隔振器模型如圖2所示。氣囊是由交叉的多層簾布（外層膠、簾布層、里層膠）組合而成的復(fù)合結(jié)構(gòu)。氣囊在隔振器中的安裝方式為兩種：一種是將氣囊作為零件裝配在隔振器中，另一種是將氣囊硫化在隔振器中，利用橡膠的粘接性質(zhì)將氣囊和底座鋼板做成一個(gè)整體。

3.2 有限元模型

從有限元的原理出發(fā),模型幾何形狀越接近實(shí)物計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，但是過(guò)分追求幾何模型的細(xì)節(jié)，不但對(duì)計(jì)算結(jié)果精確度提高影響很小，而且會(huì)使得網(wǎng)格劃分異常復(fù)雜，單元質(zhì)量下降。所以本文采用CAD軟件UG建立幾何模型時(shí),簡(jiǎn)化了一些圓孔、倒角等對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較小的因素。

3.2.1 模型材料定義

隔振器除橡膠部件外都為鋼材料。本文取鋼密度為7 800 kg/m3,彈性模量為2.1×1011N/m2,泊松比0.3。橡膠材料的本構(gòu)模型采用以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ)建立起來(lái)的唯象學(xué)理論模型

式中C10和C01為材料常數(shù)。根據(jù)參考文獻(xiàn)[2]，在沒(méi)有產(chǎn)生大變形情況下，可以使用準(zhǔn)靜態(tài)橡膠本構(gòu)模型進(jìn)行仿真。通過(guò)（6）式可以得到隔振器橡膠材料的材料參數(shù)：

式中，E為彈性模量，HA為邵氏硬度。氣囊橡膠采用某種氯丁橡膠，密度為1 230 kg/m3，邵氏硬度60，計(jì)算得 C10為 0.482 5，C01為 0.120 6。

3.2.2 單元選擇

基于幾何模型的隔振器有限元模型如圖2所示，兩個(gè)模型均由氣囊、底座構(gòu)成。氣囊是由內(nèi)外橡膠層、簾布層復(fù)合而成。內(nèi)外橡膠層的厚度遠(yuǎn)小于氣囊外型尺寸，可以選擇殼單元模擬此結(jié)構(gòu)。在ABAQUS/Standard中使用4節(jié)點(diǎn)四邊形有限薄膜應(yīng)變線性完全積分殼單元可以獲得很高的精度，故內(nèi)外橡膠層采用S4單元模擬。簾布層是橡膠氣囊的承載骨架，考慮到幾何非線性條件，使用ABAQUS/Standard提供的B22二次梁?jiǎn)卧M。底座鋼板由六面體網(wǎng)格劃分，其單元類型為C3D20R。氣囊用四面體殼單元?jiǎng)澐?，厚?mm，共6 292個(gè)網(wǎng)格，6 292個(gè)節(jié)點(diǎn)。鋼板用六面體單元?jiǎng)澐郑? 280個(gè)網(wǎng)格，2 898個(gè)節(jié)點(diǎn)。本文討論氣囊的隔振特性，氣囊上減速齒輪箱用剛體單元描述即可。在底座上施加簡(jiǎn)支約束，各個(gè)部件之間施加面—面接觸用以保證作用力的傳遞[3]。

氣囊內(nèi)充滿一定壓力的空氣，現(xiàn)有的有限元軟件雖然已提供了描述空氣的單元特性和材料模式，但它們也只是用于流體分析，不能描述密閉系統(tǒng)內(nèi)的氣體，所以本文并未使用氣體單元，而是通過(guò)在氣囊單元內(nèi)表面施加法向壓力來(lái)模擬。氣囊內(nèi)氣體是密封的，其狀態(tài)參數(shù)的變化滿足氣體狀態(tài)方程；承載變形后氣體在密閉容器中的體積發(fā)生了變化，即空氣彈簧在變形后壓力也會(huì)發(fā)生變化，因此施加壓力載荷時(shí)不能直接加入一個(gè)恒定的壓力載荷，文中采用增量法求解，在第一個(gè)載荷步求解完成后，計(jì)算出容器的體積，反求出此時(shí)的內(nèi)壓力，再將此壓力加載于膠囊內(nèi)壁，如此進(jìn)行多步迭代可以較準(zhǔn)確地模擬出內(nèi)壓的變化[4]。

4 有限元計(jì)算

氣囊是囊式空氣彈簧隔振器中最重要的隔振部件，它的性能好壞直接影響到隔振性能的好壞。氣囊在隔振器中的安裝方式為兩種：一種是將氣囊作為零件裝配在隔振器中，另一種是將氣囊硫化在隔振器中，利用橡膠的粘接性質(zhì)將氣囊和底座鋼板做成一個(gè)整體。

在有限元分析中，兩種不同氣囊處理方法也需要不同的有限元處理方法。前一種方法需要用面-面接觸算法處理氣囊與底座鋼板之間的界面；而后一種方法由于氣囊和底座鋼板是一個(gè)整體，兩者之間不會(huì)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，因此其界面需要用共節(jié)點(diǎn)方法處理。為了分析兩種處理方法對(duì)隔振效果的影響。本文分別用這兩種方法處理圓柱隔振器，分別提取前20階固有頻率，然后施加相同的隨頻率變化的動(dòng)態(tài)載荷進(jìn)行分析。

4.1 固有頻率提取

ABAQUS提供的基于模態(tài)的穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)分析（mode-based steady-state dynamic analysis）可以在指定頻率內(nèi)的諧波激勵(lì)下，計(jì)算引起結(jié)構(gòu)響應(yīng)的振幅和相位，得到的結(jié)果是在頻域上的。為得到結(jié)構(gòu)的振型和固有頻率需要設(shè)置頻率提取分析步，ABAQUS/Standard提供了兩種特征值提取方法：Lanczos方法和子空間迭代法（subspace iteration）[3]。前者適用于模型的規(guī)模較大，且需要提取多階振型時(shí)。這里提取固有頻率使用子空間迭代法，在于當(dāng)提取的振型少于20階時(shí)速度較快。下表為兩種安裝模式的前20階固有頻率：

表1 前20階固有頻率Tab.1 The first 20th order intrinsic frequency

對(duì)比兩種結(jié)果不難看出氣囊隔振器隔振頻率低，同時(shí)接觸狀態(tài)的固有頻率比相應(yīng)的共節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的低。分析其原因，是由于接觸狀態(tài)下橡膠氣囊與鋼板之間主要靠接觸面切線方向的摩擦力產(chǎn)生相互作用，隔振器整體剛度較小；而共節(jié)點(diǎn)狀態(tài)下橡膠氣囊與鋼板連成一個(gè)整體，隔振器整體剛度由于鋼板較大的彈性模量而提高。

4.2 頻率響應(yīng)分析

基于上步提取的固有頻率，在如圖2所示簡(jiǎn)化成剛性體的減速齒輪箱上施加一個(gè)隨頻率變化的動(dòng)態(tài)載荷，分析對(duì)比兩種安裝模式的頻率響應(yīng)。載荷的頻率范圍為0～10 Hz，幅值為1，提取響應(yīng)的頻率起始值為0.01 Hz，頻率增量0.005 Hz，頻率增量步200。響應(yīng)點(diǎn)位置分布如圖2右圖所示，節(jié)點(diǎn)編號(hào)6695的1號(hào)響應(yīng)點(diǎn)位于氣囊頂端，節(jié)點(diǎn)編號(hào)為12517的2號(hào)響應(yīng)點(diǎn)位于氣囊和底板的界面上，節(jié)點(diǎn)編號(hào)為13565的3號(hào)響應(yīng)點(diǎn)位于底板上。模型位于直角坐標(biāo)系中，x坐標(biāo)反映氣囊寬度方向，y坐標(biāo)反映氣囊垂直方向，z坐標(biāo)反映氣囊長(zhǎng)度方向。

（1）x方向激勵(lì)時(shí)，3個(gè)響應(yīng)點(diǎn)的幅頻響應(yīng)曲線如圖4～7所示，上半部分為共節(jié)點(diǎn)處理的結(jié)果，下半部分為定義接觸面的結(jié)果。1號(hào)響應(yīng)點(diǎn)位于氣囊頂端，設(shè)置接觸面的幅值為共節(jié)點(diǎn)幅值的1/10；2號(hào)響應(yīng)點(diǎn)位于氣囊和底板的界面上，設(shè)置接觸面的幅值為共節(jié)點(diǎn)幅值的1/2；3號(hào)響應(yīng)點(diǎn)位于底板上，設(shè)置接觸面的幅值為共節(jié)點(diǎn)幅值的2.3倍。分析其原因在于設(shè)置接觸面比共節(jié)點(diǎn)的隔振器固有頻率低、整體剛度也小得多，振動(dòng)能量耗散較大。

（2）y方向激勵(lì)時(shí)，2、3號(hào)響應(yīng)點(diǎn)兩種安裝方式的響應(yīng)結(jié)果趨于一致，結(jié)果區(qū)別在于1號(hào)響應(yīng)點(diǎn)如圖7所示，設(shè)置接觸面的幅值為共節(jié)點(diǎn)幅值的1/2。分析其原因在于隔振器承受y向激勵(lì)時(shí)，2、3號(hào)響應(yīng)點(diǎn)在設(shè)置接觸面時(shí)同共節(jié)點(diǎn)一樣將接受來(lái)自垂直傳向底板的激勵(lì)；而1號(hào)響應(yīng)點(diǎn)由于設(shè)置接觸面的安裝方式耗散振動(dòng)能量較大，幅值較小。

（3）z方向激勵(lì)時(shí)，兩種安裝方式的振動(dòng)響應(yīng)幅值較小，低于x、y向兩個(gè)數(shù)量級(jí)，在這里不做過(guò)多討論。

通過(guò)以上分析發(fā)現(xiàn)，設(shè)置接觸面比共節(jié)點(diǎn)的隔振效果較好，也就是說(shuō)將氣囊作為部件安裝在隔振器中，比將氣囊硫化在隔振器中的隔振效果要好。但是裝配存在安裝對(duì)中擾動(dòng)較大、設(shè)備聯(lián)結(jié)的動(dòng)態(tài)位移較大、設(shè)備位置固定不可靠等問(wèn)題。兩種隔振方式在使用中應(yīng)靈活運(yùn)用。

5 隔振器簡(jiǎn)化處理研究

囊式空氣彈簧隔振器是船用設(shè)備隔振應(yīng)用較廣泛的一種隔振方式，因此囊式空氣彈簧隔振器的有限元建模是設(shè)備系統(tǒng)級(jí)分析中必須解決的。最精確的有限元模型就是將隔振器各部件劃分為較密的有限元網(wǎng)格，在施加彈塑性材料模型和各個(gè)接觸面之間的接觸單元上進(jìn)行分析。但是這種方法太消耗計(jì)算機(jī)資源和人力勞動(dòng)，一個(gè)普通的設(shè)備都含有多個(gè)隔振器，如果要都劃分為精確的有限元網(wǎng)格，網(wǎng)格數(shù)量和計(jì)算時(shí)間都是天文數(shù)字。因此需要找到一種既容易劃分網(wǎng)格，又不會(huì)降低計(jì)算精度的簡(jiǎn)化氣囊模型來(lái)代替詳細(xì)模型。

首先對(duì)兩種隔振器在垂向載荷作用下的隔振器相對(duì)變形與載荷大小之間的關(guān)系進(jìn)行了計(jì)算，圖8為計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出，氣囊位移曲線具有明顯的非線性。產(chǎn)生位移初期載荷梯度變化不大，即該區(qū)域剛度小；隨著位移的逐漸加大載荷梯度也越來(lái)越大，表明氣囊剛度變大。

根據(jù)上述研究結(jié)論，本文提出此類囊式空氣彈簧隔振器的簡(jiǎn)化處理方法：由于隔振器主要隔振部件氣囊的變形隨載荷變化呈非線性增長(zhǎng)，與超彈性材料橡膠在小變形情況下的曲線變化規(guī)律相似；同時(shí)從氣囊的構(gòu)成看，它是由內(nèi)外橡膠層、簾布層復(fù)合而成。故而可以將其簡(jiǎn)化為實(shí)心橡膠隔振器，利用ABAQUS求解非線性問(wèn)題的Newton-Raphson法對(duì)氣囊力—位移關(guān)系曲線進(jìn)行材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)評(píng)估[5]，根據(jù)使用情況及精度要求選擇不同的本構(gòu)關(guān)系（Mooey-Rivlin、Ogden等方程）進(jìn)行擬合，得出簡(jiǎn)化而成的實(shí)心橡膠隔振器的模型參數(shù)。

根據(jù)圖8載荷與位移曲線，由靜剛度Ks計(jì)算公式：

式中：P0為額定靜載荷N，ΔP為靜載荷增量N，ΔX為靜變形增量mm，X1.1為在1.1倍額定載荷隔離器靜變形值mm，X0.9為在0.9倍額定載荷隔離器靜變形值mm。得出氣囊在小變形下的靜剛度值為5.33e6 N/m，由（6）式計(jì)算出C10為0.711 1，C01為0.177 8。對(duì)圖2所示的氣囊單元重劃分，得六面體單元13 200個(gè)。這些單元便是簡(jiǎn)化了的氣囊有限元模型，對(duì)其附上C10為0.711 1，C01為0.177 8的橡膠參數(shù)，按第3節(jié)所述方法即可計(jì)算出氣囊被簡(jiǎn)化模型代替后的結(jié)果，由于篇幅所限在此不再贅述。

此簡(jiǎn)化方法的使用也有其局限性：簡(jiǎn)化模型不能模擬出精確模型中氣囊疲勞破壞的臨界狀態(tài)；環(huán)境溫度對(duì)氣囊內(nèi)部密閉空氣的影響也不能通過(guò)簡(jiǎn)化模型模擬。

6 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)兩種不同安裝方式的囊式空氣彈簧隔振器的上述分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）本文通過(guò)數(shù)值仿真計(jì)算了兩種隔振器的模態(tài)響應(yīng)，全面分析了隔振器在隨頻率變化的動(dòng)態(tài)載荷作用下的薄弱環(huán)節(jié)和不足之處，對(duì)于提高隔振器隔振性能能力有一定的參考價(jià)值。

（2）由于降低了隔振器的整體模態(tài)頻率，安裝方式上裝配比硫化隔振效果要好。

（3）隔振器的載荷位移變形符合超彈性材料的變化規(guī)律，因此在振動(dòng)特性計(jì)算中可以使用實(shí)心橡膠模型建立其簡(jiǎn)化模型。

（4）隔振器簡(jiǎn)化模型應(yīng)用有其局限性，適合在小變形的振動(dòng)計(jì)算模型中使用。

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