一種基于滯留時(shí)間序列的毀傷率估計(jì)

劉超，王軍，郭治

(1.山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院，山西 太原030006;2.南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京210094)

為使武器系統(tǒng)對(duì)其有效射擊區(qū)域內(nèi)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)有盡可能高的射擊效能，應(yīng)對(duì)不同的射擊過程建立相應(yīng)的射擊體制［1］。對(duì)坦克系統(tǒng)而言，射擊域?yàn)樯鋼糸T在目標(biāo)迎彈面上的投影;對(duì)高炮系統(tǒng)而言，射擊域?yàn)槲磥砜沼虼? 對(duì)跟瞄系統(tǒng)而言為現(xiàn)在空域窗。實(shí)際中機(jī)動(dòng)目標(biāo)的航路是由常態(tài)分量和隨機(jī)分量組成。目前對(duì)于常態(tài)分量的預(yù)測研究較多，而對(duì)隨機(jī)分量，常作隨機(jī)擾動(dòng)而不納入指標(biāo)范疇。事實(shí)上當(dāng)目標(biāo)常態(tài)分量的預(yù)測較準(zhǔn)確，使射擊域中心與常態(tài)航路保持相對(duì)一致時(shí)目標(biāo)隨機(jī)分量會(huì)平穩(wěn)地隨機(jī)穿越射擊域。文獻(xiàn)［2-3］研究了機(jī)動(dòng)目標(biāo)隨機(jī)穿越射擊域時(shí)的概率模型及其精度問題?；谶@些模型，文獻(xiàn)［4-5］分別研究了隨機(jī)穿越情況下穿越周期內(nèi)和滯留時(shí)間內(nèi)毀傷概率的估計(jì)問題。文獻(xiàn)［6］研究了隨機(jī)穿越情況下給定滯留時(shí)間個(gè)數(shù)時(shí)毀傷概率的估計(jì)問題。這些研究是基于: 只有當(dāng)目標(biāo)處于射擊域時(shí)射擊，且當(dāng)射彈抵達(dá)射擊域時(shí)目標(biāo)也在該域中時(shí)，才可能以概率命中目標(biāo)。在實(shí)際中，射擊域的設(shè)置、射彈散布及密集度、射速和彈速的確定以及目標(biāo)自身的機(jī)動(dòng)特性共同決定了目標(biāo)對(duì)射擊域的滯留時(shí)間和毀傷概率。但由于滯留時(shí)間的隨機(jī)性，即使合理配置的情況下也會(huì)出現(xiàn)小的滯留時(shí)間。當(dāng)滯留時(shí)間小于射彈反應(yīng)時(shí)間，那么在本次滯留時(shí)間內(nèi)是無法命中目標(biāo)的，即使在射彈飛抵時(shí)間內(nèi)目標(biāo)有可能多次穿越射擊域，但兩者又同時(shí)在射擊域內(nèi)交匯的概率非常小。所以考察那些大于射彈反應(yīng)時(shí)間的滯留時(shí)間內(nèi)的毀傷概率具有實(shí)際意義。通常的毀傷率是指在規(guī)定的總發(fā)彈量或給定時(shí)間內(nèi)連續(xù)射擊條件下命中預(yù)定目標(biāo)發(fā)數(shù)的概率［7-8］。由于目標(biāo)在射擊域中的滯留時(shí)間是隨機(jī)變量，所以機(jī)動(dòng)時(shí)的射擊效能和毀傷率分析，應(yīng)將滯留時(shí)間序列的概率特性納入其中。本文基于給定時(shí)間與滯留時(shí)間序列的概率關(guān)系及武器系統(tǒng)射擊的延時(shí)特性，研究隨機(jī)穿越情況下給定時(shí)間內(nèi)毀傷概率的估計(jì)問題，提出一種在給定時(shí)間內(nèi)通過求解對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)滯留時(shí)間序列中大于一定值的有效滯留時(shí)間數(shù)量的概率的方法，給出相關(guān)的表達(dá)式及其近似公式，通過仿真分析給出相關(guān)結(jié)論。

1 問題描述及定理

定義1 定義目標(biāo)處在射擊域內(nèi)時(shí)的射擊為有效射擊或滯留射擊。

定義2 定義在規(guī)定時(shí)間內(nèi)以確定的射擊規(guī)則進(jìn)行滯留射擊時(shí)命中規(guī)定彈數(shù)以上的概率為隨機(jī)穿越毀傷率。

本文考慮若在給定時(shí)間tg內(nèi)，滯留時(shí)間和待機(jī)時(shí)間的個(gè)數(shù)分別服從參數(shù)為μ0和μ1的泊松分布，則在tg內(nèi)滯留時(shí)間個(gè)數(shù)的均值為［9］

可見，給定了tg就可確定tg內(nèi)的平均滯留時(shí)間個(gè)數(shù)因此，以作為統(tǒng)計(jì)量對(duì)tg內(nèi)的統(tǒng)計(jì)滯留時(shí)間序列進(jìn)行分析，可以得到tg對(duì)應(yīng)下的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量。因此定義2 可進(jìn)一步敘述為:

定義3 定義在給定平均滯留時(shí)間個(gè)數(shù)N 內(nèi)，以確定的射擊規(guī)則進(jìn)行滯留射擊時(shí)命中規(guī)定彈數(shù)以上的概率為給定時(shí)間下滯留時(shí)間序列的毀傷率。

若考慮武器系統(tǒng)從目標(biāo)進(jìn)入射擊域瞬時(shí)下達(dá)的射擊指令到彈頭射出存在的系統(tǒng)延時(shí)td，則目標(biāo)的實(shí)際有效滯留時(shí)間tr應(yīng)滿足tr≥td.這時(shí)，在所對(duì)應(yīng)的序列{ X1，X2，…，} 中，那些滿足不小于td的滯留時(shí)間中存在命中概率。

設(shè)在ξ=ti條件下，{N( t-ti)，t≥ti} 是一個(gè)隨機(jī)射擊計(jì)數(shù)過程。記ξ≥0 為目標(biāo)進(jìn)入射擊域時(shí)刻，t≥ξ 為目標(biāo)離開射擊域時(shí)刻，ξ，t 為正隨機(jī)過程，則該過程為滯留時(shí)間條件計(jì)數(shù)過程。記為{Nξ=ti( t-ti)，t≥ti}.

考慮射擊時(shí)間間隔{ηi，i=1，…} 服從參數(shù)為γ的指數(shù)分布［10］，其密度函數(shù)為fη( τ)=γe-τγ，γ≥0.由于在ξ=ti條件下，射擊次數(shù)計(jì)數(shù)過程{ N( t-ti)，t≥ti}的點(diǎn)間隔序列{ηi，i=1，…}為相互獨(dú)立、同指數(shù)分布的隨機(jī)變量，所以滯留時(shí)間條件計(jì)數(shù)過程{Nξ=ti( t- ti)，t ≥ti} 是參數(shù)為γ 的條件Poisson過程。

引理1 設(shè)一個(gè)計(jì)數(shù)過程{Nc( t)，t≥0} 是參數(shù)為γ 的泊松過程。如果其中歸為一類事件發(fā)生的概率為p，而歸為另一類事件發(fā)生的概率為(1-p)，則{Nc( t)，t≥0} 可分裂成2 個(gè)參數(shù)分別為pγ 和γ(1-p)的泊松過程{ Nc1( t)，t ≥0} 及{ Nc2( t)，t≥0}.

定理1 若滯留射擊內(nèi)的射擊時(shí)間間隔是參數(shù)為γ 的同指數(shù)分布，平均單發(fā)命中概率為p.則一次滯留射擊過程中，滯留命中計(jì)數(shù)過程{Mξ=ti( t-ti)，t≥ti}是一個(gè)參數(shù)為pγ 的條件Poisson 過程。

證明1 由條件可知，滯留射擊內(nèi)的射擊次數(shù)Nξ=ti( t-ti)是參數(shù)為γ 的Poisson 過程。相應(yīng)的滯留命中次數(shù)可表示為

其中，Ii為第i 次射擊的示性函數(shù)，即命中時(shí)為1，否則為0.所以Ii是(0-1)分布

由引理1 可得{ Mξ=ti( t-ti)，t≥ti} 是參數(shù)為pγ 的Poisson 過程。即一次滯留射擊中命中k 發(fā)的概率為

式中:( t-ti)為滯留時(shí)間，是隨機(jī)變量，可記為tr=( t-ti).所以，(2)式是一個(gè)以k 為參數(shù)，以tr為隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)，記

定理2 在一個(gè)滯留時(shí)間中，命中k 發(fā)以上所需的滯留時(shí)間的下限滿足

式中td為武器系統(tǒng)從目標(biāo)進(jìn)入射擊域瞬時(shí)下達(dá)射擊指令到彈頭射出時(shí)存在的射擊延時(shí)。

證明2 若射擊時(shí)間間隔服從γ 的指數(shù)分布，則平均射擊間隔為1/γ，由定理1 可得射擊過程中的平均命中時(shí)間間隔為1/pγ，則命中目標(biāo)k 發(fā)所需的最小平均滯留時(shí)間為( k-1)/pγ.若再考慮首發(fā)射擊延時(shí)td，則命中k 發(fā)以上所需的滯留時(shí)間tr應(yīng)大于下限值t1( k)，即應(yīng)滿足(4)式。證畢。

(4)式給出了命中目標(biāo)發(fā)數(shù)k 與最小平均有效滯留時(shí)間之間的概率關(guān)系。從而可以通過求解在給定時(shí)間tg內(nèi)對(duì)應(yīng)的中有效滯留時(shí)間個(gè)數(shù)的概率來估計(jì)毀傷概率。以下利用伽馬分布的一個(gè)特性導(dǎo)出滯留時(shí)間為指數(shù)分布時(shí)，給定tg下個(gè)滯留時(shí)間中大于有效滯留時(shí)間的個(gè)數(shù)的概率。

引理2［10］若{Yi，i=1，…} 獨(dú)立同分布，具有參數(shù)為n 和b 的伽馬分布Γ( n，b)，則Yi的概率函數(shù)為

則X 中有l(wèi) 個(gè)不小于給定值C 的概率為

其中

為Xi≥C 的概率。

證明3 由{Xi，i=1，…，N}的獨(dú)立性可知，L 是具有參數(shù)為和pc的二項(xiàng)分布，則( 5)式成立。再由引理2 可得

定理4 若滯留時(shí)間序列獨(dú)立同服從參數(shù)為b的指數(shù)分布EP( b)，則中有l(wèi) 個(gè)有效滯留時(shí)間的概率為

即，令(6)式中的n=1，再代入(5)式，即得(7)式。

2 滯留時(shí)間序列的毀傷概率

2.1 毀傷率表示

設(shè)彈目在射擊域內(nèi)散布偏差的密度函數(shù)為f .當(dāng)目標(biāo)迎彈面Ω0落入射擊域時(shí)開始射擊。則二維射擊域中的平均單發(fā)命中概率為

1)給定滯留時(shí)間序列下的毀傷率

在tg內(nèi)，滯留時(shí)間tr出現(xiàn)的可能范圍為0≤tr≤tg，但在tr≤td中，命中目標(biāo)的概率幾乎為0.若毀傷目標(biāo)至少需要命中目標(biāo)m 發(fā)彈，由( 4)式可知，tr應(yīng)滿足tl( k)≤tr≤tg，lk≥m，1≤k≤m.其中l(wèi) 為中滿足tr≥tl( k)的有效滯留時(shí)間個(gè)數(shù)。記P{m|為個(gè)滯留時(shí)間序列中命中m 發(fā)的概率。則由定理3 及定理4 可得，在給定參數(shù)μ0、及m 和k時(shí)，至少命中m 發(fā)的滯留時(shí)間序列毀傷率為

2)首段滯留時(shí)間內(nèi)的毀傷率

2.2 毀傷率的近似計(jì)算

通常，用(9)式計(jì)算并不方便。以下給出它的2 種不同條件下的近似計(jì)算公式。

式中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

即上式是參數(shù)為Npc的Poisson 分布。( 12)式和(13)式的計(jì)算可通過標(biāo)準(zhǔn)分布表得到。

3 應(yīng)用與仿真分析

在實(shí)際中，對(duì)于確定的射擊域和具體的一個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，μ0和μ1是確定的。在給定時(shí)間tg下可由(1)式得到對(duì)應(yīng)的平均滯留時(shí)間個(gè)數(shù)根據(jù)毀傷目標(biāo)至少需要命中目標(biāo)的彈數(shù)m，確定個(gè)滯留時(shí)間內(nèi)的射彈密集度和武器配置，以保證射彈量大于m.由射彈密集度可以確定平均射擊時(shí)間間隔1/γ.

以下通過仿真來驗(yàn)證和分析本文中的主要結(jié)論(9)式、(12)式的正確性和實(shí)用性。為簡化運(yùn)算便于比較，給出了給定時(shí)幾組無量綱參數(shù)的仿真結(jié)果。已知=10，p=0.08，γ=30，td=0.6，平均滯留時(shí)間分別取: 1/μ0=0.6，1，1.5，2，2.5;預(yù)期毀傷率分別取m=1，2，3，4，5;l=1.估計(jì)tg條件下中至少有1 個(gè)滯留時(shí)間滿足命中至少m 發(fā)的毀傷概率。

由以上參數(shù)，直接利用( 9)式或( 12)式可以得到給定tg時(shí)至少命中m 發(fā)的毀傷概率。

一個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果列在表1中。表中第1 列的第1 行(0.827 90)表示在μ0和μ1確定下，給定時(shí)間tg內(nèi)至少滿足命中一發(fā)的毀傷概率，第2 行(0.545 98)表示給定時(shí)間tg內(nèi)至少滿足命中2 發(fā)的毀傷概率。由表可看進(jìn)一步出:m 不變，毀傷概率隨1/μ0的增大而增大。即當(dāng)平均滯留時(shí)間增大時(shí)，意味著滯留序列中滿足毀傷目標(biāo)所需的有效滯留時(shí)間個(gè)數(shù)的概率也增大，從而使預(yù)期命中發(fā)數(shù)m 以上的概率也隨之增大。由此可見，當(dāng)1/μ0很大時(shí)，滯留毀傷率將趨于通常意義下的射擊時(shí)間無限制的情況。所以常規(guī)射擊時(shí)的毀傷率問題是本方法中的一個(gè)特例;當(dāng)滯留時(shí)間參數(shù)不變時(shí)，毀傷概率會(huì)隨m的增大而減小，這說明滯留時(shí)間均值不變時(shí)，滿足較大的預(yù)期命中發(fā)數(shù)m 所需的有效滯留時(shí)間個(gè)數(shù)的概率會(huì)下降，因而毀傷率也隨之下降; 表中標(biāo)識(shí)‘* ’的列中數(shù)據(jù)是對(duì)應(yīng)前一列參數(shù)利用(12)式得到的結(jié)果。易見，由(12)式同樣可得到較精確的計(jì)算的結(jié)果。

表1 滯留時(shí)間序列毀傷率的分析結(jié)果(=10)Tab.1 Analysis results on kill probability based on residence time processes

表1 滯留時(shí)間序列毀傷率的分析結(jié)果(=10)Tab.1 Analysis results on kill probability based on residence time processes

m 1/μ0 0.6 1.0 1.5 *2.0 2.5 1 0.827 90 0.992 62 0.998 83 0.998 03 0.999 89 1.000 00 2 0.545 98 0.928 13 0.990 05 0.987 95 0.998 32 0.999 98 3 0.256 55 0.764 28 0.949 51 0.947 70 0.987 70 0.996 82 4 0.086 51 0.517 60 0.838 48 0.838 90 0.945 23 0.980 10 5 0.020 95 0.273 88 0.638 98 0.639 84 0.833 76 0.922 03

由(9)式可知，不同的l 情況下所得命中期望發(fā)數(shù)m 的概率是不同的，而每種情況都可能發(fā)生。因而，在給定的tg和m 時(shí)，存在著至少命中m 發(fā)的最大概率和最小概率，即存在一個(gè)概率區(qū)間

對(duì)上式概率區(qū)間求平均值得

上式表示給定tg時(shí)至少命中m 發(fā)的所有毀傷概率的平均值。因此可以用這一統(tǒng)計(jì)特征來整體評(píng)估一個(gè)武器系統(tǒng)對(duì)一類目標(biāo)在機(jī)動(dòng)時(shí)的毀傷概率。

4 結(jié)論

本文基于時(shí)間固定與滯留時(shí)間隨機(jī)之間的關(guān)系，研究了給定時(shí)間內(nèi)統(tǒng)計(jì)滯留時(shí)間序列的命中與毀傷概率的相關(guān)特性，得到有效滯留時(shí)間與命中次數(shù)之間的關(guān)系;通過泊松分布與伽馬分布的有關(guān)性質(zhì)，導(dǎo)出了一種利用求解給定時(shí)間內(nèi)平均滯留時(shí)間

序列中滿足有效滯留射擊時(shí)間個(gè)數(shù)的概率來估計(jì)給定時(shí)間下的毀傷率的解析表示和近似計(jì)算公式，最后進(jìn)行了應(yīng)用分析，并通過仿真實(shí)驗(yàn)分析了毀傷率與各參數(shù)之間的關(guān)系及結(jié)論的正確性。結(jié)果表明常規(guī)射擊時(shí)的毀傷率可歸為本方法中的一個(gè)特例，因而具有普適性，可為機(jī)動(dòng)條件下的毀傷效能評(píng)估提供一種實(shí)用的方法。

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