一般Lurie 系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定的新結(jié)果

趙秀元

(榆林學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 陜西 榆林 719000)

0 引 言

關(guān)于Lurie 系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的研究已經(jīng)有許多研究結(jié)果[1-10].文獻(xiàn)[11]通過界定非線性項的方法[12]，把Lurie 系統(tǒng)看成一個線性不確定系統(tǒng)，進(jìn)而把Lurie 系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性問題等價為具有不確定項的線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題.

在研究魯棒穩(wěn)定性時，不確定系統(tǒng)通常重排成如圖1所示的PΔ-結(jié)構(gòu)，其中，P(s)是正規(guī)線性系統(tǒng)，Δ表示不確定擾動.

圖1 穩(wěn)定性分析框架

在分析Lurie系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的情況下，Δ被進(jìn)一步表示為模有界的塊對角矩陣.本文利用文獻(xiàn)[11]的方法，將Lurie 系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的結(jié)果推廣到一般Lurie 系統(tǒng)和具有重疊非線性項的一般Lurie 系統(tǒng).

1 預(yù)備知識

文獻(xiàn)[11]用實結(jié)構(gòu)奇異值分析方法研究了如下Lurie系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性

這里x∈Rn是狀態(tài)向量；u∈Rp是輸入向量；y∈Rp是輸出向量；{A,B,C}是最小實現(xiàn)；Φ:Rp→Rp是時不變無記憶非線性項，它的元素φi:R→R是全局Lipshitz函數(shù).

假設(shè)φi是滿足下列3個條件之一的一、三象限非線性函數(shù)：

先介紹文獻(xiàn)[11]的一個定義和兩個引理：

φi(σ)=(mi+δiλi)σ且|δi|≤1

引理2[11]定義的Φ(y)的均值增益為矩陣M=diag{m1,m2,…,mp}，Φ(y)的擾動界為矩陣A=diag{λ1,λ2,…,λp}和Δ=diag{δ1,δ2,…,δp}，則非線性Φ(y)項可表示為

Φ(y)=(M+ΔΛ)y, -I≤Δ≤I

2 主要結(jié)果

本文考慮多變元一般Lurie系統(tǒng)

(1)

{A,B,C,D}是最小實現(xiàn).

由引理1，把系統(tǒng)(1)化為

(2)

令E=[I+D(M+ΔΛ)]-1C，z=AEx，w=Δz，則得到PΔ-結(jié)構(gòu).

這里P(s)表示的狀態(tài)空間是

(3)

接下來考慮多變元一般Lurie重疊非線性系統(tǒng)

(4)

這里x∈Rn是狀態(tài)向量，A∈Rn×n，B∈Rn×p，F(xiàn)∈Rp×n，G∈Rp×q，C∈Rq×n，D∈Rq×q，函數(shù)Φ1:Rp→Rp，Φ2:Rq→Rq是時不變無記憶非線性項，它的性質(zhì)同前面的函數(shù)一樣.

非線性項Φ1(y)和Φ2(v)表示為Φ1(ξ)=(M1+Δ1Λ1)ξ, -I≤Δ1≤I,Φ2(σ)=(M2+Δ2Λ2)σ,

-I≤Δ2≤I.

由引理1，把系統(tǒng)(4)化為

(5)

這里E=[I+D(M2+Δ2Λ2)]-1C，于是可得如下系統(tǒng)

(6)

定義新的變元z=ΛEx，w1=Δ1Λ1Fx，w2=Δ2Λ2Ex，w3=Δ1Λ1GM2Ex，w2=Δ1Λ1Gw2，則得到PΔ-結(jié)構(gòu).

這里表示P(s)的狀態(tài)空間是

(7)

3 結(jié)束語

本文研究了一般Lurie 系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性,給出了一個新的結(jié)果，同時研究了具有重疊重疊非線性項的一般Lurie 系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,把文獻(xiàn)[11]的結(jié)果推廣到了一般Lurie 系統(tǒng)和具有重疊非線性項的一般Lurie 系統(tǒng).

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