高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的凸輪從動件運(yùn)動規(guī)律研究

王允地 ， 王穩(wěn)地， 王良文， 張航偉

(1．陜西科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 陜西 西安 710021； 2. 西南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 重慶 400715； 3. 鄭州輕工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院, 河南 鄭州 450002)

0 引 言

在自動機(jī)械中，通常用凸輪機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)從動件有停歇的往復(fù)運(yùn)動.凸輪勻速轉(zhuǎn)動一圈，從動件實(shí)現(xiàn)升程—遠(yuǎn)休止—回程—近休止4個過程.與從動件行程(升程或回程)對應(yīng)的凸輪轉(zhuǎn)角Ф稱為行程角，做往復(fù)直線運(yùn)動的從動件總位移h或做往復(fù)擺動的從動件總擺角Ψ稱為從動件行程.以T表示凸輪轉(zhuǎn)角φ與行程角Ф的比值，且稱其為無因次時間，S表示從動件直線位移s與行程h的比值或從動件擺角ψ與行程Ψ的比值，且稱其為無因次位移.在凸輪的輪廓給定后，S和T之間便有函數(shù)關(guān)系

S=S(T)

(1)

圖1 無因次位移隨無因次時間的變化曲線 圖2 無因次位移、速度、加速度曲線

我們稱這一函數(shù)關(guān)系為凸輪機(jī)構(gòu)的無因次運(yùn)動規(guī)律，以后簡稱位移規(guī)律.

顯然，位移規(guī)律函數(shù)自變量和因變量的取值范圍均為0到1，如圖1所示.從理論上看，運(yùn)動規(guī)律的形式有無窮多個，屬于經(jīng)典數(shù)學(xué)上的第三類無窮大.

另外，我們稱S對T的一階導(dǎo)數(shù)

V=dS/dT=V(T)

(2)

為機(jī)構(gòu)的無因次速度規(guī)律，以后簡稱速度規(guī)律，而稱S對T的二階導(dǎo)數(shù)

A=dV/dT=A(T)

(3)

為機(jī)構(gòu)的無因次加速度規(guī)律，以后簡稱加速度規(guī)律.

如圖2所示，速度和加速度規(guī)律曲線自變量的取值范圍仍為0到1，函數(shù)的最大和最小值則隨運(yùn)動規(guī)律的不同而取相應(yīng)值.

經(jīng)過思考及研究，我們設(shè)置一個樣本函數(shù)g(T) ,讓它與一個待定常數(shù)k的乘積對自變量T從0到1的積分為1，這樣，該乘積對T從0到T的積分

(4)

便是一個運(yùn)動規(guī)律函數(shù).

為了實(shí)用及研究方便，我們設(shè)定樣本函數(shù)g(T) 在起、終點(diǎn)數(shù)值為0，在區(qū)間內(nèi)光滑連續(xù)，關(guān)于中心軸對稱，且在中心軸兩邊單調(diào)變化.

凸輪機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中，系統(tǒng)慣性力系是周期性變化的.根據(jù)數(shù)學(xué)及機(jī)械學(xué)的研究結(jié)果可知，運(yùn)動規(guī)律函數(shù)S(T) 導(dǎo)數(shù)連續(xù)的次數(shù)越高，系統(tǒng)慣性力系富里哀展開式高階分量趨近于0的速度越快，對于高速高精度分度凸輪機(jī)構(gòu)、自動裝配機(jī)床、印刷機(jī)等容易產(chǎn)生高階諧振的系統(tǒng)的振動影響越小，且能有效的降低機(jī)器噪音.

以下在本文的正文中，我們先討論符合設(shè)定要求的冪函數(shù)類運(yùn)動規(guī)律，再討論三角函數(shù)類運(yùn)動規(guī)律，接著討論指數(shù)函數(shù)類運(yùn)動規(guī)律，最后對修正等速度類運(yùn)動規(guī)律做補(bǔ)充討論.

1 冪函數(shù)類運(yùn)動規(guī)律

1.1 三次冪規(guī)律

首先，取樣本函數(shù)g(T) 為g(T)=T(1-T)，運(yùn)動規(guī)律函數(shù)則是

(5)

S(T)=3T2-2T3

(6)

V(T)=6T(1-T)

(7)

A(T)=6(1-2T)

(8)

從中看出，該規(guī)律的速度函數(shù)連續(xù)，加速度函數(shù)在起、終點(diǎn)有柔性沖擊(加速度有突變).T等于1/2時，速度取最大值3/2；T等于0時，加速度取最大值6，T等于1時，加速度取最小值-6,但速度與加速度的乘積AV(與驅(qū)動力矩有關(guān))在起、終點(diǎn)仍然為0.

1.2 五次冪規(guī)律

我們?nèi)颖竞瘮?shù)g(T)為g(T)=T2(1-T)2,同樣可以推得五次冪運(yùn)動規(guī)律的表達(dá)式為

S(T)=10T3-15T4+6T5

(9)

V(T)= 30T2(1-T)2

(10)

A(T)=60T(1-T)(1-2T)

(11)

1.3 七次冪規(guī)律

取樣本函數(shù)g(T)為g(T)=T3(1-T)3,推得七次冪運(yùn)動規(guī)律的表達(dá)式為

S(T)=35T4-84T5+70T6-20T7

(12)

V(T)= 140T3(1-T)3

(13)

A(T)=420T2(1-T)2(1-2T)

(14)

1.4 九次以上的冪函數(shù)規(guī)律

取樣本函數(shù)g(T)為g(T)=T4(1-T)4,推得九次冪運(yùn)動規(guī)律的表達(dá)式為

S(T)=126T5-420T6+540T7-315T8+70T9

(15)

該規(guī)律的四階導(dǎo)數(shù)函數(shù)也連續(xù).

取樣本函數(shù)g(T)為g(T)=T5(1-T)5,推得十一次冪運(yùn)動規(guī)律的表達(dá)式為

S(T)=462T6-1 980T7+3 465T8-3 080T9+1 386T10-252T11

(16)

該規(guī)律的五階導(dǎo)數(shù)函數(shù)也連續(xù).

類似的不斷取樣本函數(shù)g(T)為g(T)=Tn(1-T)n,便可得到n階導(dǎo)數(shù)函數(shù)也連續(xù)的更高階冪函數(shù)規(guī)律.

2 三角函數(shù)類運(yùn)動規(guī)律

2.1 簡諧規(guī)律

我們?nèi)颖竞瘮?shù)g(T)為g(T)=sin(πT),運(yùn)動規(guī)律函數(shù)則是

(17)

由此得出簡諧運(yùn)動規(guī)律的表達(dá)式為

(18)

(19)

(20)

2.2 擺線規(guī)律

我們?nèi)颖竞瘮?shù)g(T)為g(T)=sin2(πT),同樣的可以推得擺線運(yùn)動規(guī)律的表達(dá)式為

(21)

V(T)= 1- cos(2πT)

(22)

A(T)= 2πsin(2πT)

(23)

從中看出，該規(guī)律的加速度函數(shù)也連續(xù).T等于1/2時，速度取最大值2；T等于1/4 時，加速度取最大值2π，T等于3/4 時，加速度取最小值-2π.

2.3 次擺線規(guī)律

我們?nèi)颖竞瘮?shù)g(T)為g(T)=sin3(πT),同樣的可以推得次擺線運(yùn)動規(guī)律的表達(dá)式為

(24)

(25)

(26)

類似的不斷取樣本函數(shù)g(T)為g(T)=sinn(πT),便可得到n階導(dǎo)數(shù)函數(shù)也連續(xù)的更高階三角函數(shù)類運(yùn)動規(guī)律.

3 指數(shù)函數(shù)類運(yùn)動規(guī)律

3.1 初指數(shù)運(yùn)動規(guī)律

我們?nèi)颖竞瘮?shù)g(T)為g(T)=-eT-e1-T+e+1,同樣可以推得初指數(shù)函數(shù)運(yùn)動規(guī)律的表達(dá)式為

(27)

(28)

(29)

從中看出，該規(guī)律的速度函數(shù)連續(xù)，加速度函數(shù)有柔性沖擊.T等于1/2時，速度取最大值1.493 8；T等于0時，加速度取最大值6.899 3，T等于1時，加速度取最小值-6.899 3,但速度與加速度的乘積AV在起、終點(diǎn)仍然為0.

另外，初指數(shù)規(guī)律速度V與加速度A乘積AV的最大值在上述諸規(guī)律中最低.

3.2 次指數(shù)運(yùn)動規(guī)律

我們?nèi)颖竞瘮?shù)g(T)為g(T)=(-eT-e1-T+e+1)2,同樣的可以推得次指數(shù)運(yùn)動規(guī)律，其加速度函數(shù)也連續(xù).

圖3 修正等速度運(yùn)動規(guī)律

類似的不斷取樣本函數(shù)g(T)為g(T)=(-eT-e1-T+e+1)n,便可得到n階導(dǎo)數(shù)函數(shù)也連續(xù)的更高階指數(shù)函數(shù)規(guī)律.

4 修正等速度運(yùn)動規(guī)律

在行程角Ф特別大的場合，可以優(yōu)先考慮修正等速度規(guī)律，如圖3所示.

4.1 四次冪修正等速度規(guī)律

(30)

(31)

(32)

速度規(guī)律為

(33)

(34)

(35)

加速度規(guī)律為

(36)

A(T)=0T=δ～ 1-δ

(37)

(38)

4.2 簡諧修正等速度規(guī)律

(39)

(40)

(41)

速度規(guī)律為

(42)

(43)

(44)

加速度規(guī)律為

(45)

A(T)=0T=δ～ 1-δ

(46)

(47)

5 結(jié) 論

(1) 通過設(shè)置不同的樣本函數(shù)，可以得到各種各樣的運(yùn)動規(guī)律.

(2)按照這一思想，不僅得到了速度函數(shù)連續(xù)的三次冪規(guī)律、簡諧規(guī)律及初指數(shù)運(yùn)動規(guī)律，還得到了加速度函數(shù)連續(xù)的五次冪規(guī)律、擺線規(guī)律、四次冪修正等速度規(guī)律及簡諧修正等速度規(guī)律，且得到了躍度函數(shù)連續(xù)的七次冪規(guī)律及次擺線規(guī)律，并給出了它們的特性值,導(dǎo)出了四階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的九次冪規(guī)律及五階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的十一次冪規(guī)律,指出了更高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)的獲取途徑.

(3)函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)的次數(shù)增高，速度最大值及加速度最大值會有所增大,因此應(yīng)根據(jù)具體情況適當(dāng)選取.

(4)對于加工精度不高及要求驅(qū)動力矩較小的場合，可優(yōu)先選用三次冪規(guī)律、簡諧規(guī)律及初指數(shù)規(guī)律.對于加工精度較高且系統(tǒng)剛度較小的場合，則可選用五次冪規(guī)律、擺線規(guī)律、七次冪規(guī)律及次擺線規(guī)律.而對于運(yùn)動過程較長的場所，則可優(yōu)先考慮修正等速度規(guī)律.

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