非均勻圓膜軸對稱振動的離散模型的振動反問題

王其申，汪 楊，何 敏，錢華峰，劉全金

(1.安慶師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246011;2.安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246011)

1 圓膜軸對稱振動方程及其離散模型

考察質(zhì)量軸對稱分布的圓膜，其面密度只與半徑r有關(guān)，即ρ=ρ(r)。這時圓膜振動方程成為:

這里y=y(r，θ，t)是膜的橫向位移函數(shù)?？疾熳钜话愕妮S對稱邊界條件:

其中:T與σ是正常數(shù)。對于這類軸對稱膜的軸對稱振動，膜的位移僅與徑向坐標(biāo)有關(guān)，y=y(r，t)。把方程(1)分離變數(shù):y=u(r)ejωt，相應(yīng)的徑向方程成為:

這里ω是系統(tǒng)固有振動的圓頻率。

一般而言，方程(3)已不是Bessel方程，但它顯然仍為斯圖膜-劉維爾型方程。上述方程在由式(2)經(jīng)分離變量所得的邊界條件:下，構(gòu)成了較為特殊的一類斯圖膜-劉維爾方程的本征值問題［1］。按照斯圖膜-劉維爾方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，這里的p(r)=rT，它在區(qū)間［0，a］的端點r=0處取零值，因而屬于奇異本征值問題。相應(yīng)地應(yīng)有u(0)有界。由于這里僅考慮軸對稱振動，進一步應(yīng)有:

顯然，對于一般的密度函數(shù)ρ=ρ(r)，特征值問題方程(3)～(5)沒有精確解。為了尋求它的近似解，我們首先建立與方程(3)～(5)相應(yīng)的差分離散系統(tǒng)。

圖1 軸對稱膜的差分格式Fig.1 The difference scheme of the axisymmetric circular membrane

引入差分點0=r0＜r1＜…＜rn=a并記lr=rs-rs-1(s=1，…，n)，這相當(dāng)于把圓r≤a劃分成一個一個的圓環(huán)，如圖1所示。記fs、f's與f″s為相應(yīng)函數(shù)在差分點rs(s=0，…，n)處的值，那么利用函數(shù)的精確到二階小量的泰勒公式:

在略去高階小量后，不難解出如下的二階中心差分公式:

記us=u(rs)(s=0，…，n)。對于s=1，…，n-1 的內(nèi)點，將上面的二階中心差分公式(7)代入式(3b)有:

對s=n的端點處，直接利用泰勒展式(6)和邊界條件式(4)得到:

以此連同泰勒展式(6)和邊界條件(5)代入方程(3b)可得:

若引入變換:

則上述離散后的方程成為:

這里:

代表邊界力。可以看到，一般情況下這樣導(dǎo)出的方程組并不是彈簧—質(zhì)點系統(tǒng)的運動方程組.不過，所得系統(tǒng)仍然屬于文獻(xiàn)［4］中所定義的標(biāo)準(zhǔn)雅可比(Jacobi)系統(tǒng)。特別的，對于等步長的差分離散系統(tǒng)，l1=l2=…=ln=a/n，系數(shù)組(11a)簡化為:

系統(tǒng)歸于彈簧-質(zhì)點系統(tǒng)。

2 圓膜離散模型的振動定性性質(zhì)

鑒于上述差分離散模型屬于雅可比系統(tǒng)，若記方程組(12)左邊的系數(shù)矩陣為A，則用歸納法不難證明，當(dāng)圓膜周邊固定時，det A=b1b2…bn，而當(dāng)圓膜周邊彈性支承時，det A=b1b2…bnqn，從而除周邊自由外，圓膜離散系統(tǒng)屬于雅可比正系統(tǒng)。依據(jù)雅可比矩陣特征值和特征向量的特有性質(zhì)［4］，我們馬上可以得出軸對稱膜的離散系統(tǒng)軸對稱振動具有如下定性性質(zhì):

(1)系統(tǒng)的頻率是實的和單的，可按從小到大次序排列為:

這里等號只在σ=0時成立。當(dāng)0≤σ＜+∞時N=n+1而當(dāng)σ=+∞時N=n。

(2)相應(yīng)于ωk的第k個特征向量即第k個位移振型 u(k)=(u0k，u1k，…uN-1，k)T恰有k-1(k=1，2，…，N)個變號數(shù)。

(3)兩個相鄰振型 u(k)和u(k+1)(k=2，…，N-1)的節(jié)點相間。

(4)鑒于當(dāng)σ=+∞時，膜的周邊固定，un≡0。方程組(12)中的最后一個方程化為平衡方程。就是說，周邊固定膜的離散系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是周邊彈性支承膜的相應(yīng)矩陣的截斷矩陣。由雅可比矩陣與其截斷矩陣的特征值的相間性推出，周邊固定膜的離散系統(tǒng)頻譜(k=1，2，…，n)和周邊彈性支承膜的頻譜(k=1，2，…，n+1)相間，即:

完全類似的也有:

(5)在式(13)中，注意到邊界力Qn或邊界力系數(shù)qn隨表征邊界支承彈簧常數(shù)σ的增長而增長，且qn≥0。若記=an+qn，顯然有≥an且等號當(dāng)且僅當(dāng)σ=0時成立。就是說，周邊自由膜的離散系統(tǒng)的剛度矩陣和周邊彈性支承膜的相應(yīng)矩陣的差別僅在于其右下角元素，而二者的質(zhì)量矩陣是相同的，依據(jù)雅可比矩陣特征值與其元素之間的關(guān)系［4］可知，周邊自由膜的離散系統(tǒng)頻譜和周邊彈性支承膜的頻譜(k=1，2，…，n+1)也相間，即:

綜上所述，更有

(6)導(dǎo)出周邊固定膜的離散系統(tǒng)頻譜和周邊彈性支承膜的頻譜相間關(guān)系的另一方法如下:

研究周邊彈性支承膜的離散系統(tǒng)在其周邊受一外力密度為q的簡諧力作用時的強迫響應(yīng)問題。這種情況下的強迫振動方程是:

上述方程組寫成矢量形式就是:

這里 λ = ω2，M=diag(m0，m1，…，mn)，e(n+1)=(0，…，0，1)T是n+1維列向量。

采用按固有振型展開的方法求解上述強迫響應(yīng)問題，即設(shè):

這里u(k)(k=1，…，n+1)是周邊彈性支承膜的離散系統(tǒng)相應(yīng)于固有圓頻率的振型，

已經(jīng)關(guān)于M歸一化，即:

為了確定常數(shù)ck(k=1，…，n+1)，把級數(shù)展開式代入式(16)后兩邊再左乘矢量(u(k))T，即可解得:

于是，強迫振動的振幅向量可以表示為:

特別地，有:

從這里，我們得到周邊固定膜的離散系統(tǒng)(un=0)的如下頻率方程:

從這里，同樣可以得出周邊固定膜的離散系統(tǒng)頻譜和周邊彈性支承膜的頻譜相間關(guān)系式(14)。

3 圓膜離散模型的模態(tài)反問題

與桿的縱振動的離散模型的模態(tài)反問題類似［5］，對圓膜的軸對稱振動離散模型可以提出如下模態(tài)反問題:

給定周邊固定或周邊彈性支承膜的離散系統(tǒng)的兩個模態(tài)(ωi，u(i))和(ωt，u(t))，這里 ωi＜ ωt，試確定系統(tǒng)的質(zhì)量系數(shù)和剛度系數(shù)。

此式給出:

記:

則有:

不同于文獻(xiàn)［5］的是，需要進一步計算周邊彈性支承膜的離散模型的幾何、物理參數(shù).在給定ln、圓膜半徑a和張力T的條件下，它們可按以下步驟計算:

(4)由于b1=πT是常數(shù)，由式(21)可得

至于周邊固定膜，其模態(tài)反問題的提法和解法與周邊彈性支承膜完全相似，只是減少一個自由度。

4 圓膜離散模型的頻率反問題

提出并求解圓膜離散模型的如下頻率反問題:

頻率反問題的求解過程如下:

(1)由給定頻率數(shù)據(jù)和式(18)可以解出周邊彈性支承圓膜離散系統(tǒng)各振型的最后一個分量unk(k=1，…，n+1)。

(2)式(17)的第一式給出:

此式的對角元素給出:

由此可以解出mn。

(3) 令 q=M1/2u=(q0，…，qn)T，改寫方程(12)為:

其中:

由此按照:

即可依次解出ci/mi和bi+1/mi(i=1，2，…，n)，這里bn+1=qn。繼而仿照模態(tài)反問題算出差分步長lk(k=n-1，…，1)、彈性支承參數(shù) σ 以及結(jié)點密度 ρk(k=n，n-1，…，0)。

5 反問題的計算實例

例1 周邊固定的均勻膜，取n=10，ρ=1，T=1，a=1，采用等步長的差分格式。以相應(yīng)的正問題的1、2階模態(tài)為反問題的原始數(shù)據(jù)，計算相應(yīng)的差分步長和結(jié)點線密度.計算結(jié)果列于表1。

表1 周邊固定膜的模態(tài)反問題的數(shù)值計算結(jié)果Tab.1 The numerical calculated result on the inverse modes problem of membrane with the fixed boundary

表2 周邊彈性支承膜的模態(tài)反問題的數(shù)值計算結(jié)果Tab.2 The numerical calculated result on the inverse modes problem of the membrane with the spring supported boundary

表3 周邊彈性支承膜的頻率反問題的數(shù)值計算結(jié)果Tab.3 The numerical calculated result on the inverse frequencies problem of the membrane with the spring supported boundary

例2 周邊彈性支承的變厚度膜，取n=10，ρ(r)=r+1，T=1，a=1，σ=10，采用等步長的差分格式。以相應(yīng)的正問題的2、3階模態(tài)為反問題的原始數(shù)據(jù)，計算相應(yīng)的差分步長和結(jié)點線密度。計算結(jié)果列于表2。

例3 周邊彈性支承的變厚度膜，取n=10，ρ(r)=r+1，T=1，a=1，σ=10，采用等步長的差分格式。以相應(yīng)的正問題的頻譜和周邊改為固定時的頻譜作為反問題的原始數(shù)據(jù)，計算相應(yīng)的差分步長和結(jié)點線密度。計算結(jié)果列于表3。

6 結(jié)論

以上我們導(dǎo)出了軸對稱圓膜做軸對稱振動時所對應(yīng)的差分離散模型，進而討論了它的定性性質(zhì)并求解了相應(yīng)離散系統(tǒng)的振動反問題。以上算例表明，上述反問題的提法是合理的，反問題的解法是正確的。而且與文獻(xiàn)［5-7］中的結(jié)論一樣，頻率反問題對原始數(shù)據(jù)的精度要求較之模態(tài)反問題要高得多。

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