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    橫向補(bǔ)給系統(tǒng)高架索在一重和雙重內(nèi)共振下的面內(nèi)振動

    2011-06-02 08:10:20張良欣何學(xué)軍任愛娣
    振動與沖擊 2011年8期
    關(guān)鍵詞:高架雙重共振

    張良欣,何學(xué)軍,任愛娣

    (海軍工程大學(xué) 后勤指揮與工程系,天津 300450)

    高架索在橫向干貨補(bǔ)給過程中,由于受到集中質(zhì)量(貨物)在高架索上的位置的變化、高架索兩端高度差以及船舶運(yùn)動引起的索端的激勵等因素的影響,使得高架索系統(tǒng)的動力學(xué)行為異常復(fù)雜。目前對于橫向干貨補(bǔ)給系統(tǒng)的高架索研究還主要局限于靜力學(xué)、結(jié)構(gòu)計(jì)算及優(yōu)化設(shè)計(jì)等方面[1-4],對于作為橫向補(bǔ)給高架索系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的動力學(xué)特性的研究還很少。橫向補(bǔ)給高架索系統(tǒng)的動力學(xué)模型可以近似簡化為具有集中質(zhì)量的傾斜懸索,其動力學(xué)特性研究可借鑒類似懸索的動力學(xué)研究成果。陳自力,唐駕時[5]針對工程客、貨運(yùn)索道系統(tǒng),利用δ函數(shù)來體現(xiàn)集中載荷對懸索的影響,建立了外激勵作用下、具有移動集中載荷的兩端固定的水平懸索的動力學(xué)模型;通過利用Galerkin離散與多尺度方法對系統(tǒng)進(jìn)行漸近分析,得到了系統(tǒng)主共振/次共振分岔點(diǎn)的解析解、分岔點(diǎn)位置以及相應(yīng)分岔圖,還分析了系統(tǒng)的分岔和穩(wěn)定性。Lin和Perkins[6]建立了具有若干集中質(zhì)量懸索的三自由度線性振動模型,提出了可用于求解任意垂度懸索特征解的半解析半數(shù)值的方法,拓展了以往分析懸索—質(zhì)量系統(tǒng)動力學(xué)受限于模態(tài)階數(shù)的理論方法。Rega等[7]對傾斜懸索的動力學(xué)特性進(jìn)行深入研究,研究表明其面內(nèi)振動的模態(tài)頻率與水平懸索存在本質(zhì)區(qū)別,傾斜懸索不存在對稱和反對稱模態(tài),其模態(tài)形式為混合型(非對稱)模態(tài)。模態(tài)頻率與彈性—幾何參數(shù)關(guān)系也不象水平懸索那樣對稱與反對稱模態(tài)頻率存在交叉點(diǎn),而是各階模態(tài)頻率曲線分離。Takahashi[8]參照Irvine[9]水平懸索線性頻率計(jì)算公式,考慮懸索傾斜角度的影響,推導(dǎo)出用于計(jì)算傾斜懸索頻率的改進(jìn)的Irvine公式,并與Galerkin離散結(jié)果、Irvine理論結(jié)果比較,結(jié)果表明,改進(jìn)的Irvine公式具有很高的精度。本文綜合上述文獻(xiàn)的建模思想,考慮到集中質(zhì)量等因素的影響,建立了高架索的面內(nèi)振動理論模型。利用Galerkin方法對系統(tǒng)進(jìn)行了離散,得到了高架索系統(tǒng)的前3階模態(tài)振動的標(biāo)準(zhǔn)控制方程。借助Mathematica軟件,分析了集中質(zhì)量在高架索上的位置對系統(tǒng)各階模態(tài)頻率的影響;同時,利用數(shù)值方法對1∶1∶2雙重內(nèi)共振及1∶2內(nèi)共振兩種情況下系統(tǒng)的面內(nèi)振動特性進(jìn)行分析。

    1 控制方程建立及簡化

    綜合文獻(xiàn)[4]-文獻(xiàn)[9],考慮到集中質(zhì)量在高架索上的位置對系統(tǒng)的動力學(xué)行為的影響,高架索系統(tǒng)平面內(nèi)振動的動力學(xué)模型為:

    圖1 高架索系統(tǒng)的示意圖Fig.1 The schematic model of highline cable

    為了研究高架索系統(tǒng)的面內(nèi)橫向振動,將高架索的軸向運(yùn)動做為激勵簡化高架索面內(nèi)控制方程。考慮參數(shù)激勵情況,根據(jù)邊界條件[10]u(0,t)=0,u(l,t)=lF(t),對方程(1a)分別進(jìn)行邊界積分,得:

    將式(2)代入式(1b),可得高架索系統(tǒng)的面內(nèi)橫向振動的控制方程:

    式中F(t)=f sin(Ωt)為高架索的索端無量綱參數(shù)激勵,f為無量綱常數(shù),Ω為激勵頻率。

    其中λn為材料彈性-幾何參數(shù),考慮到集中質(zhì)量及高架索傾角的影響[8],其具體表達(dá)式為:

    由式(7)可見,高架索系統(tǒng)的材料彈性-幾何參數(shù)與集中質(zhì)量的位置、模態(tài)振型因素有關(guān),這也是高架索系統(tǒng)與無集中質(zhì)量的懸索的重要區(qū)別之一。通過上述各表達(dá)式可見,集中質(zhì)量對高架索系統(tǒng)的動力學(xué)行為的影響,不僅僅體現(xiàn)在對系統(tǒng)慣性質(zhì)量的影響,同時還與高架索系統(tǒng)的頻率方程、振型方程中的系數(shù)有關(guān),進(jìn)而影響系統(tǒng)的模態(tài)振型和模態(tài)頻率,這種強(qiáng)耦合特性,大大增加高架索系統(tǒng)的動力學(xué)行為研究的難度。

    2 高架索系統(tǒng)面內(nèi)振動的模態(tài)頻率分析

    由上述初步分析可見,高架索系統(tǒng)的模態(tài)頻率、振型將隨集中質(zhì)量的在高架索上的位置變化而變化,只有明確了系統(tǒng)模態(tài)頻率、振型的變化趨勢,才能更好地為后續(xù)的高架索系統(tǒng)的動力學(xué)研究的開展鋪平道路,因此,必須首先確定系統(tǒng)模態(tài)頻率與集中質(zhì)量的位置的關(guān)系。

    由式(5)、式(6)以及式(7)可見系統(tǒng)模態(tài)振動的振型及模態(tài)頻率是相互關(guān)聯(lián)的,表達(dá)式εn、λn中均含有集中質(zhì)量在高架索上的位置xm這一基本參數(shù)。但是,即使給定xm的值,也無法確定系統(tǒng)振動模態(tài)振型及頻率,因此稱xm為局部參數(shù)。φn(xm)對應(yīng)特定集中質(zhì)量位置的n階模態(tài)振型幅值,體現(xiàn)了集中質(zhì)量對系統(tǒng)質(zhì)量的貢獻(xiàn),如果先不考慮 xm的取值,直接給定φn(xm)的值,就可以確定參數(shù)εn、λn及高架索系統(tǒng)振動的模態(tài)振型和模態(tài)頻率,因此稱之為系統(tǒng)的全局參數(shù)。

    本文通過待定局部參數(shù) xm,而給定全局參數(shù)φn(xm)的方式來確定參數(shù) εn、λn,進(jìn)而由式(5)、式(6)得到高架索系統(tǒng)振動的n階模態(tài)頻率ωn及模態(tài)振型φn,再由式(5)反過來確定局部參數(shù)xm的值。通過改變φn(xm)的值,重復(fù)上述步驟,即可以得到高架索系統(tǒng)面內(nèi)振動的n階模態(tài)頻率與集中質(zhì)量位置的關(guān)系,為系統(tǒng)后續(xù)的動力學(xué)行為研究提供基礎(chǔ)。其中,φn(xm)的取值范圍為(0,1)。借助Mathematica程序,得到了高架索系統(tǒng)的前3階模態(tài)頻率與集中質(zhì)量位置的關(guān)系曲線,如圖2所示

    圖2 高架索系統(tǒng)的前3階模態(tài)頻率與集中質(zhì)量的位置的關(guān)系及各階模態(tài)振型(xm=5 m)Fig.2 The first three modal frequencies influenced by the lumped mass of highline cable and modal shapes when xm=5 m

    由圖2可見,高架索系統(tǒng)各階模態(tài)頻率受集中質(zhì)量的位置變化的影響很大,當(dāng)xm≈4 m~6.6 m時,高架索系統(tǒng)的第1、3階模態(tài)頻率存在類似滯回非線性的特性,即同一位置對應(yīng)多個模態(tài)頻率、振型。說明集中質(zhì)量在特定位置時,系統(tǒng)將會存在幾種不同的振動形式。此外,數(shù)值分析表明,當(dāng)xm≈4.5 m ~5.5 m 時,系統(tǒng)的第1、2、3階振動存在1∶1∶2雙重內(nèi)共振情況;圖2給出了xm=5 m時,系統(tǒng)發(fā)生1∶1∶2雙重內(nèi)共振及1∶2內(nèi)共振情況的振型圖,后續(xù)的數(shù)值分析就是針對該情況進(jìn)行的。本文通過選取不同的第1階模態(tài)頻率產(chǎn)生1∶1∶2 雙重內(nèi)共振及1∶2 內(nèi)共振情況。系統(tǒng)發(fā)生1∶1∶2雙重內(nèi)共振時,第1階模態(tài)振型(O1(r))、3階模態(tài)振型(O3(u/r))呈現(xiàn)近似的反對稱特征,第2階模態(tài)振型(O2(u/r))為典型的混合(非對稱)模態(tài);而發(fā)生1∶2內(nèi)共振時,系統(tǒng)的第1階模態(tài)振型(O1(u))為近似的對稱模態(tài),第2、3階模態(tài)振型與雙重共振情況相同。

    3 數(shù)值分析

    參照實(shí)際情況,高架索系統(tǒng)的基本參數(shù)取值如下:

    E=1.8 × 1011Pa;A=4.9 × 10-4m2;ρ≈7800kg/m3;l=50 m;xm=5 m;M=600kg;T=20 kN;f=0.01;θ=π/6。

    Ω為高架索的索端激勵頻率,選取Ω=2ω1,為一類典型參激共振情況。下面就針對1∶1∶2雙重內(nèi)共振(ω3=2ω1≈2ω2)及 1∶2 內(nèi)共振情況,對高架索系統(tǒng)在平面內(nèi)的橫向振動的動力學(xué)特性進(jìn)行數(shù)值分析。

    情況1 1∶2 內(nèi)共振情況(ω3≈2ω1)

    由上述的高架索系統(tǒng)的模態(tài)頻率的計(jì)算,發(fā)生1∶2內(nèi)共振時系統(tǒng)的各階模態(tài)頻率及小參數(shù)取值為:ε1=0.0461;ε2=0.0578;ε3=0.1505;ω1=5.3707 rad/s;ω2=6.3252 rad/s; ω3=12.5482 rad/s;

    由圖3、圖4可見,對于1∶2內(nèi)共振情況,高架索系統(tǒng)面內(nèi)振動以第1階模態(tài)振動為主的周期運(yùn)動;高架索系統(tǒng)的第2、3階模態(tài)振動的振幅迅速衰減,與第1、2階模態(tài)振動相比,系統(tǒng)的第3階模態(tài)振動完全可以忽略不計(jì)。

    情況2 1∶1∶2 雙重內(nèi)共振情況(ω3=2ω1≈2ω2)

    系統(tǒng)各階頻率及小參數(shù)取值為:

    ε1=0.0818;ε2=0.0578;ε3=0.1505;ω1=6.2745 rad/s;ω2=6.3252 rad/s;ω3=12.5482 rad/s。

    由圖5、圖6可見,對于1∶1∶2雙重內(nèi)共振情況,高架索系統(tǒng)的振動以前兩階模態(tài)振動為主,第2、3階模態(tài)振動的振幅比1∶2內(nèi)共振情況大得多。由于此時系統(tǒng)的前兩階模態(tài)振動頻率十分相近,使得系統(tǒng)第1、2、3階模態(tài)發(fā)生1∶1∶2雙重內(nèi)共振時,第2階模態(tài)也處于近共振狀態(tài),從而導(dǎo)致系統(tǒng)的振動出現(xiàn)第2階模態(tài)振幅較大的情況。同時,系統(tǒng)的各階模態(tài)振動也不再是簡單的周期運(yùn)動,高架索系統(tǒng)的第1、2階振動為周期2運(yùn)動,而第3階振動更為復(fù)雜,為周期5運(yùn)動。

    綜上所述,當(dāng) xm≈4.5 m ~5.5 m 時,高架索系統(tǒng)將存在1∶1∶2雙重內(nèi)共振及1∶2內(nèi)共振兩種振動形式,系統(tǒng)在擾動下可能會在這兩種振動之間跳躍,從而影響到系統(tǒng)的作業(yè)效率,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此,對于該高架索系統(tǒng)而言,在該區(qū)間作業(yè)時,應(yīng)盡量保持高架索系統(tǒng)張力及貨物運(yùn)行速度的恒定,避免在該區(qū)域內(nèi)調(diào)節(jié)貨物輸送的速度。

    4 結(jié)論

    考慮集中質(zhì)量在高架索上的位置變化對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響,建立了橫向補(bǔ)給系統(tǒng)的高架索面內(nèi)振動的連續(xù)體模型,利用Galerkin方法將連續(xù)模型離散為標(biāo)準(zhǔn)的動力學(xué)控制方程。引入全局和局部參數(shù)的概念,分析了集中質(zhì)量的位置對系統(tǒng)的前3階模態(tài)頻率的影響,得到了他們的關(guān)系曲線。對1∶1∶2雙重內(nèi)共振和1∶2內(nèi)共振情況下高架索系統(tǒng)的參激振動的動力學(xué)行為進(jìn)行研究,結(jié)果表明,高架索系統(tǒng)在發(fā)生1∶1∶2雙重內(nèi)共振時,系統(tǒng)振動的第2、3階振幅值較1∶2內(nèi)共振情況大得多,且存在復(fù)雜的周期2、周期5運(yùn)動現(xiàn)象。

    [1]盧永錦.海上橫向補(bǔ)給高架索道系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型研究[J].中國造船,1996,37(1):17-22.

    [2]余建星,李紅濤.高架索海上補(bǔ)給裝置在小型船舶補(bǔ)給上的應(yīng)用[J].海洋技術(shù),2005,24(2):59-62.

    [3]嚴(yán)梅劍.海上航行橫向補(bǔ)給裝置選型設(shè)計(jì)[J].船舶,2004,31(1):51-53.

    [4]楊 軍,徐巖山,任愛娣,等.海上補(bǔ)給仿真訓(xùn)練系統(tǒng)中高架索形態(tài)模型研究[J].海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào),2006,18(4):90-95.

    [5]陳自力.集中荷載作用下懸索的面內(nèi)運(yùn)動非線性分析與應(yīng)用[D].長沙:湖南大學(xué),2006.

    [6]Lin H P,Perkins N C.Free vibration of complex cable/mass systems:theory and experiment[J].Journal of Sound and Vibration,1995,179(1):131-149.

    [7]Rega G,Srinil N.Nonlinear hybrid-mode resonant forced oscillations of sagged inclined cables at avoidances[J].Journal of Computational and Nonlinear Dynamics,2007,2(4):324-336.

    [8]Wu Q,Takahashi K,Nakamura S.Formulae for frequencies and modes of in-plane vibrations of small-sag inclined cables[J].Journal of Sound and Vibration,2005,279(3 - 5):1155-1169.

    [9]Irvine H M. Cable structures[M].Cambridge:The Massachusetts Institute of Technology Press,1981.

    [10]Nayfeh A H,Mook D T.Nonlinear oscillations[M].New York:Wiley-Interscience,1979.

    附 錄

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