密肋復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)水平位移計(jì)算方法研究

郭 猛，袁 泉，黃 煒，張旭鋒，李鵬飛

（1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055）

為了進(jìn)一步提高在基本烈度為7度地震區(qū)建造密肋復(fù)合墻結(jié)構(gòu)的層數(shù)和建筑總高度，解決基本烈度為8度地震區(qū)建造超過現(xiàn)有《密肋壁板結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》［1］中有關(guān)密肋結(jié)構(gòu)總層數(shù)和總高度的限制問題，課題組近期提出了密肋復(fù)合墻－RC剪力墻混合結(jié)構(gòu)［2－5］（簡(jiǎn)稱復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)），如圖1所示。這種新型混合結(jié)構(gòu)以密肋復(fù)合墻為主體，根據(jù)計(jì)算需要設(shè)置一定數(shù)量RC剪力墻，通過框架梁、連梁或樓板將密肋復(fù)合墻與混凝土墻聯(lián)合起來，共同抵御水平荷載作用，其中剪力墻可以是實(shí)體墻、帶縫墻、開洞墻等。由于混合結(jié)構(gòu)的大部分抗側(cè)力構(gòu)件為密肋復(fù)合墻，因而保持了密肋結(jié)構(gòu)的諸多長(zhǎng)處；同時(shí)由于加入部分剪力墻，增大了結(jié)構(gòu)極限承載力和抗側(cè)剛度，減小了地震作用下樓層層間變形值，從而提高了密肋結(jié)構(gòu)的整體抗震能力。剪力墻與復(fù)合墻變形機(jī)制的不同使得混合結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)雙重延性受力特點(diǎn)，即小震時(shí)剪力墻作為第一道防線起主要作用，中震和大震時(shí)剪力墻剛度出現(xiàn)退化，地震力由密肋復(fù)合墻與剪力墻按有效剛度分擔(dān)。作為試點(diǎn)工程，密肋復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)體系已在寧夏銀川等地區(qū)的部隊(duì)營(yíng)房建筑中得 到應(yīng)用。

對(duì)于水平荷載下密肋復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)位移的研究：文獻(xiàn)［6］建立了考慮復(fù)合墻彈性常數(shù)取值特點(diǎn)與剪切變形的密肋結(jié)構(gòu)位移方程；文獻(xiàn)［2］從能量原理出發(fā)，通過推導(dǎo)結(jié)構(gòu)體系的系統(tǒng)勢(shì)能方程和約束方程，構(gòu)造輔助泛函并依據(jù)變分原理，得出混合結(jié)構(gòu)的水平位移計(jì)算公式?；谀芰康奈灰朴?jì)算方法的主要缺點(diǎn)是需要多次試算構(gòu)造出合理的輔助泛函，不同泛函形式?jīng)Q定了最終位移的不同計(jì)算精度。

本文簡(jiǎn)要分析了復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)的協(xié)同工作機(jī)制，依據(jù)密肋復(fù)合墻的彎剪型特點(diǎn)，采用經(jīng)典的變形連續(xù)化協(xié)同工作方法，建立結(jié)構(gòu)體系的位移微分方程，推導(dǎo)其水平位移的解析解，并通過算例分析混合結(jié)構(gòu)的變形特點(diǎn)。

圖1 密肋復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)Fig.1 Multi-grid composite wall-shear wall structure

1 復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)協(xié)同工作機(jī)制

單獨(dú)承受水平荷載作用時(shí)密肋復(fù)合墻與剪力墻的變形特點(diǎn)不同：剪力墻以彎曲變形為主，中高層剪力墻一般忽略其剪切變形，隨著樓層的增加，總側(cè)移和層間側(cè)移增長(zhǎng)較快；密肋復(fù)合墻的構(gòu)造形式?jīng)Q定了墻體的主要彈性常數(shù)（Eeq、Geq）是與框格單元截面尺寸、框格布置方式等因素有關(guān)的變參數(shù)，且Eeq、Geq之間不存在線性的比例關(guān)系，變形大致屬于彎剪型，以彎曲變形為主還是以剪切變形為主取決于墻體抗彎剛度和抗剪剛度的相對(duì)大小。

復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)中，框架梁、連梁或樓板把兩種墻肢聯(lián)系在一起，使得二者在各層樓板處協(xié)調(diào)變形。由于密肋復(fù)合墻存在剪切變形，但比框架結(jié)構(gòu)要小得多，因此密肋復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)的層間變形介于框架－剪力墻結(jié)構(gòu)和剪力墻結(jié)構(gòu)之間，小于框剪結(jié)構(gòu)而大于剪力墻結(jié)構(gòu)，與結(jié)構(gòu)的剛度特征值有關(guān)。同時(shí)，由于復(fù)合墻單元的抗側(cè)剛度大于框架，以往由剪力墻擔(dān)負(fù)大部分外荷載的情況，變成由密肋復(fù)合墻與剪力墻共同承擔(dān)，連梁的協(xié)同作用相對(duì)于框架－剪力墻結(jié)構(gòu)而言要小的多，這是與框架－剪力墻結(jié)構(gòu)的重要區(qū)別之一。

彈性階段，復(fù)合墻與剪力墻協(xié)同工作時(shí)各自承擔(dān)水平荷載的大小取決于兩者的側(cè)向剛度之比，但不是一個(gè)簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，需要首先計(jì)算出結(jié)構(gòu)的水平位移，然后根據(jù)墻體內(nèi)力與位移的關(guān)系確定復(fù)合墻與剪力墻各自分擔(dān)的剪力、彎矩。

2 復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)水平位移計(jì)算

2.1 計(jì)算模型

密肋復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)中，不考慮剪力墻的剪切變形，考慮密肋復(fù)合墻則的彎曲變形和剪切變形，計(jì)算模型如圖2所示。當(dāng)兩個(gè)子結(jié)構(gòu)變形機(jī)制不同時(shí)，選定不同的子結(jié)構(gòu)為分析對(duì)象，得出的位移微分方程在表達(dá)形式上有所不同，計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度亦有所區(qū)別，應(yīng)以方便計(jì)算為原則選擇合適的分析對(duì)象。本文選擇密肋復(fù)合墻作為子結(jié)構(gòu)1，以其為隔離體建立位移微分方程及進(jìn)行水平位移公式的推導(dǎo)。

圖2 復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.2 Calculating model of the structure

2.2 基本微分方程

如圖2（a）所示，子結(jié)構(gòu)1（密肋復(fù)合墻）的變形由彎曲變形yb1和剪切變形yq1兩部分組成，根據(jù)Timoshenko剪切梁的彎曲變形、剪切變形與外荷載的基本關(guān)系［7］列出方程為：

對(duì)于子結(jié)構(gòu)2（剪力墻），其荷載與變形的關(guān)系為

式中，E1I1、G1A1為子結(jié)構(gòu)1的抗彎剛度、抗剪剛度，E2I2為子結(jié)構(gòu)2的抗彎剛度，q（x）為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)之間的相互作用。

將式（3）代入式（2）得：

兩個(gè)子結(jié)構(gòu)在任意位置的總水平位移相等，即yb2=yb1+yq1，代入上式消去yb2得：

將式（1）兩邊對(duì)x微分三次，代入式（5）消去yq1

此式即為密肋復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)的基本位移微分方程，理論上適用于密肋復(fù)合墻的抗彎剛度、抗剪剛度任意變化時(shí)其彎曲變形的求解。

如圖2（b）所示，當(dāng)選擇剪力墻為子結(jié)構(gòu)1，復(fù)合墻為子結(jié)構(gòu)2時(shí)，得到以剪力墻為隔離體的彎曲變形微分方程見式（9）。比較式（7）與式（9）可知，后者不需要對(duì)位移方程使用變量換元法進(jìn)行中間變量代換，但外荷載項(xiàng)中含有積分常數(shù)，需要結(jié)合邊界條件求得，求解過程相對(duì)復(fù)雜。

2.3 水平位移的解析解

對(duì)于四階常系數(shù)線性微分方程式（8），其解的一般形式為：

式中，C1、C2、C3、C4是待定常數(shù)；Y0為微分方程的特解，與外荷載的具體形式有關(guān)。

本文以常見倒三角形荷載為代表，給出水平荷載下密肋復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)位移的具體推導(dǎo)過程。設(shè)倒三角形荷載為p（x）=qx/H=qξ，則式（7）的特解為：

將Y0代入Y得到彎曲變形方程的一般解：

由Y對(duì)ξ積分兩次得到復(fù)合墻彎曲變形yb1的表達(dá)式：

通過子結(jié)構(gòu)1彎曲變形與剪切變形的關(guān)系得到其剪切變形yq1，由式（1）、式（11）得：

子結(jié)構(gòu)1的彎曲變形與剪切變形之和即為子結(jié)構(gòu)2的變形，同時(shí)也為復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)的總水平位移，將yb1、yq1代入yb2=yb1+yq1整理得：

根據(jù)圖2（a）確定邊界條件，并將邊界條件寫成矩陣表達(dá)形式如下

式中：

解矩陣方程式（14）得各待定系數(shù)為：

將系數(shù)C1～C7回代至式（11）～式（13），化簡(jiǎn)得：

式中，κ=E1I1/H2G1A1。

至此，倒三角形荷載作用下密肋復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)中各子結(jié)構(gòu)彎曲變形、剪切變形及結(jié)構(gòu)總水平位移的解析解全部求出。

當(dāng)混合結(jié)構(gòu)承受均布荷載、頂部集中荷載作用時(shí)，位移計(jì)算過程與承受倒三角形荷載作用的計(jì)算過程基本一致。根據(jù)子結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變形關(guān)系，可以計(jì)算其內(nèi)力，進(jìn)而進(jìn)行墻體截面抗震設(shè)計(jì)與校核。

3 算例分析

算例1分析復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)與框架－剪力墻結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式的相容性。

圖2（a）所示的子結(jié)構(gòu)1，當(dāng)取框架為密肋復(fù)合墻的特例時(shí)，混合結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)橐话憧蚣埽袅Y(jié)構(gòu)，忽略框架部分的彎曲變形，假定其抗彎剛度E1I1→∞，則對(duì)混合結(jié)構(gòu)特征值λ進(jìn)行極限運(yùn)算得：

對(duì)混合結(jié)構(gòu)中密肋復(fù)合墻的彎曲變形、剪切變形解析表達(dá)式（16）、式（17）進(jìn)行E1I1→∞的極限運(yùn)算，且代入式（19）給出的剛度特征值，整理得：

式（19）、式（21）即是人們所熟知的框架－剪力墻結(jié)構(gòu)的剛度特征值和倒三角形荷載下水平位移的計(jì)算公式［8］。因此，框架－剪力墻結(jié)構(gòu)可以視為密肋復(fù)合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)在密肋復(fù)合墻抗彎剛度取無窮大時(shí)的一種特殊表現(xiàn)形式，兩者的剛度特征值、位移計(jì)算公式是完全相容的。

算例2某10層復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)，層高3.6 m，密肋復(fù)合墻、剪力墻厚均為200 mm。復(fù)合墻按工程中常用的密肋復(fù)合墻構(gòu)造形式設(shè)計(jì)，單片墻體抗彎剛度和抗剪剛度為E1I1=6.2 ×1016N·mm2、G1A1=1.1×109N；單片剪力墻抗彎剛度為E2I2=7.9×1016N· mm2；剛度特征值λ=9.9，承受橫向倒三角形荷載作用，qmax=100 kN/m。

水平位移計(jì)算結(jié)果見圖3（a），分析可知：結(jié)構(gòu)整體側(cè)移曲線呈現(xiàn)以彎曲變形為主的彎剪型特征，但密肋復(fù)合墻體的剪切變形在總變形中占有一定比重，不應(yīng)忽略，本例中，剪切變形在復(fù)合墻下部三層占總變形的比重均超過20%，在三層至六層超過10%。與剪力墻的變形特點(diǎn)比較可知，當(dāng)剪力墻高寬比＞4時(shí)，可以忽略其剪切變形的影響，誤差不超過10%，而對(duì)于復(fù)合墻由于其剪切變形較大，高寬比達(dá)到6以上時(shí)，剪切變形所占比重才減小至20%以下。

圖3 算例2位移計(jì)算結(jié)果Fig.3 Displacement calculation results of example 2

根據(jù)混合結(jié)構(gòu)剛度特征值λ的定義，通過調(diào)整復(fù)合墻與剪力墻數(shù)量比例，或者調(diào)整復(fù)合墻抗彎剛度與抗剪剛度比例的方法，均可改變?chǔ)舜笮　，F(xiàn)考察第二種方法對(duì)結(jié)構(gòu)變形的影響，復(fù)合墻抗剪剛度取為原剛度的0.1倍，其它條件不變，計(jì)算結(jié)果見圖3（b），與圖3（a）比較可知：當(dāng)復(fù)合墻抗剪剛度減小時(shí)，復(fù)合墻自身的剪切變形增大，本例中，復(fù)合墻剪切變形明顯大于彎曲變形，使得結(jié)構(gòu)整體位移曲線趨近于框架－剪力墻結(jié)構(gòu)的彎剪型特征。

4 結(jié)論

（1）分析了復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)的協(xié)同工作機(jī)制，密肋復(fù)合墻的構(gòu)造特點(diǎn)決定了墻體的抗彎剛度、抗剪剛度是與框格單元截面尺寸、框格構(gòu)造形式等因素有關(guān)的變參數(shù)，復(fù)合墻剪切變形的計(jì)入導(dǎo)致復(fù)合墻與剪力墻之間的相互作用更為復(fù)雜。

（2）采用變形連續(xù)化方法建立了結(jié)構(gòu)體系的位移微分方程，以倒三角形荷載為例推導(dǎo)了復(fù)合墻彎曲變形、剪切變形及結(jié)構(gòu)總水平位移的解析表達(dá)式。密肋復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)與框剪結(jié)構(gòu)的剛度特征值、位移公式是完全相容的，后者可視為前者在復(fù)合墻抗彎剛度取無窮大時(shí)的一種特殊表現(xiàn)形式。

（3）一般中高層的復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)側(cè)移曲線呈現(xiàn)彎曲變形為主的彎剪型特征，但復(fù)合墻體的剪切變形在總變形中占有一定比重，不應(yīng)忽略。

（4）本文以密肋復(fù)合墻－剪力墻結(jié)構(gòu)為例分析彎剪型（密肋復(fù)合墻）－彎曲型（剪力墻）雙重抗側(cè)力結(jié)構(gòu)體系的位移計(jì)算方法，其思路同樣適用于其它彎剪型－彎曲型雙重結(jié)構(gòu)體系的位移計(jì)算。

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