高層基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值分析

祁 皚，商昊江

（福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福州 350108）

鑒于我國目前的技術(shù)條件，對(duì)于高層隔震結(jié)構(gòu)的抗傾覆問題，限制其高寬比是一種有效的方法，文獻(xiàn)［1－3］對(duì)隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究，考慮了豎向地震動(dòng)、地震動(dòng)峰值、場地條件、隔震層剛度、橡膠墊布置方式等因素對(duì)隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值的影響，得到了一些定性的結(jié)論。文獻(xiàn)［4］采用與文獻(xiàn)［3］類似的研究方法，得到了基本一致的結(jié)論。文獻(xiàn)［5，6］采用單質(zhì)點(diǎn)模型對(duì)隔震結(jié)構(gòu)高寬比展開研究并得到了定量的結(jié)果，對(duì)于高層隔震結(jié)構(gòu)，高階振型和彎曲變形不可忽視［7，8］，因此，本文采用文獻(xiàn)［9］推導(dǎo)的高層隔震結(jié)構(gòu)3質(zhì)點(diǎn)簡化計(jì)算模型，沿用文獻(xiàn)［5］關(guān)于隔震結(jié)構(gòu)抗傾覆穩(wěn)定性的思路推導(dǎo)高層隔震結(jié)構(gòu)體系高寬比限值的計(jì)算公式，將結(jié)果與文獻(xiàn)［5，6］進(jìn)行對(duì)比，并給出高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比限值的建議值。本文還進(jìn)一步討論了當(dāng)隔震周期不等于臨界周期時(shí)高寬比限值的變化情況，以對(duì)高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值的變化規(guī)律有較全面的了解，并最終得到在設(shè)計(jì)中高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值的合理參考值。

1 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值推導(dǎo)

1.1 基本假定和抗傾覆穩(wěn)定條件

參照文獻(xiàn)［5］，假定：① 隔震支座布置對(duì)稱；② 隔震支座的水平剛度和豎向剛度與隔震支座面積成正比；③ 隔震層頂部梁板結(jié)構(gòu)為剛性層。

抗傾覆穩(wěn)定條件：① 隔震層邊緣的橡膠支座不出現(xiàn)拉應(yīng)力；② 隔震層邊緣的橡膠支座最大壓應(yīng)力不超過容許值；③ 隔震層在罕遇地震下的水平位移不超過容許值。

1.2 邊緣隔震支座受力分析

1.2.1 豎向力作用在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力

重力荷載代表值和豎向地震作用在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力NG和NFEv分別如式（1）和式（2）所示［5］：

式中，G為隔震層以上結(jié)構(gòu)總重力荷載代表值，KvB為邊緣支座的豎向剛度，Kv為隔震層總豎向剛度，μ為豎向地震影響系數(shù)，分別等于 0（7 度）、0.2（8 度）、0.4（9度）［10］。

1.2.2 傾覆力矩在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力

文獻(xiàn)［9］中推導(dǎo)的等效3質(zhì)點(diǎn)簡化模型計(jì)算模型的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣如式（3）所示，

計(jì)算傾覆力矩在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力采用式（3）的模型，為采用振型分解反應(yīng)譜法，改變隔震層剛度，作等效三質(zhì)點(diǎn)模型周期比RTIU=T11/TU1（T11為隔震結(jié)構(gòu)基本周期，TU1為抗震結(jié)構(gòu)基本周期）在1.6～3.0之間變化時(shí)的三階振型如圖1所示，從中可以直觀地看出，二、三階振型并無太大變化，而第一振型有較大變化。

為進(jìn)一步分析等效三質(zhì)點(diǎn)簡化模型的三階振型，以某15層框架結(jié)構(gòu)為考察對(duì)象，Ⅱ類場地，特征周期為0.4 s，抗震設(shè)防烈度為8度，基本周期為1.48 s。

圖1 等效三質(zhì)點(diǎn)模型三階振型Fig.1 Three modes of three-particle equivalent model

圖2 平均基底最大剪力比Fig.2 The ratio of the average maximum base shearing force

圖3 平均頂部最大加速度比Figure 3 The ratio of the average maximum acceleration at the top

結(jié)構(gòu)在隔震以后一般都要求基底剪力減少一半以上，從圖2中可以看出此時(shí)周期比在2左右，這與文獻(xiàn)［11］“根據(jù)我國及世界各國對(duì)疊層橡膠墊隔震結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)研究、設(shè)計(jì)、應(yīng)用和地震考驗(yàn)等方面的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)一般多層隔震房屋，疊層橡膠墊的水平剪切剛度選取的合理范圍是使得RTIU=T11/TU1＞2（T11和TU1分別為隔震結(jié)構(gòu)和抗震結(jié)構(gòu)的基本周期）”的論斷相吻合，且此時(shí)頂部平均加速度比為0.33，即頂部加速度的減震效果也較好，綜合考慮以上各因素，同時(shí)考慮為保守估計(jì)高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比限值，盡量取得傾覆力矩在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力的較大值，則取等效隔震結(jié)構(gòu)周期比為2（下文無特別說明，均取RTIU=2），則三質(zhì)點(diǎn)模型前三階振型為

（1）水平地震作用產(chǎn)生的傾覆力矩在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力NMEh第j振型，第i質(zhì)點(diǎn)受到的水平地震作用為：

第j振型，第i質(zhì)點(diǎn)受到的水平地震作用對(duì)基底產(chǎn)生的彎矩為：

第j振型受到的水平地震作用對(duì)基底產(chǎn)生的彎矩為：

水平地震作用對(duì)基底產(chǎn)生的總彎矩為：

式中，

ms為除隔震層以外上部結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量，hs為除隔震層以外上部結(jié)構(gòu)的總高度，由于隔震層與各樓層的質(zhì)量相近，而高度一般為各樓層的一半左右（1.5 m～1.8 m），所以，β=hb/hs，2β=mb/ms（hb和mb分別為隔震層的高度和質(zhì)量）。

將式（4）、式（9）、式（10）代入式（8），得到：

式中，Gs除隔震層以外上部結(jié)構(gòu)重力荷載代表值。

根據(jù)基本假定①，可以認(rèn)為隔震層發(fā)生彎曲變形時(shí)，其中性軸通過寬度中心，則隔震層的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為：

式中，B表示隔震層的寬度，Kvi為i支座的豎向剛度；n為橡膠支座的個(gè)數(shù)；ηi=2xi/B，xi表示支座i到隔震層形心的距離，則水平地震作用產(chǎn)生的傾覆力矩在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力：

（2）豎向作用產(chǎn)生的附加傾覆力矩在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力NMEv

與水平地震作用產(chǎn)生的傾覆力矩在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力類似，可得到豎向地震作用和重力荷載代表值產(chǎn)生的附加傾覆力矩在邊緣隔震支座上產(chǎn)生的軸力分別如式（14）和式（15）所示，

1.3 高寬比限值公式

1.3.1 邊緣隔震支座不出現(xiàn)拉應(yīng)力時(shí)的軸力最不利組合

當(dāng)以邊緣隔震支座不出現(xiàn)拉應(yīng)力為控制條件時(shí)，豎向地震作用方向向上為不利。若要保證邊緣隔震支座不出現(xiàn)拉應(yīng)力，必須滿足下式：

式中，荷載分項(xiàng)系數(shù)γEh取 1.3；γEv取 1.0；γG對(duì)結(jié)構(gòu)有利時(shí)取1.0，不利時(shí)取1.2。將式（1）、式（2）、式（13）、式（14）和式（15）代入式式（16），整理得：

1.3.2 邊緣隔震支座壓應(yīng)力不超過容許值時(shí)的軸力最不利組合

當(dāng)以邊緣隔震支座壓應(yīng)力不超過容許值為控制條件時(shí)，豎向地震作用方向向下為不利。若保證邊緣隔震支座壓應(yīng)力不超過容許值，必須滿足下式：

式中，荷載分項(xiàng)系數(shù)γEH取 1.3，γEV取 1.0，γG取 1.2（對(duì)結(jié)構(gòu)不利）；AB為一側(cè)邊緣隔震支座的總面積；［σ］為橡膠隔震支座壓應(yīng)力容許值。

將式（1）、式（2）、式（13）、式（14）和式（15）代入式（18），整理得：

2 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值公式與基本周期的關(guān)系

2.1 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值從邊緣支座不產(chǎn)生拉應(yīng)力控制過渡到壓應(yīng)力不超過容許值控制的臨界周期 Tcr［5］

由式（17）和式（19）可知，當(dāng)：

即：

時(shí)，高寬比限值由邊緣支座不產(chǎn)生拉應(yīng)力控制。反之，高寬比限值由邊緣支座壓應(yīng)力不超過容許值控制。參照文獻(xiàn)［5］，定義臨界周期：

Tcr與選用的隔震支座及建筑類別有關(guān)，容許壓應(yīng)力［σ］按《抗震規(guī)范》對(duì)于甲類、乙類、丙類建筑分別是10 MPa、12 MPa和 15 MPa，但βb的取值跨越很大，如表1所示，考慮到高層隔震結(jié)構(gòu)較多使用直徑400－1 000的普通隔震支座，并會(huì)使用一些鉛芯隔震支座，因此取有代表性的βb=3.5×106N/m3計(jì)算Tcr，表2給出了由式（22）計(jì)算的與不同建筑類別對(duì)應(yīng)的Tcr。

表1 橡膠隔震支座βbTab.1 The βbof rubber bearings

表2 不同建筑類別對(duì)應(yīng)的TcrTab.2 The Tcrcorresponding to different building types

2.2 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值與基本周期的關(guān)系

2.2.1 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值由邊緣隔震支座不產(chǎn)生拉應(yīng)力控制的情況（T11＜Tcr）

高層隔震結(jié)構(gòu)的第一振型對(duì)應(yīng)振子的絕對(duì)最大加速度：

式中，α1為第一振型地震影響系數(shù)。

將式（23）代入式（19）得：

令：

則式（24）變?yōu)椋?/p>

由式（27）可看出，h/B隨著隔震基本周期T11的增加而增大。

2.2.2 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值由邊緣隔震支座的壓應(yīng)力不超過容許值控制的情況（T11＞Tcr）

將式（23）代入式（19）得：

把式（25）、式（26）代入式（28），則式（28）變?yōu)椋?/p>

由式（29）可以看出，h/B也隨著隔震基本周期的增加而減小?？梢姡蛇吘壐粽鹬ё鶋簯?yīng)力不超過容許值控制時(shí)，h/B與hs/B具有相同的單調(diào)性。

當(dāng)不考慮豎向力（重力荷載代表值和豎向地震作用）產(chǎn)生的附加傾覆力矩時(shí)，MMEv=0，NMG=0，則由邊緣隔震支座不出現(xiàn)拉應(yīng)力和壓應(yīng)力不超過容許值控制下的高寬比限值公式分別為：

將式（27）、式（29）與式（30）、式（31）進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)，不考慮豎向力產(chǎn)生的附加傾覆力矩時(shí)，Δh=0，即h=hs。可見，h/B即為不考慮豎向力產(chǎn)生的附加傾覆力矩影響時(shí)得到的高寬比限值。為了簡便，近似地將高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比限值用h/B來表示，當(dāng)考慮豎向力產(chǎn)生的附加傾覆力矩時(shí)，可對(duì)已求得的h/B中的h按下式進(jìn)行修正得到高層隔震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)的實(shí)際最大取用高度（隔震結(jié)構(gòu)布置確定以后，B則已知）。

2.2.3 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值的計(jì)算公式

2.2研究表明，當(dāng)T11＜Tcr時(shí)，高寬比限值h/B是隔震基本周期T11的增函數(shù)；當(dāng)T11＞Tcr時(shí)，高寬比限值h/B是隔震基本周期T11的減函數(shù)。因此，T11=Tcr時(shí)，高寬比限值將取得最大值。由此結(jié)論可以得出高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值的計(jì)算公式如下：

式中，α1Tcr為隔震基本周期是Tcr時(shí)對(duì)應(yīng)的地震影響系數(shù)。

則式（33）變?yōu)椋?/p>

2.2.4 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值與隔震基本周期的關(guān)系

為考察高層隔震結(jié)構(gòu)在基本周期沒有取得臨界周期Tcr時(shí)的高寬比限值，作高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值與隔震基本周期的關(guān)系圖如圖4、圖5和圖6所示，○、+、☆、□、×、* 和△分別代表Tcr=0.25 s、Tcr=0.30 s、Tcr=0.35 s、Tcr=0.40 s、Tcr=0.45 s、Tcr=0.55 s和Tcr=0.65 s等不同場地類別。

從圖4、圖5和圖6中可以看出，圖中增、減函數(shù)的拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期為Tcr，當(dāng)T11＜Tcr時(shí)，高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值的降低并不明顯，尤其是場地條件較好的Ⅰ、Ⅱ類場地（Tcr=0.25 s～0.45 s），高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值幾乎與T11=Tcr時(shí)相等；而T11＞Tcr時(shí)高寬比限值的降低比較明顯。

因此，在設(shè)計(jì)時(shí)，如果僅從提高高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比這一個(gè)角度考慮，建議將高層隔震結(jié)構(gòu)的基本周期調(diào)整到臨界周期附近，或略微偏小的值，可使得其接近高寬比限值的極值。若高層隔震結(jié)構(gòu)最大隔震基本周期都無法達(dá)到臨界周期，從圖4、圖5和圖6中可以看出其高寬比限值較極值也不會(huì)減少太多。

2.3 高層隔震結(jié)構(gòu)的最大基本周期Tmax

2.3.1邊緣隔震支座的壓應(yīng)力不超過容許值［σ］控制（T＞Tcr）的最大基本周期Tσmax

當(dāng)高寬比限值由邊緣隔震支座壓應(yīng)力不超過容許值［σ］控制時(shí)，高寬比限值由式（29）計(jì)算。由式（29）可以看出，若：

則：

所以，滿足式（36）的最大基本周期就是由隔震支座最大容許壓應(yīng)力控制下高層隔震結(jié)構(gòu)的最大基本周期Tσmax?？傻茫?/p>

當(dāng)隔震支座選定以后，這個(gè)周期與設(shè)防烈度、建筑類別及隔震支座的選用有關(guān)，表3給出了各種情況對(duì)應(yīng)的Tσmax。

表3 隔震支座容許壓應(yīng)力［σ］控制的Ts maxTab.3 Ts maxconfined by the allowable compressive stress value of rubber bearings

2.3.2 隔震支座最大容許位移［Δ］控制的高層隔震結(jié)構(gòu)最大基本周期TΔmax

由上文可知，高層隔震結(jié)構(gòu)第一振型對(duì)應(yīng)振子的位移應(yīng)滿足下式：

（1） 當(dāng)Tg＜T＜5Tg時(shí)

（2） 當(dāng)T＞5Tg時(shí)

由式（41）中可以看出，TΔmax與建筑類別無關(guān)，但與設(shè)防烈度、場地類別、隔震層阻尼比和隔震層的最大容許位移有關(guān)，表4給出了各種情況對(duì)應(yīng)的TΔmax值。

2.3.3 高層隔震結(jié)構(gòu)最大基本周期的確定

高層隔震結(jié)構(gòu)的最大基本周期應(yīng)為：

將表3和表4中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，可得到表5中針對(duì)不同建筑類別、場地條件、隔震層阻尼比、設(shè)防烈度等工況下的最大基本周期TΔmax。

表4 最大容許位移［Δ］控制的最大隔震基本周期TΔmax（s）Tab.4 TΔmaxconfined by the allowed displacement of rubber bearings

表5 高層隔震結(jié)構(gòu)的最大基本周期Tmax（s）Tab.5 The maximum periods of high-rise base-isolated structure

續(xù)表5

從表5中可以看出：（1）最大隔震基本周期Tmax可分為三種情況：①Tmax=Tsmax＞Tcr；②Tmax=TΔmax＜Tcr；③Tmax=TΔmax＞Tcr；（2）7度區(qū)和部分8度區(qū)，最大隔震基本周期由最大容許壓應(yīng)力控制，與場地條件和隔震層的阻尼比無關(guān)，選擇［σ］較大的支座可以提高Tmax；8度區(qū)的其余部分和9度區(qū)，最大隔震基本周期由最大容許位移控制，與建筑類別無關(guān)，選擇［Δ］較大的支座可以提高Tmax。

3 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值的確定

由以上研究可知，高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比限值與高層隔震結(jié)構(gòu)的基本周期、隔震層的阻尼比、隔震支座的布置、設(shè)防烈度、場地類別和建筑類別等參數(shù)有關(guān)。

由式（34）可得：

式中，T11為高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比限值對(duì)應(yīng)的基本周期，由下式確定：

其可以分為三種情況：

4 簡化

為使成果便于應(yīng)用，對(duì)以上的計(jì)算過程和表中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析后作與文獻(xiàn)［5］一致的簡化，并計(jì)算了βb=95.0，2.5，3.5 ×106N/m3（具有不同的臨界周期）的（h/B）max/η0值后發(fā)現(xiàn)相差不大，因此在表6中給出了βb=3.5×106N/m3且具有代表性的η0=0.515（相當(dāng)于中間走廊、兩側(cè)房間的平面布置）時(shí)高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比限值。

表6 高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值（h/B）max（βb=3.5×106N/m3）Tab.6 The limit of high-width ratio of high-rise base-isolated structure

5 結(jié)論

（1）臨界周期的值對(duì)高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比限值的影響并不大；當(dāng)T11＜Tcr時(shí)，高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值的降低并不明顯，尤其是場地條件較好的Ⅰ、Ⅱ類場地，高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值幾乎與T11=Tcr時(shí)的高寬比限值相等；而T11＞Tcr時(shí)高寬比限值的降低比較明顯。設(shè)計(jì)時(shí)，如果僅從提高高寬比限值這一個(gè)方面考慮，建議將高層隔震結(jié)構(gòu)的基本周期調(diào)整到臨界周期附近，或略微偏小的值，可使得高寬比限值接近于極大值。

（2）在考慮豎向力產(chǎn)生附加傾覆力矩的情況下進(jìn)行高層隔震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，可先求得在不考慮附加傾覆力矩的情況下得到的（h/B）max/η0，已知（hs/B）max/η0、寬度B和支座布置形式后，對(duì)求得的h進(jìn)行修正，即得到設(shè)計(jì)中除隔震層以外上部結(jié)構(gòu)的實(shí)際采用高度hs。

（3）高寬比限值隨隔震基本周期的變化規(guī)律、最大隔震基本周期的影響因素與文獻(xiàn)［5］的結(jié)構(gòu)基本一致。

（4）本文得到的高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比限值與文獻(xiàn)［5］中的數(shù)值相差不大。第2.2.4節(jié)在對(duì)高層隔震結(jié)構(gòu)在基本周期沒有取得臨界周期的高寬比限值的探討后，得到的結(jié)論（2）進(jìn)一步明確了高層隔震結(jié)構(gòu)高寬比限值的取值范圍，便于設(shè)計(jì)人員在高層隔震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中對(duì)結(jié)構(gòu)高寬比的掌握。

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