帶滯變支撐懸臂輸流管的動(dòng)力響應(yīng)分析

黃 茜，臧峰剛，張毅雄，葉獻(xiàn)輝，蔡逢春

（核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610041）

近年來，輸流管內(nèi)的軸向流引發(fā)的流致振動(dòng)問題得到了廣泛的關(guān)注［1］。人們針對輸流管的非線性振動(dòng)做了不少卓有成效的工作，就細(xì)長懸臂輸流管而言，這些工作主要包括：逐步建立并完善了輸流管的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程［2，3］，研究了定常流與振蕩流作用下輸流管的穩(wěn)定性分析［4－12］。

滯變支撐（Energy absorber）的恢復(fù)力是變形與速度的函數(shù)，在加卸載過程中不是沿著同一個(gè)路徑變化，而是形成如圖1所示的滯變曲線，這種特性能使滯變支撐在地震等緊急工況下大量耗能以保障結(jié)構(gòu)安全。因此，這種支撐已被用于核工業(yè)，土木工程、建筑工程等領(lǐng)域。然而迄今為止，卻鮮有帶滯變支撐輸流管流致振動(dòng)的研究報(bào)道。

本文基于能量法，將滯變支撐所做的虛功引入到管道的能量方程中，結(jié)合懸臂管道的不可伸長假設(shè)，導(dǎo)出了帶滯變支撐的懸臂輸流管的非線性運(yùn)動(dòng)方程。隨后，采用Matlab程序編制了數(shù)值計(jì)算程序，考察了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

1 帶滯變支撐懸臂輸流管道的理論模型

懸臂管長為L，橫截面積為A，單位長度管道的質(zhì)量為m，抗彎剛度為EI，流體的軸向流速為U，單位長度流體的質(zhì)量為M，x表示管道橫截面位置，y表示管道軸線偏離平衡位置的位移，并引入沿管道軸線的曲線坐標(biāo)s。假設(shè)在初始條件下管道沿x軸豎直放置，如圖2所示。

懸臂輸流管的基本假設(shè)為：① 流體不可壓縮，管內(nèi)流速保持不變；② 管徑與管長之比很小，管道為歐拉梁；③ 不計(jì)管道的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形；④ 管道運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)且中心軸線不可伸長；⑤ 管道可以是大變形但應(yīng)變很小。

基于Hamilton原理，帶滯變支撐的懸臂輸流管系統(tǒng)的能量方程為：

式中L=VP+VF－TP－TF，VP和VF是管道與流體的勢能，TP和TF是管道和流體的動(dòng)能。第二個(gè)括號表示非保守外力虛功，其中，δWF為流體力對系統(tǒng)做功，δWH為滯變支撐對系統(tǒng)做功。

2 滯變支撐對系統(tǒng)做功

若沿輸流管軸線共布置了個(gè)P個(gè)滯變支撐，其中，第i個(gè)支撐距管道固定端的距離為Li，假設(shè)輸流管與滯變支撐連接點(diǎn)軸向變形很小，滯變恢復(fù)力的軸向分量可忽略不計(jì)。借助BOUC-WEN光滑滯變模型［13］，當(dāng)管道受到外部激勵(lì)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，作用其上橫向滯變力可表示為：

對第i個(gè)支撐而言，ki代表其初始剛度，αi為支撐屈服后剛度與屈服前剛度之比，yi為支撐點(diǎn)的橫向變形，Zi稱為滯變位移，A，Δ，Θ和n是控制滯變位移初始剛度、幅值和滯變形狀的滯變特性參數(shù)。只需調(diào)整這些參數(shù)，BOUC－WEN模型便可用來表達(dá)各種軟化、硬化滯變曲線，因此該模型又被稱為“萬能模型”。

本文僅考慮含1個(gè)滯變支撐的情形，即P=1，同時(shí)取滯變特性參數(shù)n=1。由虛位移原理可知，在t1～t2時(shí)間段內(nèi)，滯變力Fh在虛位移δy上所做的虛功為：

3 帶滯變支撐懸臂輸流管動(dòng)力學(xué)微分方程及其求解

假設(shè)管道材料的耗散為粘彈性耗散，滿足Kelvin-Voigt模型，其應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系表示為：

其中，a為粘彈性阻尼系數(shù)，對平面問題而言，管道的橫向位移與管長相比為一階小量，即：y=v～O（?），??1，本文方程中的變量精確到4階小量O（?4）。

將式（3）與式（4）代入式（1）結(jié)合式（2），通過分部積分、合并同類項(xiàng)等數(shù)學(xué)變換，可得到受滯變支撐作用的懸臂輸流管的非線性運(yùn)動(dòng)方程：

當(dāng)α1=1時(shí)，方程（5a）第一行代表滯變恢復(fù)力的非線性項(xiàng)［α1k1y+（1－α1）k1Z］δ（s－L1）與滯變位移ZL1不再相關(guān)，簡化為線性項(xiàng)k1yδ（s－L1），此時(shí)，模型退化為帶線性彈簧支撐的非線性懸臂輸流管。

為便于計(jì)算與分析，引入下列無量綱量：

由于非線性運(yùn)動(dòng)方程為復(fù)雜的偏微分方程，不能直接求解，為此，作2階模態(tài)的Galerkin展開式：

其中，qi為廣義坐標(biāo)，φi為輸流管的振型函數(shù)，代入式（5）并無量綱化后有：

其中：

其余非線性項(xiàng)bij，cij，dij，aijkl，bijkl，cijkl及dijkl的詳細(xì)表達(dá)可參考文獻(xiàn)［14］。

4 算例分析

4.1 計(jì)算參數(shù)

4.2 退化的帶滯變支撐懸臂輸流管模型

根據(jù)第3節(jié)推論，通過調(diào)整參數(shù)α1的取值，滯變支撐模型退化為線性支撐模型。為了證實(shí)該結(jié)論，本文畫出了帶滯變支撐（α1=1，K=100）的懸臂輸流管分叉圖，并與文獻(xiàn)［14］帶線性支撐懸臂輸流管（K=100）的結(jié)果進(jìn)行了比較。分叉圖的橫坐標(biāo)為輸流管內(nèi)流速，縱坐標(biāo)為懸臂管末端的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)幅值，由此可觀察系統(tǒng)在不同流速取值點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為保證分叉圖的完整性，本文分別選取正、負(fù)位移作為初始條件（條件1∶q1（0）= －0.001；條件2∶q1（0）= －0.001，其余初始條件為零）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，其結(jié)果呈現(xiàn)在圖3中。

本文計(jì)算結(jié)果表明，帶滯變支撐懸臂輸流管首次失穩(wěn)為靜態(tài)失穩(wěn)，失穩(wěn)臨界流速為u=11.49；隨著流速增加，當(dāng)u=12.42時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生動(dòng)態(tài)顫振失穩(wěn)（文獻(xiàn)［14］靜態(tài)失穩(wěn)為u=11.47，動(dòng)態(tài)顫振失穩(wěn)為u=12.43），結(jié)果幾乎完全一致，微小差別是數(shù)值計(jì)算引起的。同時(shí)，由圖3可知在8≤u≤22的整個(gè)流速范圍內(nèi)，懸臂管末端的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值隨流速增加呈逐步增長趨勢兩結(jié)果也幾乎完全重合。由此驗(yàn)證了本文模型的合理性與正確性。

圖3 退化模型合理化驗(yàn)證Fig.3 Validation of the degenerate model

圖4 流速參數(shù)區(qū)域分叉圖Fig.4 Bifurcation diagram with fluid velocity

4.3 帶滯變支撐懸臂輸流管的響應(yīng)分析

帶滯變支撐的懸臂輸流管存在極其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，圖4為K=200模型的分叉圖，從該圖可以看出：具有滯變特性支撐的懸臂輸流管存在極其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，圖4為K=200時(shí)系統(tǒng)的分叉圖，從該圖可以看出，隨著流速的增大，系統(tǒng)將由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，可能發(fā)生屈曲、周期、混沌等復(fù)雜響應(yīng)。其中，u=9.5是系統(tǒng)的Pitchfork分岔點(diǎn)，當(dāng)流速u＜9.5時(shí)，系統(tǒng)的能量耗散大于流體非保守力做功，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，任何擾動(dòng)經(jīng)過一段時(shí)間后將回到平衡點(diǎn)；當(dāng)9.7≤u≤14.5，系統(tǒng)發(fā)生屈曲失穩(wěn)；管道相圖如圖5（a）所示；u=14.6是系統(tǒng)由靜態(tài)屈曲運(yùn)動(dòng)過渡到動(dòng)態(tài)極限環(huán)運(yùn)動(dòng)的分界點(diǎn)，系統(tǒng)發(fā)生周期7的極限環(huán)振動(dòng)，如圖5（b）所示；當(dāng)流速略增長，位于u∈［14.7，14.9）的區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變?yōu)閷ΨQ的周期5極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，如圖5（c）所示；此后，當(dāng)14.9≤u＜15.4時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生叉式分岔，兩種初始條件可得到兩種非對稱的周期5極限環(huán)，圖5（d）與圖5（e）分別為u=15時(shí)兩種不同初始條件下系統(tǒng)的相圖，此時(shí)的功率譜圖為圖5（f），不難看出，該流速的功率譜為離散的譜線，可以清晰的辨別出系統(tǒng)的振動(dòng)頻率；同樣是u=15時(shí)刻，圖5（g）與圖5（h）為滯變支撐與管道交匯點(diǎn)對應(yīng)的相圖與功率譜圖，通過與圖5（d）－圖5（f）的結(jié)果對比可發(fā)現(xiàn)，同一流速下輸流管各個(gè)部位的振動(dòng)形式有顯著差異，但其振動(dòng)頻率卻是相同的。在15.5≤u≤17.1的區(qū)間范圍內(nèi)，系統(tǒng)振動(dòng)將主要表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)［圖6（a），6（c）］，其間夾雜著周期振動(dòng)［圖6（b）6（d）］；由響應(yīng)分叉圖可以觀察到，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值與主頻在流速點(diǎn)u=17.2處有明顯的跳躍，這種跳躍對應(yīng)著系統(tǒng)振動(dòng)性態(tài)的突然改變；此后，隨著流速的增大，管道的振動(dòng)將維持周期1運(yùn)動(dòng)［圖6（d）］，而響應(yīng)的振幅也將隨流速增加而逐漸增大。

4.4 滯變支撐剛度對懸臂輸流管穩(wěn)定性的影響

支撐的剛度能刻畫運(yùn)動(dòng)約束的軟硬程度，這種軟硬程度將會(huì)引起系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生改變。K=100，K=150，K=200，K=250 與K=300 對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)分叉圖分別如圖7（a），圖7（b），圖4，圖7（c）及圖7（d）所示。

圖8 系統(tǒng)的概周期運(yùn)動(dòng)（K=100；u=12.5）Fig.8 The quasiperiodic oscillation for the system with K=100；u=12.5

帶滯變支撐懸臂輸流管除了發(fā)生屈曲、周期、混沌運(yùn)動(dòng)外，還可能發(fā)生概周期運(yùn)動(dòng)：若K=100，且流速為12.3≤u≤12.6時(shí)，系統(tǒng)的相平面圖顯示為紊亂且不重合的軌跡［圖8（a）］，這種軌跡只可能存在于混沌或概周期運(yùn)動(dòng)中，為了鑒別系統(tǒng)真實(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要作出此時(shí)系統(tǒng)的功率譜與龐加萊映射圖：功率譜圖［圖8（b）］表明該響應(yīng)具有顯著的周期運(yùn)動(dòng)特性，而其龐加萊映射［圖8（c）］呈現(xiàn)為兩個(gè)封閉的橢圓圖案，仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)響應(yīng)為概周期運(yùn)動(dòng)。

通過對分叉圖的比較可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)K≥100時(shí)，隨著無量綱化支撐剛度K的增加，系統(tǒng)發(fā)生首次失穩(wěn)的臨界流速值會(huì)逐漸降低，而發(fā)生大幅跳躍的流速值會(huì)逐漸增加。此外，系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜響應(yīng)（多周期、概周期與混沌運(yùn)動(dòng)）的參數(shù)范圍將逐漸減小，直至系統(tǒng)不再出現(xiàn)復(fù)雜響應(yīng)。

總之，剛度的變化不僅使使得系統(tǒng)的分叉類型、分叉方式與分叉路徑發(fā)生了的顯著變化，并使其出現(xiàn)復(fù)雜響應(yīng)的參數(shù)范圍發(fā)生了改變，也改變了周期運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)。因此，運(yùn)動(dòng)約束的軟硬程度對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)有較大影響。

5 結(jié)論

利用Hamilton體系的變分原理，導(dǎo)出了帶滯變支撐懸臂輸流管的非線性運(yùn)動(dòng)方程，通過數(shù)值模擬與算例分析，可得以下幾點(diǎn)結(jié)論：

通過滯變支撐退化模型與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果比較，證實(shí)了本文模型的合理性與有效性。

滯變支撐懸臂輸流管表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，隨著流速的增大，系統(tǒng)將由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式可能為屈曲失穩(wěn)、周期、概周期，混沌運(yùn)動(dòng)等。

支撐剛度是決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要因素之一。隨著支撐剛度的增加，系統(tǒng)發(fā)生首次失穩(wěn)的臨界流速值會(huì)逐漸降低，發(fā)生跳躍的流速值反而會(huì)逐漸增加；此外，系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜響應(yīng)的參數(shù)范圍將逐漸減小。

［1］任建亭，姜節(jié)勝.輸流管道系統(tǒng)振動(dòng)研究進(jìn)展［J］.力學(xué)進(jìn)展，2003，33（3）：313－324.

［2］ Lee S I，Chung J.New non-linear modeling for vibration analysis of a straight pipe conveyingfluid［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，254（2）：313－325.

［3］ Semler C，Li G X，Paidoussis M P.The nonlinear equations of motion of pipes conveying fluid［J］.Journal of Sound and Vibration，1994，169（5）：577－599.

［4］Wadham-Gagnon M，Paidoussis MP，Semler C.Dynamics of cantilevered pipes conveying fluid.Part1： Nonlinear equations of three-dimensional motion［J］.Journal of Fluids and Structures，2007，23：545－567.

［5］Paidoussis M P，Semler C，Wadham-Gagnon M.Dynamics of cantilevered pipes conveying fluid.Part 2：dynamics of the system with intermediate spring support［J］.Journal of Fluids and Structures，2007，23：569 －587.

［6］ Modarres-Sadeghi Y，Semler C.Dynamics of cantilevered pipes conveying fluid.Part 3：Three-dimensional dynamics in the presence of an end-mass［J］.Journal of Fluids and Structures 2007，23：589－603.

［7］Jin J D，Song Z Y.Parametric resonances of supported pipes conveying pulsating fluid［J］. JournalofFluidsand Structures，2005，20 763 －783.

［8］Wang L.A further study on the non-linear dynamics of simply supported pipes conveying pulsating fluid［J］.Journal of Non-Linear Mechanics 2009，44：115－121.

［9］包日東，聞邦椿.分析彈性支承輸流管道的失穩(wěn)臨界流速［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2007，29（4）.24 －28.

［10］包日東，金志浩，聞邦椿.一般支承條件下輸流管道的非線性動(dòng)力學(xué)特性研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28（7）：153－157，186.

［11］金基鐸，楊曉東，鄒光勝.兩端支承輸流管道的穩(wěn)定性和臨界流速分析［J］，機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42（11）：131 －13.

［12］金基鐸，楊曉東，張宇飛.固定約束松動(dòng)對輸流管道穩(wěn)定性和臨界流速的影響［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28（6）：95－99.

［13］歐進(jìn)萍，王光遠(yuǎn).結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［14］ Paidoussis M P.Fluid-structure interactions［M］.London：ACADEMIC PRESS，1998.