齒寬系數對面齒輪齒根彎曲應力的影響

靳廣虎，朱如鵬，李政民卿，鮑和云

（南京航空航天大學 江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，江蘇 南京，210016）

齒寬系數對面齒輪齒根彎曲應力的影響

靳廣虎，朱如鵬，李政民卿，鮑和云

（南京航空航天大學 江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，江蘇 南京，210016）

根據面齒輪傳動的嚙合原理，給出面齒輪齒根彎曲應力計算的三齒幾何模型。采用正交試驗法，確定面齒輪的計算參數。通過有限元分析，計算面齒輪齒根彎曲應力；將面齒輪當量成齒條，分析彎曲應力比值與齒寬系數的關系，獲得面齒輪齒根彎曲應力的擬合計算公式。研究結果表明：面齒輪最大彎曲應力位于齒根部位；沿齒根最大彎曲應力的齒寬方向，其彎曲應力近似呈拋物線分布；面齒輪彎曲應力的比值與齒寬系數近似呈線性分布，平均相對誤差為6.17%；齒根彎曲應力對面齒輪的齒寬系數和齒數較敏感，在使用本文給出的擬合計算公式，且當面齒輪齒數小于90且齒寬系數小于3時，計算結果可適當放大5%，以減小齒寬系數和齒面曲率對齒根彎曲應力的影響。

齒輪傳動；面齒輪；彎曲應力；有限元

面齒輪傳動是一種圓錐齒輪與圓柱齒輪相嚙合的傳動，圓錐齒輪（面齒輪）采用直齒漸開線齒輪刀具經范成加工而成。面齒輪傳動以其體積小、質量輕、無需防錯位設計以及精確的分流傳動性能成為直升機主減傳動系統(tǒng)的重點研究方向之一[1?2]，被西方發(fā)達國家稱之為“21世紀旋翼機傳動之希望所在”。Litvin等[3?4]研究了面齒輪傳動的嚙合原理和設計方法；Handschuh等[5?6]開展了面齒輪傳動的試驗研究；Zhang等[7?10]分析了主要參數對面齒輪承載能力的影響；朱如鵬等[11?13]就面齒輪傳動的嚙合特性開展了研究；楊連順等[14?16]分析了面齒輪傳動的彎曲強度及承載能力；李政民卿等[17?18]研究了面齒輪的切磨齒加工方法；靳廣虎等[19]就面齒輪傳動的動力學特性進行了理論分析；沈云波等[20]還就斜齒面齒輪的齒寬設計開展了研究。但是，有關面齒輪傳動的齒根彎曲強度的研究還不夠深入，至今尚無有關點接觸面齒輪傳動齒根彎曲應力的工程計算方法。在此，本文作者根據面齒輪傳動的嚙合特性，提出了面齒輪傳動的彎曲應力計算模型，依據傳動系統(tǒng)常用的傳動比、模數、壓力角，采用正交試驗法，給出面齒輪有限元計算分析的參數，獲得面齒輪彎曲應力的分布規(guī)律，以便為面齒輪彎曲應力的工程計算提供參考依據。

1 面齒輪齒根彎曲應力計算幾何模型

1.1 點接觸面齒輪傳動的嚙合原理

正交面齒輪加工示意圖如圖1所示。面齒輪2用直齒漸開線齒輪刀具，經范成加工而成。當傳動中采用的圓柱齒輪與刀具齒數相同時，面齒輪傳動是線接觸傳動。由于各種誤差的存在，這種線接觸傳動在實際工作中不能實現，從而產生偏載現象。為避免這一現象, 實際參加嚙合傳動的圓柱齒輪齒數要比加工面齒輪的刀具齒數少1～3個，實現點接觸傳動。假設插齒刀齒面（ΣS）、圓柱齒輪齒面（Σ1）和面齒輪齒面（Σ2）是相互嚙合的。由加工原理可知：齒面ΣS和Σ2是線接觸，設其瞬時齒面接觸線為LS2、傳動瞬軸線為IS2；齒面ΣS和Σ1的嚙合為假想的內嚙合情形（見圖2（a）），其中，心距b取決于齒數差Δ，嚙合的瞬軸線IS1為2個基圓柱的公切面與通過兩齒軸心線平面的交線，它們的瞬時齒面接觸線LS1平行于刀具和圓柱齒輪的軸心線。接觸線LS1和LS2在空間是不重合的，它們的交點即為瞬時齒面接觸點P，也是傳動瞬軸線IS1和IS2的交點（見圖2（b））。

1.2 面齒輪齒寬的選擇

面齒輪的齒面很復雜，在面齒輪的加工中，面齒輪的內徑處會出現根切，外徑處會發(fā)生齒頂變尖的現象[21]，面齒輪的齒寬受到限制；沿齒高方向各截面形狀也不相同，因此，必須就面齒輪的齒寬進行選擇。

圖1 正交面齒輪加工示意圖Fig.1 Schematic of generation of face gear

圖2 點接觸正交面齒輪傳動原理Fig.2 Schematic plan of point contact of face gear drives

根據面齒輪嚙合傳動的嚙合原理，其嚙合軌跡為通過節(jié)點P且沿齒頂方向的1條近似直線。為避免面齒輪嚙合傳動中發(fā)生偏載現象，面齒輪的齒寬以節(jié)點P為中心選取。根據設計參數，分別計算出面齒輪內徑處出現根切和外徑處發(fā)生齒頂變尖時離節(jié)點P的長度，選取兩者最小值作為齒寬的一半，從而確定出整個齒寬，作為考察面齒輪彎曲應力計算的齒寬選擇基準。

1.3 面齒輪計算模型的參數選擇

為獲得齒根彎曲應力的分布規(guī)律，必須正確選定分析模型的參數。齒輪的設計參數很多，且每種因素又有多種變化，如果開展全面的試驗，試驗量非常大，不經濟、不現實；因此，在參數的選擇中，采用正交試驗法確定模型的設計參數，它可以大幅度減少試驗次數，而且并不會降低試驗可信度。

在直升機主減傳動系統(tǒng)中，具有面齒輪傳動的分扭機構一般置于輸入級，齒輪模數一般選為2～5 mm；為增強齒輪的抗彎能力，航空齒輪傳動中的壓力角一般為22.5°和25°左右，為此，壓力角取為20°～27°；結合航空齒輪的應用情況看，其速比一般為3～6，圓柱齒輪的齒數一般不小于17個；綜合考慮齒輪傳遞的功率、轉速以及齒輪的幾何參數確定法向載荷。通過四因素四水平正交試驗法建立計算模型的設計參數，再根據正交表依次確定面齒輪的齒數。正交試驗的因素水平如表1所示。

表1 試驗因素及水平Table 1 Experimental factors and levels

1.4 面齒輪幾何模型的選擇

目前，現代設計、分析方法很多，尤其是大型商業(yè)軟件的普及，為開展齒輪彎曲應力的分析提供了基礎。因此，從實際情況出發(fā)，選擇仿真試驗的方法，不僅可以節(jié)約成本，同時可保證分析的精確性。

用一垂直于圓柱齒輪軸線的平面剖切圓柱齒輪和面齒輪的嚙合齒面，其剖面圖如圖3所示。剖切平面與圓柱齒輪齒面的交線為漸開線，與面齒輪齒面的交線可近似地認為是直線。首先，從加工時的運動情況可知：圓柱齒輪剖面上的漸開線齒廓作定軸轉動，而面齒輪作近似的直線移動，根據范成運動的原理，面齒輪的齒面與剖面的交線應為一直線齒廓；其次，研究結果表明，相對于漸開線齒面的法曲率，面齒輪的齒面法曲率較小[21]，因此，其與剖面的交線可近似地認為是直線，齒面可近似為平面，從而可以把面齒輪近似為齒條。在齒根的彎曲應力分析中，為降低邊界條件對分析結果的影響，需要定義模型的大小。根據文獻[22]，對直齒圓柱齒輪模型，當齒根距離約束面的高度不小于1.5m（m為模數），模型的端面長度不小于3m時，則邊界位移點上的位移都小于齒輪最大位移的3%，考慮到齒輪腹板對面齒輪齒根彎曲應力的影響，面齒輪彎曲應力的分析模型選擇實心式三齒模型。

圖3 漸開線圓柱齒輪與面齒輪嚙合的剖面圖Fig.3 Section of spur gear and face gear

2 面齒輪齒根彎曲應力的有限元計算分析

2.1 面齒輪的有限元模型

根據面齒輪傳動的嚙合理論，開發(fā)了面齒輪傳動的設計、切齒加工仿真軟件，將模型導入ANSYS計算軟件，可對幾何模型進行分析。圖4所示為面齒輪的有限元模型，該模型應用四面體單元通過映射的方法劃分網格。假設嚙合處于理想狀態(tài)，嚙合點位于齒頂；模型的邊界約束條件是限制三齒模型的2個側面及底面的法向位移。經過多次試算發(fā)現：單元棱長在0.1～0.2 mm時計算結果趨于收斂；因此，在計算分析時，單元棱長取為0.2 mm。面齒輪材料的彈性模量為2.10×105MPa，泊松比為0.3。

圖4 面齒輪三齒有限元模型Fig.4 Three teeth element model of face gear

2.2 面齒輪齒根彎曲應力的分布

圖5 面齒輪齒根彎曲應力云圖Fig.5 Bending stress images of face gear

根據以上分析，對16組模型進行有限元分析，計算結果如表2所示。圖5所示為典型面齒輪齒根彎曲應力云圖。從圖5可以看出：加載點附近和齒根部位彎曲應力最大。根據圣維南原理，加載點附近的應力不能作為齒輪的最大彎曲應力，因此，遠離加載區(qū)域的齒根彎曲應力最大，且該點所處的截面（沿齒高方向）和加載位置位于同一個平面。過齒根最大彎曲應力位置沿齒寬方向取1條直線，提取該線上的相應等值線應力發(fā)現：應力基本上是對稱分布的，中心應力較大；且中心區(qū)域的應力梯度變化大，離齒寬中心距離越遠，彎曲應力越小。面齒輪齒根彎曲應力分布如圖6所示，其齒根彎曲應力的分布規(guī)律和Jaramillo等[23?24]的研究結果很相似，說明有限元分析結果以及把面齒輪當量成齒條是合理的。

圖6 面齒輪齒根彎曲應力分布Fig.6 Bending stress distribution along tooth root of face gear

2.3 面齒輪齒根彎曲應力的計算結果分析

集中載荷作用下的齒輪齒根彎曲應力的計算一直是一個難點，目前沒有理論解。自內切拋物線法的齒輪彎曲強度計算公式被提出以來，科研工作者就齒輪的彎曲應力開展了大量的研究工作。Jaramillo[23]采用廣義積分的方法給出了集中載荷下無限長懸臂板固定端的彎矩分布和應力分布，但是，求解方法十分復雜；Wellauer等[24]根據Jaramillo理論，采用“彎矩影象法”，給出了集中載荷下齒根彎矩的分布規(guī)律，進而提出了半經驗法的齒根彎曲應力計算方程，與試驗結果比較吻合，在工程應用中具有足夠高的精度。

當懸臂板寬度過大時，固定端遠離加載位置的彎矩為0，且固定端的彎矩分布只與加載作用點到固定端的相對距離、懸臂薄板的相對寬度以及相對厚度有關，加載作用點區(qū)域的應力梯度變化大[23]；因此，本文提出這樣一個假設：點接觸的正交面齒輪傳動中，齒輪的彎曲應力與加載作用點到齒根的相對距離、齒輪的相對寬度以及危險截面的相對厚度有關；點加載和全齒寬加載條件下的齒根彎曲應力之間存在一定的關系。可以參考現有齒輪彎曲應力的方法，找出點加載和全齒寬加載條件下齒根彎曲應力之間的聯系，從而獲得適用于實際工程強度計算的設計方程：

式中：σ0為全齒加載條件下齒根的最大彎曲應力，此處把面齒輪當量成齒條，其載荷與集中載荷相等；σ為集中載荷下面齒輪齒根的最大彎曲應力，采用有限元計算獲得；A和B為常數；bφ為齒寬系數。

在全齒加載條件下，其相對加載位置和相對齒厚都在一定程度上反映在復合齒形系數中，沒有相對齒寬問題。因此，在假設中，本文提出齒寬系數bφ用于考察齒寬對面齒輪齒根彎曲應力的影響。齒寬系數bφ定義為：

式中：b為面齒輪的寬度；m為面齒輪的模數。

根據全齒加載條件下的面齒輪齒根彎曲應力和集中載荷條件下采用有限元法計算的面齒輪齒根彎曲應力，引入齒寬系數，獲得了16組不同參數、不同齒寬系數分布，結果如表2所示。采用最小二乘法，彎曲應力比值與齒寬系數的擬合曲線如圖7所示，其中，橫坐標為齒寬系數bφ，縱坐標為集中載荷和全齒加載條件下的面齒輪齒根最大彎曲應力的比值σ/σ0。從圖7可以看出：各數值點基本上分布在擬合曲線的周圍。集中載荷和全齒加載條件下的面齒輪齒根最大彎曲應力的比值σ/σ0與齒寬系數bφ近似滿足以下關系，即

則由式（3）和圓柱齒輪彎曲應力計算方程可知集中載荷條件下面齒輪齒根彎曲應力σ可表示為：

式中：K為工況系數；Fn為法向載荷；YS為復合齒形系數。

從表2可以看出：齒寬系數為2的面齒輪齒根彎曲應力相對誤差較大，尤其是模數為5 mm時，相對誤差達18.4%，齒寬效應影響明顯；另外，齒數和齒寬系數較小的面齒輪，其誤差也較大，說明面齒輪的彎曲應力對齒面曲率較敏感。因此，考慮到支撐、齒寬效應以及面齒輪齒面曲率的影響，在面齒輪傳動的設計中，齒寬系數bφ應盡量不小于3；當面齒輪齒數z＜90且齒寬系數小于3時，計算結果可適當放大5%，以減小齒寬系數和齒面曲率對齒根彎曲應力的影響。經計算，16個參數條件下面齒輪齒根彎曲應力的平均相對誤差較小，為6.17%，因此，該方法可以作為工程設計階段面齒輪齒根彎曲應力計算的參考依據。

圖7 彎曲應力的比值與齒寬系數的關系Fig.7 Relationship between bending stress ratio and coefficient of tooth width

表2 面齒輪的設計參數及計算結果Table 2 Design parameters and calculation results of face gear

3 齒寬系數對面齒輪彎曲應力的影響

為進一步考察齒寬系數對面齒輪齒根彎曲應力的影響，在劃分單元尺寸不變的情況下，分析面齒輪1和2在不同齒寬系數下的彎曲應力。面齒輪1的參數為：模數m=2 mm，壓力角α=20o，齒數z=145，法向載荷Fn=1 kN；面齒輪2的參數為：模數m=3 mm，壓力角α=22.5o，齒數z=126，法向載荷Fn=3 897 N。圖8所示為面齒輪1和2的彎曲應力與齒寬系數的關系曲線，表3所示為不同齒寬系數下的相對誤差。從表3可以看出：當齒寬系數減小至2時，相對誤差明顯偏大；對面齒輪1，當齒寬系數為2時，相對誤差達14.1%。

圖8 彎曲應力與齒寬系數的關系曲線Fig.8 Graph of bending stress and coefficient of tooth width

表3 不同齒寬系數下的齒根彎曲應力相對誤差Table 3 Error of bending stress in different coefficients of tooth width

4 結論

（1） 面齒輪的最大彎曲應力位于齒輪的根部；沿齒根最大彎曲應力的齒寬方向取彎曲應力的等值線圖可發(fā)現齒根彎曲應力近似呈拋物線分布。

（2） 齒根彎曲應力的比值和齒寬系數近似呈線性分布，平均相對誤差為6.17%。

（3） 齒根彎曲應力對面齒輪的齒寬系數和齒數較敏感，在使用本文給出的擬合計算公式，且當面齒輪齒數z＜90且齒寬系數小于3時，計算結果可適當放大5%，以減小齒寬系數和齒面曲率對齒根彎曲應力的影響。

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（編輯 趙?。?/p>

Impact of coefficient of tooth width on bending stress of face gear

JIN Guang-hu, ZHU Ru-peng, LI Zheng-min-qing, BAO He-yun
（Jiangsu Key Laboratory of Precision and Micro-Manufacturing Technology, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China）

Based on engagement theory of face gear drive, the three-teeth geometric model of face gear was developed to calculate the bending stress. The design parameters were confirmed using orthogonal experiment method, and the bending stress of face gear was calculated by finite element analysis （FEA）. Regarding the face gear as a rack, the expression of bending stress of face gear and the relationship between bending stress ratio and coefficient of tooth width were obtained. The results show that the maximum bending stress location is in tooth root, and the distribution of bending stress is parabolic line approximately along the tooth width of the maximum bending stress location. The relationship between the ratio of bending stress and the coefficient of tooth width is approximately linear and the mean relative error is 6.17%. The coefficient of tooth width and teeth number affect the bending stress greatly. In order to diminish the effect of coefficient of tooth width and teeth number on the bending stress, the results appropriately magnifies by 5% in application of the expression of bending stress of face gear when the teeth number is less than 90 and the coefficient of tooth width is less than 3.

gear drive; face gear; bending stress; finite element

TH132.4

A

1672?7207（2011）05?1303?07

2010?03?30；

2010?07?28

國家自然科學基金資助項目（50775108）；江蘇省自然科學基金資助項目（BK2007194）；航空科技創(chuàng)新基金資助項目（08B52004）；精密與微細制造技術江蘇省重點實驗室資助項目（JSPM200701）

朱如鵬（1959?），男，江蘇建湖人，教授，博士生導師，從事機械傳動、結構強度、機械CAD及自動化研究；電話：025-84892500；E-mail： rpzhu@nuaa.edu.cn