軸向運動Timoshenko固支梁固有頻率的數值仿真

張計光， 胡超榮， 唐有綺， 孟瀝原

(1.上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海200072;2.日照職業(yè)技術學院，山東日照276826; 3.同濟大學物理系，上海200092)

軸向運動連續(xù)體模型廣泛存在于軍事、航空航天以及機械電子工程等的研究、制造及生產領域，比如空中纜車索道、紙帶、升降機纜繩、帶鋸等.軸向運動梁橫向振動及其控制的研究有著重要的應用價值和實際價值.

Euler梁模型是一種簡化的、有效的經典模型.許多研究人員分別對軸向運動Euler梁的振動問題進行了一系列的研究［1-5］，但是對于細長的、比較大的梁，Euler梁模型的計算結果遠沒有Timoshenko模型精確.楊曉東等［6］利用復模態(tài)分析方法和Galerkin方法求解軸向運動Timoshenko梁的固有頻率，分析復模態(tài)分析方法、二階Galerkin截斷和四階Galerkin截斷方法對固有頻率結果精確度的影響.Ghayesh等［10］通過半解析半數值方法研究了固定邊界的軸向運動Timoshenko梁模型的橫向振動固有頻率.李彪等［8］通過半解析半數值方法求解了兩端非對稱混雜邊界的軸向運動Timoshenko梁的固有頻率.Tang等［9］通過復模態(tài)分析方法系統(tǒng)地研究了各種邊界的軸向運動Timoshenko梁的固有頻率.丁虎等［10］通過有限差分方法研究了簡支條件下的軸向運動黏彈性梁的振動問題.本研究利用Galerkin截斷方法和微分求積法研究兩端固支邊界的軸向運動Timoshenko梁的固有頻率，并將數值結果和復模態(tài)分析方法［9］的結果進行比較.

1 控制方程

軸向運動Timoshenko梁橫向振動無量綱形式的控制方程［9］為

式中，y為運動梁的橫向位移，x為梁軸向坐標，t為時間，v為橫向速度，k1和k2表征剪切模量的大小，k3表征轉角的大小，k4表征抗彎剛度的大小.

兩端固支軸向運動 Timoshenko梁的邊界條件為

2 數值方法

下面采用Galerkin截斷方法和微分求積法對系統(tǒng)進行求解.

2.1 Galerkin方法

利用 Galerkin方法離散，取兩端固支的靜止Euler梁的模態(tài)函數

式中，ψi滿足cos ψicosh ψi-1=0.

對式(1)運用Galerkin離散化方法，設橫向位移的解為 y(x，t)=ΦTq，其中 q=［q1(t)q2(t)…qN(t)］T，Φ=［Φ1(t)Φ2(t)…ΦN(t)］T.將其代入式(1)，然后，等式兩端乘以Φ，并在區(qū)間［0，1］上對x積分，得

式中，

把式(4)寫成如下矩陣形式：

其中0和I分別表示N×N的零矩陣和單位矩陣，A為陀螺矩陣，它的全部特征值為成對的虛數，而且存在矩陣T使得如下變換成立：

2.2 微分求積法

假設方程(1)的解的形式為

式中，ψ(x)為模態(tài)函數，λ為復特征值.

將式(9)代入式(1)和(2)，分別得到

利用δ-technique處理固支邊界條件(2)，即采用如下網格節(jié)點：

根據微分求積規(guī)則：

其中的權系數可以由下式確定，即

并且當r=2，3，…，N-1時，有

高階導數的權系數矩陣可以根據表達式 A(r)= A(1)A(r-1)［11］來依次確定.

將式(14)代入式(10)和(11)，可得

將式(17)和(18)轉化為矩陣形式，即

式中，H，F(xiàn)，M，G，K均為N階矩陣，而ψ為N階列向量.

方程(19)即為廣義特征值求解問題.在本研究的計算中選取11個網格節(jié)點，即N=11.

3 計算結果及分析

應用Galerkin方法，由式(11)可以得到軸向運動梁的第n階固有頻率，由式(19)可以用微分求積法得到軸向運動梁的第n階固有頻率.復模態(tài)分析法(differential quadrature method，DQM)的解在不考慮計算誤差時可以看作精確解;而Galerkin方法因為使用截斷必然導致誤差的存在.圖1(Galerkin方法)和圖2(DQM)分別給出了在兩端固支的邊界條件下Timoshenko模型運動梁在不同剛度時前兩階固有頻率隨運動梁軸向運動速度的變化情況，其中Timoshenko梁物理參數分別為P=107N，A=9.0× 10-3m2，E=1.69×1011Pa，k=5/6，l=0.3 m，G= 6.6×1010Pa;相應無量化參數k1=9.0×10-3，k2= 5.90×10-5，k3=4.2×10-3，k4=0.64.

圖1 隨軸向速度、剛度系數變化的固有頻率(Galerkin方法)Fig.1 Natural frequencies changing with axial speed and constraint stiffness(Galerkin method)

圖2 隨軸向速度、剛度系數變化的固有頻率(DQM)Fig.2 Natural frequencies changing with axial speed and constraint stiffness(DQM)

可以看出，利用Galerkin方法和DQM得到的系統(tǒng)的前兩階固有頻率，在軸向速度相同時，隨著剛度系數的增大而增大;在剛度系數相同時，隨著軸向速度的增大而減小.

圖3給出應用Galerkin方法、DQM和復模態(tài)分析法［9］所得的固有頻率的比較.可以看出，用DQM和復模態(tài)分析方法得到的結果吻合得很好;用Galerkin四階截斷法得到的結果與用DQM和復模態(tài)分析這兩種方法得到的結果存在一定的差別.在剛度系數較小的時候，3種結果比較接近;但隨著剛度系數和速度的增大，Galerkin方法的結果和另外2種方法的結果的差別也增大，這種差別應該是由截斷的試函數引起的.在兩端簡支邊界條件下，通過利用Galerkin方法和復模態(tài)分析法計算出的Timoshenko軸向運動梁的固有頻率［6］發(fā)現(xiàn)，對第1階固有頻率，用Galerkin方法和復模態(tài)分析法計算出的結果幾乎重合;對第2階固有頻率，二者雖有差別，但四階Galerkin截斷比二階Galerkin截斷得到的固有頻率誤差要小.

圖3 Galerkin方法，DQM，復模態(tài)分析法所得固有頻率的比較Fig.3 Comparison for the naturalfrequencies of Galerkin method，DQM，complex mode methods

4 結束語

本工作研究了兩端固支邊界條件下Timoshenko軸向運動梁的橫向振動問題，分別利用Galerkin方法和DQM計算了系統(tǒng)的前兩階固有頻率隨著剛度系數和軸向速度的變化情況，并將這2種方法得到的結果與復模態(tài)分析法得到的結果［9］進行比較，發(fā)現(xiàn)用DQM和復模態(tài)分析方法得到的結果吻合得很好.而用四階Galerkin截斷法得到的結果與用DQM以及復模態(tài)分析法得到的結果有著相同的變化趨勢，但是存在一定的差別.

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