新老教材中直線與圓錐曲線差異問題比較研究

玉邴圖

(廣南縣第一中學(xué)，云南廣南663300)

本文所述的新教材是指普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)必修2和選修2－1［1－2］。老教材是指全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書人教版數(shù)學(xué)(必修)第二冊(cè)(上)［3］。

1 教材中涉及直線與圓錐曲線部分問題比較

1.1 例習(xí)題的比較

新老教材中例題、習(xí)題的比較見表1。

表1 新老教材中例題、習(xí)題的比較

續(xù) 表

1.2 比較后的啟示

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系既是解析幾何的重要基本知識(shí)，又是高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容，在每年各省市的高考中都有一個(gè)題，且有一定的綜合度，一般排在第21題或第22題?？疾榈闹饕獌?nèi)容是已知條件求直線和圓錐曲線方程，或是已知直線與圓錐曲線方程的位置關(guān)系研究其一些幾何量的性質(zhì)，這一類問題數(shù)學(xué)思想方法多，如數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，因此在高考中常常以直線與圓錐曲線為載體全面考查學(xué)生的綜合能力，也是高考數(shù)學(xué)成績(jī)區(qū)分度較大的一個(gè)題目。

從上述表中的比較我們知道，在直線和圓錐曲線的位置關(guān)系中，老課本涉及的問題甚少，新課程課本涉及的問題甚多，題型也多姿多采，并且非常注重圓錐曲線弦長(zhǎng)問題，有焦點(diǎn)弦，頂點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦問題等。

1)在直線與圓中，老教材知識(shí)面單一，而新教材比老教材細(xì)化，并單獨(dú)編成一節(jié)(4.2.1)來介紹，其涉及知識(shí)面廣，形式多樣，要求較高，并涉及實(shí)際應(yīng)用問題。新課改領(lǐng)先省市的高考題就有所體現(xiàn)，如下面的例題。

例1 (2008年高考江蘇卷第18題)設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+t(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)的圓記為C。

(1)求實(shí)數(shù)t的取范圍;

(2)求圓C的方程;

(3)圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)，說明理由。

例2 (2009年江蘇高考第18題，滿分16分)直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C1∶(x+3)2+(y－1)2=4和圓 C2∶(x－4)2+(y－5)2=4。

(1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為求直線l的方程。

(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足:存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，并且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)。

例3 (2008年海南、寧夏卷)已知m是實(shí)數(shù)，直線 l∶mx－(m2+1)y－4m=0 和圓 C∶x2+y2－8x+4y+16=0。

(1)求直線l的斜率的取值范圍;

1.1 文獻(xiàn)資料法 本研究基于中國(guó)期刊網(wǎng)及圖書館數(shù)據(jù)資料庫(kù)的搜索平臺(tái)，以“武術(shù)散打”“散打運(yùn)動(dòng)員”“技術(shù)特點(diǎn)”“中量級(jí)別”等為關(guān)鍵詞，查閱相關(guān)資料近20篇，借鑒前人研究經(jīng)驗(yàn)，梳理中量級(jí)別散打運(yùn)動(dòng)員技術(shù)發(fā)展現(xiàn)況，探尋技術(shù)發(fā)展特點(diǎn)，以期為散打運(yùn)動(dòng)員技術(shù)發(fā)展提供理論基礎(chǔ)。

2)新課本非常重視圓錐曲線弦長(zhǎng)問題和弦的幾何性質(zhì)，如第2章復(fù)習(xí)參考題B組第7題:經(jīng)過拋物線y2=2px(p＞0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于AB，以AB為直徑的畫圓，借助信息技術(shù)工具，觀察它與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系，你得到什么結(jié)論?相應(yīng)于橢圓、雙曲線如何?你能證明結(jié)論嗎?”這是圓錐曲線中一條非常重要的幾何性質(zhì)，其結(jié)論是:“以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，以AB為直徑的圓與橢圓的準(zhǔn)線相離，以AB為直徑的圓與雙曲線的準(zhǔn)線相交”。新課本所增加這些綜合內(nèi)容也與近年來新課程省市的高考試題十分吻合，所以在平時(shí)的教學(xué)我們要有目的有意識(shí)的強(qiáng)化。

3)從比較的表中知道，新課本主要涉及的是圓錐曲線焦點(diǎn)弦和頂點(diǎn)弦，而焦點(diǎn)弦長(zhǎng)題目甚多，反復(fù)出現(xiàn)，筆者認(rèn)為，應(yīng)該將部分題目置換為經(jīng)過圓錐曲線中心的弦長(zhǎng)和經(jīng)過圓錐曲線準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題，以增加形式多樣，多姿多彩的題型，這是因?yàn)椴还芮笫裁聪议L(zhǎng)，思路方法都是一樣的，不會(huì)增加難度。

2 教學(xué)建議淺說

2.1 研究直線與圓錐曲線性質(zhì)

解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的，它是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物，直線與圓錐曲線的綜合問題，是揭示出直線和圓錐曲線的本質(zhì)屬性，在解題中，除了會(huì)應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、線到線的角公式、引入?yún)?shù)消去參數(shù)和韋達(dá)定理等外。還要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用圓錐曲線的幾何性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的方法，化繁為簡(jiǎn)、直觀簡(jiǎn)潔的解決問題。要充分挖掘題目所隱含的幾何性質(zhì)和靈活應(yīng)用平面幾何的有關(guān)性質(zhì)，這樣往往可使繁雜問題簡(jiǎn)單化。另一方面，在平時(shí)的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生掌握一些重要結(jié)論的證明思路、方法和技能，這些方法和技能對(duì)我們合學(xué)生在今后解決許多相關(guān)問題會(huì)有幫助。

2.2 夯實(shí)基礎(chǔ)，重視通性通法

直線與圓錐曲線綜合題都是由若干基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)包裝組合而成的，故要深刻理解并熟練掌握直線和圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，構(gòu)建有關(guān)基礎(chǔ)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，尤其要注意一些常規(guī)問題的基本解法，在抓住通性通法的同時(shí)，有目的有意識(shí)地訓(xùn)練有關(guān)減少解析幾何運(yùn)算量的常用解題技能和技巧，從而使學(xué)生能準(zhǔn)確、迅速地解決直線和圓錐曲線的綜合問題。

2.3 突出重點(diǎn)，注重知識(shí)整合

2.4 強(qiáng)化運(yùn)算，力求避繁就簡(jiǎn)

解析幾何運(yùn)算能力是直線和圓錐曲線最突出的特點(diǎn)，而運(yùn)算的求簡(jiǎn)意識(shí)則集中體現(xiàn)在直線和圓錐曲線的有關(guān)綜合問題之中，所以，在遵循“設(shè)——列——解”的程序化運(yùn)算的基礎(chǔ)上，突出解析幾何的設(shè)而不求的運(yùn)算本質(zhì)，努力幫助學(xué)生克服重思路方法，輕運(yùn)算技能技巧的頑疾，突破如何避繁就簡(jiǎn)這一瓶頸，充分發(fā)揮圓錐曲線定義和平面幾何的聯(lián)用，化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用。

2.5 復(fù)習(xí)過程要注重回歸課本

回歸課本是正道，回歸課本是硬道理，多年來，一線教師和高考命題專家一直都倡導(dǎo)高考應(yīng)以課本為本，課本是高考的依據(jù)，老教材和新課程教材的省市高考題仍然體現(xiàn)這一倡導(dǎo)，這是因?yàn)樵S多高考試題源于課本，甚至不回避課本中的原題，即使是綜合題，也是由課本的基礎(chǔ)題整合加工而成的，并且試題的表達(dá)方式和語言敘述盡可能與課本保持一致，充分體現(xiàn)課本的基礎(chǔ)作用。對(duì)于數(shù)學(xué)課本而言，它是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，是教師和學(xué)生在教與學(xué)的主要依據(jù)，課本是主干知識(shí)的體現(xiàn)，是幾代編寫教材的人的集體智慧的結(jié)晶，具有很強(qiáng)的權(quán)威性、指導(dǎo)性、規(guī)范性、遷移性和可塑性。因此，高考命題高度關(guān)注課本在命題中的作用，充分發(fā)揮課本作為高考試題來源的功能。故在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高考復(fù)習(xí)應(yīng)試中，要要注重回歸課本，熟記課本基本概念、公式、方程，并會(huì)敘述與證明。課本上的例習(xí)題要條條過關(guān)，要充分發(fā)揮課本的基礎(chǔ)性和典型性的特點(diǎn)，通過解答課本例習(xí)題落實(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)技能，通過多解、多變、反思、推廣、引申、應(yīng)用來掌握解題規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和提高應(yīng)試能力。

例如對(duì)課本涉及的圓錐曲線弦問題，可引導(dǎo)學(xué)生推廣引申證明如下幾個(gè)公式:

(1)(焦點(diǎn)弦的引申)過橫向型圓錐曲線焦點(diǎn)F作斜率是k或傾斜角為θ的直線交圓錐曲線于P，Q兩點(diǎn)，若離心率是e，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離為p，則(證明過程見教材［1］)。

(2)(頂點(diǎn)弦的引申)過橫向型圓錐曲線頂點(diǎn)A作斜率是k或傾斜角為θ的直線交圓錐曲線的另一點(diǎn)于P，若離心率是e，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離為p，則(證明過程見教材［2］)。

如果我們掌握它們的證明思路和方法，那么圓錐曲線弦問題便迎忍而解，近年來，新課程高考就與這兩個(gè)公式有緣。例如:

這兩道高考題分別取材于課本例習(xí)題的焦點(diǎn)弦和頂點(diǎn)弦問題。

2.6 認(rèn)真研究高考考什么

要認(rèn)真研究直線和圓錐曲線位置關(guān)系的重點(diǎn)熱點(diǎn)和難點(diǎn)，特別要研究高考直線和圓錐曲線的位置?？际裁?，怎么考，找準(zhǔn)抓手，如何應(yīng)對(duì)，在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)試策略上下功夫，只有這樣做，我們才能以不變應(yīng)萬變，也才能提升直線和圓錐曲線問題的考試質(zhì)量。

2.7 加強(qiáng)集體備課發(fā)揮群體力量

“知識(shí)教育——能力教育——?jiǎng)?chuàng)新教育”是社會(huì)發(fā)展和新高考的需要與產(chǎn)物，也是人們對(duì)教育功能的認(rèn)識(shí)和考試要求深入的結(jié)果，傳統(tǒng)教育忽視開發(fā)和培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，缺乏創(chuàng)造性，而部分教師觀念滯后、方法陳舊嚴(yán)重地阻礙了創(chuàng)新教育，適應(yīng)不了現(xiàn)在高考創(chuàng)新的需要。為此我們應(yīng)該大力倡導(dǎo)集體備課，匯集個(gè)體智慧，形成合力，整合成一個(gè)具有新特點(diǎn)、新思路的優(yōu)質(zhì)的備考方案。充分利用集體備課時(shí)間，解決教學(xué)中存在的問題，交流教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。既豐富備課課堂的信息，又提高了教師的業(yè)務(wù)水平。

［1］普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)(必修2)人教A版［M］.北京:人民教育出版社，2007:81－144.

［2］普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)(選修2－1)人教A版［M］.北京:人民教育出版社，2007:32－82.

［3］全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修)數(shù)學(xué)(第二冊(cè)(上))［M］.北京:人民教育出版社，2006:34－133.