隨機梁式結(jié)構(gòu)特征值的子結(jié)構(gòu)遞推求解方法

萬信華 黃 斌 高洪波

1.華中科技大學(xué),武漢,430074 2.中鐵第四勘察設(shè)計院集團有限公司,武漢,430063 3.武漢理工大學(xué),武漢,430070 4.中交第二公路勘察設(shè)計研究院有限公司,武漢,430052

隨機梁式結(jié)構(gòu)特征值的子結(jié)構(gòu)遞推求解方法

萬信華1,2黃 斌3高洪波4

1.華中科技大學(xué),武漢,430074 2.中鐵第四勘察設(shè)計院集團有限公司,武漢,430063 3.武漢理工大學(xué),武漢,430070 4.中交第二公路勘察設(shè)計研究院有限公司,武漢,430052

將遞推隨機有限元法和子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法結(jié)合起來,提出了求解隨機梁式結(jié)構(gòu)特征值的子結(jié)構(gòu)遞推求解方法。算例表明,對于較寬隨機漲落范圍內(nèi)的隨機特征值求解問題,子結(jié)構(gòu)遞推求解方法相對于傳統(tǒng)的基于一階、二階泰勒展開的攝動隨機方法而言,其結(jié)果能夠更好地逼近蒙特卡羅模擬解。

隨機梁式結(jié)構(gòu);子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法;遞推隨機有限元方法;攝動

0 引言

在機械工程領(lǐng)域,存在大量的梁式結(jié)構(gòu)(如起重機的懸吊臂)。如果將這些梁式結(jié)構(gòu)的某些物理參數(shù)和幾何參數(shù)視為隨機量,那么可稱這樣的結(jié)構(gòu)為隨機梁式結(jié)構(gòu)。20世紀70年代以來,人們針對隨機結(jié)構(gòu)的特征值求解等問題的研究取得了不同程度的進展[1-7]。

對于大型的確定性結(jié)構(gòu),如何獲得其特征值的解是特征值問題研究的一個重要方向。其中,子結(jié)構(gòu)方法是一種有效的數(shù)值方法[8]。文獻[7]利用子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法,并結(jié)合普通的攝動隨機有限元法,研究了隨機結(jié)構(gòu)的特征值求解問題,然而由于該方法只采用了一階攝動法,隨機特征值的均值和方差只有零階和一階精度,而且結(jié)構(gòu)參數(shù)中的隨機量被限制為小量,因此,當(dāng)結(jié)構(gòu)隨機參數(shù)的變異性較大時,采用該方法結(jié)果精度會受到影響。

本文將文獻[9-10]提出的遞推隨機有限元法和子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法結(jié)合起來,提出了求解梁式結(jié)構(gòu)特征值問題的子結(jié)構(gòu)遞推求解方法。懸臂桁架梁的數(shù)值分析結(jié)果顯示,在較寬隨機漲落范圍內(nèi),雖然只采用了前四階展式求解隨機梁式結(jié)構(gòu)的特征值,相對于傳統(tǒng)的采用一階、二階泰勒展開的攝動隨機有限元法的子結(jié)構(gòu)方法而言,所提方法的結(jié)果能更好地逼近蒙特卡羅模擬解。

1 確定的子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法

將一個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)按特點分割為若干子結(jié)構(gòu),當(dāng)子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣按內(nèi)部自由度和附加邊界自由度分塊表示時,可寫為

其中,上標I和B分別表示內(nèi)部自由度和附加邊界自由度,自由度數(shù)分別為n I和n B。對于固定界面子結(jié)構(gòu),其主模態(tài) Φ(k)=[φ1 φ2 … φk]可由下面方程求得

其中,Λ(k)為由λi組成的子結(jié)構(gòu)的特征值對角矩陣,另外,式中子結(jié)構(gòu)主模態(tài)已經(jīng)過正則化處理,主模態(tài)矩陣 Φc為n I×n B階矩陣,由下式定義:

2 結(jié)構(gòu)隨機量的表達

如果結(jié)構(gòu)的參數(shù)被視為隨機量,系統(tǒng)的特征值方程(式(8))中的廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣也是隨機的,于是式(8)就變?yōu)殡S機的特征值方程。為了求解隨機特征值方程,下面首先給出已知和待求隨機量的表達。

2.1 子結(jié)構(gòu)中的隨機參數(shù)

假設(shè)整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)被分割為p個子結(jié)構(gòu),每個子結(jié)構(gòu)最多含有m個隨機變量,且子結(jié)構(gòu)之間的隨機變量相互獨立,則整個系統(tǒng)最多可有l(wèi)(m×p)個隨機變量。為方便起見,這里僅假設(shè)梁系結(jié)構(gòu)的抗彎剛度或彈性模量為空間隨機場,那么對于第s個子結(jié)構(gòu),它的剛度矩陣可表示為

其中,K0為均值參數(shù)對應(yīng)的n×n維確定性矩陣,K si為n×n維矩陣;ξsi為獨立的隨機變量。事實上,對于質(zhì)量、幾何尺寸乃至邊界支撐彈簧剛度等參數(shù)也可以有類似的表達。

2.2 隨機特征值的非正交多項式展式

如果采用通常的攝動隨機有限元法,未知的隨機特征值可表示為關(guān)于小變異隨機變量的攝動展開或泰勒展開。根據(jù)文獻[9-10],采用如下非正交多項式展式表示未知隨機特征值:

這里,a0(x)、ai1(x)等為未知系數(shù),非正交多項式基φn(?)的前三階量可以寫為

這里的非正交是相對正交而言的,即不同的多項式基的乘積經(jīng)加權(quán)求積分后不再等于零。

3 隨機特征值的子結(jié)構(gòu)遞推求解方法

3.1 子結(jié)構(gòu)廣義質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的表示

利用遞推隨機有限元法求解每個形如式(2)的子結(jié)構(gòu)隨機方程[9-10],可得每個子結(jié)構(gòu)的特征值矩陣和主模態(tài)矩陣:

需說明的是,當(dāng)子結(jié)構(gòu)中的隨機變量完全相關(guān)時,矩陣 Φc可處理為確定性矩陣,否則,為隨機性矩陣。

3.2 系統(tǒng)總體廣義質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的表示

在整理出每個子結(jié)構(gòu)的廣義質(zhì)量矩陣和剛度矩陣后,依照有限元“對號入座”的裝配方法,根據(jù)非正交展式中的系數(shù)項的階數(shù)進行合并,可以得到整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣和剛度矩陣非正交展式的系數(shù)項。這樣,整個系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣可表示為

3.3 系統(tǒng)廣義隨機特征值問題

將式(16)及相應(yīng)剛度矩陣代入特征值方程式(8)中,并將主特征值假設(shè)為如下非正交多項式展式:

依照上述方法,不僅可以推導(dǎo)出文獻[7]中的一階泰勒展開的攝動隨機有限元子結(jié)構(gòu)法,還可推導(dǎo)出二階泰勒展開的攝動隨機有限元子結(jié)構(gòu)法。系統(tǒng)廣義隨機特征值的求解程序框圖見圖 1。

圖1 系統(tǒng)廣義隨機特征值的求解程序框圖

4 算例分析

圖2 5跨懸臂桁架及其子結(jié)構(gòu)分割

一個5跨懸臂桁架,其子結(jié)構(gòu)分割形式如圖2所示。懸臂桁架的水平和豎向桿件長為10m,斜桿長為14.14m,桿件截面積為1.0×10-4m2,密度為2800kg/m3。子結(jié)構(gòu)1的桿件彈性模量為隨機變量,均值為16GPa,變異系數(shù)為0.1。子結(jié)構(gòu)2的桿件彈性模量均值為8.0GPa。兩個子結(jié)構(gòu)的動模態(tài)均取前5階。

圖3 三階特征值均值和均方差與子結(jié)構(gòu)2桿件彈性模量變異系數(shù)的關(guān)系(子結(jié)構(gòu)1桿件彈性模量變異系數(shù)為0.1)

圖3顯示,在桿件彈性模量較大的隨機漲落范圍內(nèi),對于所求的振動特征值均值和均方差,四階子結(jié)構(gòu)遞推求解方法比一階、二階攝動隨機子結(jié)構(gòu)方法都更逼近蒙特卡羅模擬解。在子結(jié)構(gòu)2桿件彈性模量變異系數(shù)為0.28時,三階特征值的一階、二階攝動隨機子結(jié)構(gòu)方法和四階子結(jié)構(gòu)遞推求解方法與蒙特卡羅模擬解的誤差分別為11.05%、8.62%和1.9%。和文獻[10]類似,本文提出的子結(jié)構(gòu)遞推求解方法同樣適用于梁單元結(jié)構(gòu),涉及更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)單元時,采用所提方法還要具體區(qū)別對待、靈活處理。

5 結(jié)語

將遞推隨機有限元法和子結(jié)構(gòu)綜合模態(tài)法相結(jié)合,提出了求解隨機梁式結(jié)構(gòu)統(tǒng)計特征值的子結(jié)構(gòu)遞推求解方法。算例結(jié)果表明,和一階、二階攝動隨機子結(jié)構(gòu)方法相比,子結(jié)構(gòu)遞推求解方法能在較寬的隨機漲落范圍內(nèi)更好地逼近蒙特卡羅模擬結(jié)果,即使僅采用四階非正交多項式展式,逼近的效果仍是令人滿意的。和蒙特卡羅方法相比,新的方法可以節(jié)省大量的計算時間;和直接的遞推隨機有限元法相比,本文方法能大量縮減結(jié)構(gòu)自由度,對于大型復(fù)雜梁式結(jié)構(gòu)而言,可以大大減小計算的規(guī)模。

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Statistic Eigenvalue Analysis of Random Beam Structures Based on Substructure Recursive Approach

W an Xinhua1,2Huang Bin3Gao Hongbo4
1.Huazhong University of Science and Technology,Wuhan,430074 2.China Railway Siyuan Survey and Design Group Co.Ltd.,Wuhan,430063 3.Wuhan University of Technology,Wuhan,430070 4.China Communications Second Highway Survey Design and Research Institute Co.Ltd.,Wuhan,430052

A new numerical method,called as substructure recursive stochastic finite element method,which combined component modal synthesismethod w ith recursive stochastic finite element method,was em ployed to study eigenvalue problems of random beam structures.The numerical examp les of truss cantilever beam show that,com pared with perturbation stochastic substructure method based on the first or second order of Tay lor expansions,the results of the substructure recursive stochastic finite element method supposed herein are more close to that of Monte-Carlo simu lation method in w ide range of random fluctuation.

random beam structure;com ponentm odal synthesismethod;recursive stochastic finite elementmethod;perturbation

O326;TU31

1004—132X(2011)12—1476—04

2011—03—21

國家自然科學(xué)基金資助項目(51078297)

(編輯 王艷麗)

萬信華,男,1968年生。華中科技大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院博士后研究人員,中鐵第四勘察設(shè)計院集團有限公司教授級高級工程師、博士。主要研究方向為大跨結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與方法。發(fā)表論文10余篇。黃 斌,男,1968年生。武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。高洪波,男,1980年生。中交第二公路勘察設(shè)計研究院有限公司工程師。