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    例析Matlab融入電磁學(xué)教學(xué)課堂*①

    2011-01-25 00:55:04呂良軍郝振莉
    物理通報(bào) 2011年11期
    關(guān)鍵詞:電偶極子電場線電磁學(xué)

    呂良軍 郝振莉

    (黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南 開封 475004)

    鄭海務(wù) 尹國盛

    (河南大學(xué)物理與電子學(xué)院 河南 開封 475004)

    1 引言

    目前,在我國許多大學(xué)、中小學(xué)都已普及了以電子教案為基體、計(jì)算機(jī)為主體的多媒體教學(xué).教師們大量地采用自編的或公開出版的電子教案教學(xué),與傳統(tǒng)的“粉筆黑板”式的教學(xué)相比,有多方面的優(yōu)越性,但多以Powerpoint為主,而物理學(xué)中的許多最終結(jié)果和運(yùn)動(dòng)難以用Powerpoint軟件完成.鑒于上面的原因,物理仿真已引起了大家的普遍關(guān)注與研究[1~4].

    電磁學(xué)歷來被國內(nèi)外大學(xué)生公認(rèn)為大學(xué)物理中難度較大的課程之一,其較深的數(shù)學(xué)理論和場的抽象性使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往有恐懼心理,容易產(chǎn)生畏難情緒.如果按照傳統(tǒng)的課堂教學(xué)方式,必然會(huì)面對大量復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和難以繪制的三維圖形,很難引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.Matlab是近些年來較為流行的一種可視化科學(xué)計(jì)算軟件,其計(jì)算與畫圖功能強(qiáng)大,編程簡單,將其引入電磁場的課堂教學(xué)中,可以把抽象的場可視化,讓教師和學(xué)生從繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)運(yùn)算中解放出來,將更多的精力放到對概念的理解和專業(yè)知識的獲取上.本文通過幾個(gè)典型例子介紹如何利用Matlab進(jìn)行電磁學(xué)的輔助分析及可視化教學(xué).

    2 典型案例

    2.1 帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)仿真

    既有電場又有磁場的情況下,運(yùn)動(dòng)的帶電粒子q在此區(qū)域內(nèi)所受到的作用力應(yīng)為

    F=FE+FM=qE+qυ×B

    上式通常被稱為洛倫茲力公式.因此,可以利用外加的電場和磁場,來控制帶電粒子流的運(yùn)動(dòng)[5].在Matlab中只要采用不同的初始條件和參量就可以觀察到不同的現(xiàn)象.下面程序是q=1.6×10-2、m=0.02的帶電粒子在B=2、E=1的均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)仿真程序和運(yùn)動(dòng)軌跡.

    clc;clear;[t,y]=ode45(′ode45_fun4′,[0:0.1:20],[0 0.01 0 6 0 0.01]);

    plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5),′linewidth′,2); %畫運(yùn)動(dòng)軌跡

    grid on;hold on;n=length(y);

    for k=1:n

    h=plot3(y(k,1),y(k,3),y(k,5),′.′);

    set(h,′color′,[1 0 0],′markersize′,28); %定義帶電粒子的顏色與大小

    M(k)=getframe; %獲取單幀

    end

    movie(M,1) %播放動(dòng)畫

    程序運(yùn)行完畢,效果如圖1所示.

    圖1 帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡

    2.2 電偶極子電場和等勢線的分布圖繪制

    在電磁理論中,電偶極子是指由間距遠(yuǎn)比場點(diǎn)到它們的距離小得多的兩個(gè)等量異號電荷組成的系統(tǒng), 其等位線和電場線的繪制就是課程中較難把握的內(nèi)容[5].其模型是指電荷量為q、相距為l的一對正負(fù)點(diǎn)電荷所組成,O是兩個(gè)點(diǎn)電荷距離的中點(diǎn),如圖2所示.在直角坐標(biāo)系中,取偶極子中心作為坐標(biāo)原點(diǎn),遠(yuǎn)處一點(diǎn)P的電勢等于兩點(diǎn)電荷電勢的疊加.

    圖2 電偶極子P點(diǎn)電場

    在二維直角坐標(biāo)系中,設(shè)在(a,b)處有電荷+q,在(-a,b)處有電荷-q,那么在電荷所在平面上任何一點(diǎn)P(x,y)的電勢為[2]

    其中

    電場為

    設(shè)電荷電量q=1,a=1,b=0.在Matlab編程如下:

    [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

    [px,py]=gradient(z); %求電勢在x,y方向的梯度即電場強(qiáng)度

    contour(x,y,z,[-12:0.5:12]);hold on;

    quiver(x,y,px,py,′k′)

    運(yùn)行后可見電偶極子的等勢線及電場線在二維平面上的分布,如圖3所示.

    圖3 電偶極子平面等勢線及電場線

    通過將抽象的場函數(shù)仿真后,對場的分布就有了一個(gè)直觀的概念,對場的性質(zhì)理解起來也就更加容易.電場線的疏密表示電場的弱強(qiáng),某點(diǎn)處切線方向表示電場的方向,從而建立起電場線與電場強(qiáng)度之間的有效聯(lián)系.而且等勢線與電場線正交,順著電場線方向電勢降低,電場強(qiáng)度是電勢的負(fù)梯度等,這些從圖像中都可以得到直接驗(yàn)證.

    調(diào)整a的值,可以仿真電偶極子的電勢三維空間分布:

    mesh(x,y,z);%畫三維網(wǎng)格圖

    效果如圖4所示.

    圖4 電偶極子的電勢三維空間分布

    2.3 求解電磁學(xué)中微積分問題

    均勻帶電球面的電場中電勢的分布[5],設(shè)球面的半徑為R、總電荷量為q.

    圖5 均勻帶電球面的電場中電勢

    整個(gè)球面在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為

    根據(jù)圖5,由余弦定理得

    代入上面UP式得

    上式的積分可用Matlab求解,程序如下:

    %利用Matlab求解積分問題

    clear; syms sigma theta epsilon vartheta

    R r %定義符號變量

    Up=int( int(fx, theta,′0′,′pi′),

    vartheta,′0′,′2*pi′) %對函數(shù)求兩次積分

    運(yùn)行程序,得

    當(dāng)P點(diǎn)在球外,即r>R時(shí),有

    當(dāng)P點(diǎn)在球內(nèi),即r

    2.4 數(shù)值方法及實(shí)現(xiàn)電磁場數(shù)值計(jì)算融入教學(xué)

    在20世紀(jì)50年代前,計(jì)算電磁場問題主要依靠解析法及經(jīng)驗(yàn)公式.然而用解析法求得的解析解并不能完全滿足實(shí)際應(yīng)用中的要求,有些問題是難以求得解析解的.因而用數(shù)值法求解電磁場問題就越來越具有優(yōu)越性.利用Matlab軟件可以給出符合需要的結(jié)果和相關(guān)圖像,為電磁場理論教學(xué)和工程實(shí)際起到積極作用.例如等量同號電荷的電場線的繪制.

    由電場中任一點(diǎn)的電場方向都沿該點(diǎn)電場線的切線方向,所以滿足

    引入?yún)⒆兞縯得到

    設(shè)二點(diǎn)電荷位于(-2,0)和(2,0),二電荷電量為q1和q2(數(shù)值計(jì)算時(shí)q=10),得微分方程

    用Matlab數(shù)值計(jì)算解此方程就繪制出電場線(圖6).程序如下:

    Clc;Clear;q1=10;q2=10;axis([-5 5 -5 5]);hold on;plot(2,0,′*r′);plot(-2,0,′*r′)

    a=(pi/24):pi/12:(2*pi-pi/24);

    b=0.1*cos(a);c=0.1*sin(a);

    b1=-2+b;b2=2+b;b0=[b1 b2];

    c0=[c,c];

    for i=1:48

    [t,y]=ode45(′ode45_fun3′,[0:0.05:40],[b0(i),c0(i)],[],q1,q2); %微分方程數(shù)值解

    plot(y(:,1),y(:,2),′b′) %畫電場線

    end

    程序運(yùn)行完畢,效果如圖6所示.

    圖6 等量同號電荷的電場線

    2.5 處理電磁學(xué)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

    在霍爾效應(yīng)測磁場的實(shí)驗(yàn)中,為測某一磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度,測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[6]如表1.

    表1 霍爾效應(yīng)測磁場實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

    Is/mA5.00 6.00 7.00 UH/mV12.897 515.480 018.067 5

    clear;IS=1:7;UH=[2.592 5 5.157 5 7.742 5 10.330 0 12.897 5 15.480 0 18.067 5];

    KH=13.380 0;UK=UH/KH;n=length(IS);

    xjz=mean(IS);yjz=mean(UK);

    Lxx=sum(IS.*IS)-1/n*sum(IS)*sum(IS);

    Lyy=sum(UK.*UK)-1/n*sum(UK)*sum(UK);

    Lxy=sum(IS.*UK)-1/n*sum(IS)*sum(UK);

    b=Lxy/Lxx;a=yjz-b*xjz;ISS=0:8;UKK=

    a+b*ISS;plot(IS,UK,′O′,ISS,UKK,′-r+′);

    xlabel(′I_S′);ylabel(′U_H/K_H′);legend(′實(shí)測值′,′擬合直線′);b,a

    注:這里也可以用Matlab自帶函數(shù)polyfit直接擬合,命令為polyfit(IS,UK,1).

    圖7 霍爾效應(yīng)直線

    運(yùn)行結(jié)果:b =0.192 8,a =4.537 7×10-4,即擬合直線如圖7所示.方程為

    磁感應(yīng)強(qiáng)度為

    B=0.192 8 T

    3 結(jié)束語

    利用Matlab進(jìn)行電磁場計(jì)算及可視化教學(xué),簡化了繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo),將抽象的概念具體化.經(jīng)課堂使用后發(fā)現(xiàn)該方法受到學(xué)生歡迎,并改善了教學(xué)效果.在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究電磁場仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué),鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手用Matlab解決電磁場問題,特別是應(yīng)用偏微分方程工具箱在大學(xué)物理電磁學(xué)等各類物理場的數(shù)值仿真.

    將Matlab融入到電磁場的教學(xué)中,介紹給學(xué)生用計(jì)算機(jī)計(jì)算和仿真來學(xué)習(xí)和解決電磁問題的方法,從而培養(yǎng)他們采用多種途徑、多個(gè)方法解決問題的能力,這正符合了以提高學(xué)生綜合素質(zhì)為目的的教改需要.

    參考文獻(xiàn)

    1 謝處方,等.電磁場與電磁波.北京: 高等教育出版社,2002

    2 彭芳麟.數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法可視化.北京:清華大學(xué)出版社,2004

    3 鐘季康,等.大學(xué)物理習(xí)題計(jì)算機(jī)解法——MATLAB編程應(yīng)用.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008

    4 何紅雨.電磁場數(shù)值計(jì)算法與Matlab實(shí)現(xiàn).武漢:華中理工大學(xué)出版社.2005

    5 尹國盛,等.大學(xué)物理.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2010

    6 王世芳,吳濤.Matlab在電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用.湖北第二師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008(2)

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