凸多邊形閉區(qū)域的參數(shù)方程及應(yīng)用

李 盛,阮建苗

(1.浙江省衢州第一中學(xué),浙江衢州324000;2.浙江外國(guó)語學(xué)院理工學(xué)院,浙江杭州310012)

1 引言及主要結(jié)果

在傳統(tǒng)的解析幾何中,通常是將曲線作為點(diǎn)的軌跡進(jìn)行研究,而平面閉區(qū)域則一般是討論邊界的光滑性問題,沒有專題討論過平面閉區(qū)域的方程問題.本文將凸多邊形閉區(qū)域看作點(diǎn)的軌跡,給出它的一種簡(jiǎn)潔的參數(shù)方程,并簡(jiǎn)要敘述其應(yīng)用.

凸多邊形是指這樣一類多邊形,在多邊形內(nèi)任選兩個(gè)點(diǎn),將這兩個(gè)點(diǎn)用線段連接后,此線段上所有的點(diǎn)都在多邊形內(nèi).我們稱,由凸多邊形及其內(nèi)部圍成的平面閉區(qū)域?yàn)橥苟噙呅伍]區(qū)域.在凸多邊形外部(不含凸多邊形)的平面區(qū)域稱為凸多邊形外區(qū)域.

文獻(xiàn)[1]利用三角形面積相等的方法,證明了點(diǎn)P在凸n邊形A1A2…An閉區(qū)域上的充要條件是

其中An+1=A1.求出了凸多邊形閉區(qū)域的一種形式上較為復(fù)雜的用行列式表示的參數(shù)方程下面我們給出一種簡(jiǎn)潔的參數(shù)方程.

定理1 設(shè)凸n邊形A1A2…An閉區(qū)域DA1…An的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Ai=Ai(xi,yi)(i=1,2,…,n),則DA1…An的參數(shù)方程為

注:當(dāng)n=3時(shí),凸3邊形A1A2A3閉區(qū)域即為三角形△A1A2A3,此時(shí)(1.1)式的表示唯一,但當(dāng)n≥4時(shí),(1.1)式的表示不唯一,詳細(xì)的理由可參見定理必要性的證明.

2 定理的證明

下述引理是顯然的:

引理1 設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2),則M(x,y)表示線段A1A2上任意一點(diǎn)的充分必要條件是存在λ∈[0,1],使即線段A1A2可看作動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡.

2.1 充分性

我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明定理的充分性.

證明 當(dāng)n=3時(shí),如圖1所示,若α3=1,則可得α1=α2=0,

圖1 凸3邊形閉區(qū)域

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是A3(x3,y3).

若α3≠1,令α1=λ(1-α3),則故

此時(shí)

可見點(diǎn)Q(x,y)在線段MA3上,也在△A1A2A3中.

其中確定的點(diǎn)(x,y)都在凸k邊形A1A2…Ak閉區(qū)域中.

當(dāng)n=k+1時(shí),需要研究由參數(shù)方程組

若αk+1=0,參數(shù)方程組變?yōu)?/p>

若αk+1=1,參數(shù)方程組變?yōu)?/p>

(x,y)表示頂點(diǎn)Ak+1.

當(dāng)0＜αk+1＜1時(shí),參數(shù)方程組可變?yōu)?/p>

所以根據(jù)假設(shè),由參數(shù)方程組

確定的點(diǎn)Q′(x′,y′)在凸k邊形A1A2…Ak閉區(qū)域中.根據(jù)引理1,由參數(shù)方程組(2.1)確定的點(diǎn)在線段Q′Ak+1上,所以也在凸邊形A1A2…Ak+1閉區(qū)域中.證畢.

2.2 必要性

證明 如果Q(x,y)是表示凸n邊形A1A2…An閉區(qū)域DA1…An中的任意一點(diǎn),若Q(x,y)位于DA1…An的某一條邊上時(shí),則由引理1知結(jié)論顯然.若Q(x,y)位于DA1…An的內(nèi)部時(shí),不妨連接A1Q,其延長(zhǎng)線必與某一邊AiAi+1相交,記交點(diǎn)為M(xM,yM).又由引理1知,存在常數(shù)λ∈(0,1)與β∈[0,1]使得

與

于是

其余xi,yi前的系數(shù)取0,即為所求.證畢.

3 應(yīng) 用

3.1 與凸多邊形閉區(qū)域有關(guān)的面積和最小值問題

解1 令α3=1-α1-α2,則α3≥0,α1+α2+α3=1,已知α1,α2≥0,根據(jù)定理1,由參數(shù)方程

其中α1,α2≥0,且α1+α2≤1圍成圖形是三角形△OAB,其中O(0,0),A(3,1),B(1,2),容易求得面

解2 由參數(shù)方程可反解,得

代入約束條件α1,α2≥0,且α1+α2≤1,得

注:比較方法1與2,可知方法1的解法更簡(jiǎn)潔.

解 根據(jù)定理1,知由題設(shè)所給的參數(shù)方程圍成的圖形是凸4邊形A1A2A3A4閉區(qū)DA1…A4,如圖2所示,其中A1(1,2),A2到原點(diǎn)O(0,0)的距離,最小值就是原點(diǎn)到直線A1A2:y=-3x+5的距離,

3.2 Jensen不等式的幾何解釋

Jensen不等式作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)著名不等式,在性質(zhì)和應(yīng)用方面都被廣泛的研究過[2-7].

例3 Jensen不等式是指:設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù),對(duì)于xi∈I(i=1,2,…,n),若

圖2 凸4邊形閉區(qū)域

其中λ∈[0,1].則對(duì)αi≥

我們熟知(3.1)式的幾何意義比較清晰,但(3.2)式又有怎樣的幾何意義呢?據(jù)我們所知,沒有人對(duì)此問題作出過回答.下面給出答案.

當(dāng)n=2時(shí),如圖3,若λ∈[0,1],則M點(diǎn)坐標(biāo)

這時(shí)我們看到,λf(x1)示P點(diǎn)縱坐標(biāo),由(3.1)式知,此時(shí)函數(shù)為凸函數(shù),由圖3,(3.1)式表明

一般地,記Ai(xi,yi),x1＜x2＜…＜xn,1≤i≤n,n≥3.則對(duì)任意的=1,記

由定理1知,

表示DA1…An中的一個(gè)點(diǎn),即圖4中的點(diǎn)Q,而f(α1x1+α2x2+…+αnxn)即P點(diǎn)縱坐標(biāo),由圖4知Jensen不等式的幾何意義即

圖3 Jensen不等式(n=2)

類似地,根據(jù)定理1,在圖5中,我們可把P點(diǎn)看作頂點(diǎn)在凸曲線上的凸n邊形中的點(diǎn),Q點(diǎn)看作頂點(diǎn)在同一凸曲線上的凸2m邊形中的點(diǎn),則可得如下結(jié)論.

推論1 設(shè)f為區(qū)間I上的凸函數(shù),若

則有

成立,而對(duì)f為區(qū)間I上的凹函數(shù),(3.3)式中的不等號(hào)反向.

特別地,設(shè)f為定義在實(shí)數(shù)集R上的凸函數(shù),有

(1)取n=2,m=1,若x1≤y1≤y2≤x2,且α1x1+α2x2=β1y1+β2y2,α1+α2=β1+β2,α1,α2,β1,β2＞0,則

這些不等式有著廣泛的應(yīng)用[8].

3.3 用參數(shù)方程表示凸閉區(qū)域

例4 用方程表示圖6中的OAB閉區(qū)域.

其中α1+α2+α3=1,且α1,α2,α3≥0.

一般地,如圖7所示,設(shè)A1,A2是凸閉區(qū)域邊界上的兩個(gè)定點(diǎn),P是動(dòng)點(diǎn),則凸閉區(qū)域A1A2P的參數(shù)方程為

其中α1+α2+α3=1,且α1,α2,α3≥0(參數(shù)方程中的英文字母表示原點(diǎn)到字母的向量).

4 幾個(gè)有待繼續(xù)研究的問題

4.1 凸多邊形外區(qū)域的參數(shù)方程問題

設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),由于三角形閉區(qū)域表示方法是唯一的,所以ΔA1A2A3外區(qū)域的參數(shù)方程為

其中α1+α2+α3=1,且α1,α2,α3中至少一個(gè)為負(fù)數(shù).

當(dāng)n≥4時(shí),由于凸n邊形A1A2…An閉區(qū)域參數(shù)方程表示的不唯一,可推知凸n邊形外區(qū)域參數(shù)方程表示也不唯一.如何確定滿足

表示的是凸n邊形的外區(qū)域,還有待進(jìn)一步研究.

4.2 空間幾何體的參數(shù)方程問題

作為本文定理的應(yīng)用,還可以把結(jié)論推廣到三維空間中.下文約定參數(shù)方程中的英文字母表示原點(diǎn)到字母的向量.

如對(duì)于底面是凸n邊形A1A2…An的棱錐體,見圖8,我們把棱錐體P-A1A2…An及其內(nèi)部空間稱為凸空間P-A1A2…An.

設(shè)Ai(xi,yi),1≤i≤n,n≥3,P(x0,y0),則由引理1及定理1可得凸空間P-A1A2…An的參數(shù)方程可表示為

圖8 凸n邊形棱錐體

留下的問題是:對(duì)于一般的空間幾何體,能否用參數(shù)方程表示它及其內(nèi)容空間呢?

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