含任意直線(xiàn)型裂紋的直角域中圓柱夾雜對(duì)SH波的散射

齊 輝，楊 杰，李宏亮，楊在林

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

含任意直線(xiàn)型裂紋的直角域中圓柱夾雜對(duì)SH波的散射

齊 輝，楊 杰，李宏亮，楊在林

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

采用Green函數(shù)及復(fù)變函數(shù)方法研究了SH波作用下直角域內(nèi)任意直線(xiàn)型裂紋對(duì)圓柱彈性?shī)A雜的影響。首先，取含有圓柱彈性?shī)A雜的直角域內(nèi)任意一點(diǎn)承受時(shí)間諧和的出平面線(xiàn)源荷載作用時(shí)的位移函數(shù)基本解作為適合Green函數(shù);其次，利用裂紋切割技術(shù)構(gòu)造裂紋，并寫(xiě)出圓柱夾雜與裂紋同時(shí)存在時(shí)的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng);最后，給出圓柱彈性?shī)A雜動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的算例和結(jié)果，并討論了裂紋的存在對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響。

直角域;圓柱夾雜;任意直線(xiàn)型裂紋;Green函數(shù);動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)

缺陷廣泛存在于天然介質(zhì)和工程材料中，同時(shí)，各種缺陷的存在必然會(huì)影響材料的宏觀(guān)力學(xué)行為，如地震現(xiàn)象、地震監(jiān)測(cè)、沖擊下材料和結(jié)構(gòu)的響應(yīng)等。在動(dòng)力荷載作用下，含有缺陷的各種材料和結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出某些特殊的性質(zhì)，例如缺陷處產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，從而導(dǎo)致材料的破壞。因此，為了滿(mǎn)足理論及工程上的需求，研究各種缺陷的動(dòng)力響應(yīng)等問(wèn)題具有十分重要的意義。由于彈性波的散射能夠很好的解釋材料受到?jīng)_擊荷載時(shí)波的傳播問(wèn)題，同時(shí)SH波作為比較簡(jiǎn)單的模型，被廣泛的應(yīng)用工程實(shí)際問(wèn)題中，而且起著越來(lái)越重要的地位［1～3］。然而，在已發(fā)表的諸多文章中，研究SH波作用下各種缺陷的響應(yīng)問(wèn)題多集中在全空間和半空間中［4～6］，只有少數(shù)人［7，8］對(duì)直角域中含缺陷的問(wèn)題進(jìn)行了研究。本文在文獻(xiàn)［9～11］的基礎(chǔ)上，利用Green函數(shù)及復(fù)變函數(shù)等方法研究了含任意直線(xiàn)型裂紋的直角域中圓柱彈性?shī)A雜對(duì)SH波的散射問(wèn)題，并討論了裂紋對(duì)圓柱夾雜的影響。

1 問(wèn)題的表述

圓柱彈性?shī)A雜對(duì)SH波的散射模型如圖1所示，在直角平面內(nèi)存在一條長(zhǎng)度為b的任意直線(xiàn)型裂紋。直角空間Ⅰ中介質(zhì)的密度和剪切波速分別為ρ1和c1，圓柱夾雜的密度和剪切波速分別為ρ2和c2。圓柱夾雜圓心到水平邊界和垂直界面的距離分別為h和d。簡(jiǎn)諧平面SH波以入射角α0入射到直角域。

圖1 含任意直線(xiàn)型裂紋及圓柱夾雜的直角域模型Fig.1 The model with an arbitrary beeline crack and a cylindrical inclusion in right-angle plane

2 Green函數(shù)

滿(mǎn)足控制方程(1)和邊界條件(3)的位移場(chǎng)基本解，有兩部分構(gòu)成:直角平面區(qū)域內(nèi)線(xiàn)源荷載產(chǎn)生的擾動(dòng)和圓柱形彈性?shī)A雜所激發(fā)的散射波。

對(duì)于線(xiàn)源荷載 δ(z－z0)在一個(gè)完整的直角域內(nèi)的擾動(dòng)，可將其視為入射波G(i)，在該問(wèn)題中由于直角平面區(qū)域自由表面的存在，出平面線(xiàn)源荷載的擾動(dòng)產(chǎn)生的彈性波將會(huì)在圓柱夾雜和直角平面區(qū)域自由表面上發(fā)生多次散射和反射，致使能滿(mǎn)足直角平面區(qū)域自由表面上應(yīng)力自由邊界條件的波場(chǎng)的解析解很難給出。為了克服這一難點(diǎn)，利用“鏡像法”，將直角區(qū)域?qū)ΨQ(chēng)于垂直邊界左延拓為半無(wú)限空間，如圖3所示，并引入復(fù)數(shù)坐標(biāo)系(z'，')，z'=z+2d，因此等效的入射波可以表述為:

圖2 出平面線(xiàn)源荷載作用的直角域模型Fig.2 The right-angle plane model impacted by a line source force

圖3 直角平面區(qū)域鏡像為半無(wú)限空間模型Fig.3 Transforming model from the right-angle plane to the half space

相應(yīng)的，由于水平表面的存在而產(chǎn)生的等效反射波場(chǎng)為:

由于圓柱形彈性?shī)A雜所激發(fā)的散射波將會(huì)在圓柱夾雜和直角平面區(qū)域自由表面上發(fā)生多次反射，故仍需采用鏡像疊加原理及坐標(biāo)移動(dòng)技術(shù)將其構(gòu)造為:

利用圓柱形彈性?shī)A雜邊界r=R位移和應(yīng)力連續(xù)性條件:

得到確定待定系數(shù)An，Bn的方程組，經(jīng)整理后方程組可以表述為:

為得到未知系數(shù) An，Bn，(n=0，±1，±2，…)，對(duì)方程組(16)通過(guò)有項(xiàng)截?cái)嗟玫接邢尬粗獢?shù)的方程組并求解。在本文算例中，對(duì)于上述無(wú)窮代數(shù)方程組中的每一個(gè)級(jí)數(shù)項(xiàng)分別選取7項(xiàng)即可很好滿(mǎn)足預(yù)先給定的計(jì)算精度(10－6)。

根據(jù)SH波散射的對(duì)稱(chēng)性及疊加原理，由出平面線(xiàn)源荷載的擾動(dòng)和由圓孔所激發(fā)的散射波組成的總波場(chǎng)能滿(mǎn)足直角平面區(qū)域邊界應(yīng)力自由條件.此時(shí)介質(zhì)內(nèi)的總波場(chǎng)，即求解問(wèn)題的Green函數(shù)為:

3 圓柱彈性?shī)A雜對(duì)SH波的散射

對(duì)于SH波的入射問(wèn)題，首先考慮直角平面區(qū)域內(nèi)只含有圓柱夾雜時(shí)的情況.其求解思路與前面構(gòu)造Green函數(shù)思路相同，將含圓孔的直角平面區(qū)域“鏡像”為一個(gè)半無(wú)限空間對(duì)SH波的入射問(wèn)題進(jìn)行求解。因此，等效的入射波，反射波在復(fù)平面上的表達(dá)式為可以寫(xiě)成:

式中，β0=π－α0，α0為入射角，W0為入射波幅值。

SH波作用下由圓柱夾雜產(chǎn)生的散射波場(chǎng)及駐波場(chǎng)位移和應(yīng)力表達(dá)式，與點(diǎn)源函數(shù)作用下圓柱夾雜產(chǎn)生的散射波場(chǎng)和駐波場(chǎng)的位移和應(yīng)力表達(dá)式相同。其待定系數(shù)，由圓柱彈性?shī)A雜邊界的連續(xù)性條件確定，其解的過(guò)程與求解Green函數(shù)系數(shù)相同。

為了研究SH波對(duì)圓柱彈性?shī)A雜的散射，首先，按裂紋“切割”技術(shù)構(gòu)造裂紋，具體做法是:利用求得的Green函數(shù)，在欲出現(xiàn)裂紋處區(qū)域加置相應(yīng)的大小相等、方向相反的平面荷載，使得此處應(yīng)力為零，從而構(gòu)造出裂紋。建立復(fù)平面此時(shí)圓柱夾雜與裂紋同時(shí)存在的直角平面區(qū)域內(nèi)的波場(chǎng)為:

4 動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)

在穩(wěn)態(tài)的入射SH波作用下，可以求出圓柱形彈性?shī)A雜周邊動(dòng)應(yīng)力分布，但求得動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)則是重要的任務(wù)之一。通常環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)可以寫(xiě)成:

5 算例與分析

本文以花崗巖中含有混凝土夾雜為例，給出了SH波入射直角平面區(qū)域圓柱彈性?shī)A雜時(shí)，其環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的計(jì)算結(jié)果。其中花崗巖與混凝土的剪切模量之比 μ1/μ2=2.9，相應(yīng)的波數(shù)之比為 k1/k2=0.667，夾雜位置的無(wú)量綱參數(shù) d/R=12.0，h/R=12.0，夾雜半徑 R=1.0;裂紋位置的無(wú)量綱參數(shù)為(a/R，l/R)，長(zhǎng)度為b/R，傾斜角度為 β;無(wú)量綱入射波數(shù)用k1R表示，入射角度用α0表示。

(1)為了盡可能與已知結(jié)果進(jìn)行比較，圖4給出μ2=0.0這一極端情況下，SH波垂直入射時(shí)，圓柱夾雜動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布情況，此時(shí)問(wèn)題退化為圓孔問(wèn)題，其結(jié)果與文獻(xiàn)［11］一致。

(2)圖5～圖6給出了裂紋處于不同方位時(shí)，SH波分別以入射角度45°和90°入射時(shí)圓柱夾雜動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布情況。由圖中可以看出，當(dāng)SH波入射方向與夾雜邊界共線(xiàn)裂紋方向一致時(shí)幾乎重合，此時(shí)裂紋的存在對(duì)的分布幾乎沒(méi)有影響，而當(dāng)SH波入射方向與裂紋方向垂直時(shí)，對(duì)值的影響最大。當(dāng)?shù)皖l入射時(shí)，圖形幾乎對(duì)稱(chēng)于入射角度方向。由此也說(shuō)明了入射角度對(duì)夾雜周邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布有一定的影響。

(3)圖7給出不同裂紋長(zhǎng)度且SH波垂直入射時(shí)圓柱夾雜動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布情況。當(dāng)b/R=0時(shí)，即介質(zhì)中不含裂紋情況時(shí)，圓柱夾雜動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)左右對(duì)稱(chēng)，而當(dāng)存在裂紋時(shí)的左右值不相等，且隨著裂紋長(zhǎng)度的增加，值增大。說(shuō)明裂紋的長(zhǎng)度也是影響值的因素。

(4)圖8給出SH波垂直入射時(shí)圓柱夾雜邊界點(diǎn)θ=0°處動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)隨(－l/R)的變化情況?？傮w來(lái)說(shuō)，當(dāng)裂紋與邊界點(diǎn)越近，DSCF值變化幅度越大。當(dāng)SH波低頻入射時(shí)最大值發(fā)生在( －l/R)=0處，最大值為5.72，比無(wú)裂紋狀態(tài)時(shí)的值提高了12%，且當(dāng)(－l/R)＞40時(shí)值幾乎與無(wú)裂紋狀態(tài)時(shí)的值重合，說(shuō)明此時(shí)裂紋對(duì)邊界點(diǎn)的影響幾乎可以忽略不計(jì)。而當(dāng)SH波以高頻率入射時(shí)，最大值提高了14%，且當(dāng)(－l/R)＞25時(shí)，裂紋對(duì)邊界點(diǎn)值的影響可以忽略。

6 結(jié)論

本文利用復(fù)變函數(shù)及Green函數(shù)方法研究了含任意直線(xiàn)型裂紋的直角域中圓柱夾雜對(duì)SH波的散射問(wèn)題，且與已有解答做了比較?？偨Y(jié)算例，我們可以了解裂紋對(duì)的影響不可以忽略，尤其當(dāng)裂紋距離夾雜較近時(shí)，夾雜邊界點(diǎn)的值比無(wú)裂紋狀態(tài)時(shí)的值提高了12% ～14%。當(dāng)SH波低頻入射且(－l/R)＞40時(shí)，裂紋對(duì)邊界點(diǎn)的影響才可以忽略不計(jì)，而當(dāng)SH波高頻入射且(－l/R)＞25時(shí)，裂紋對(duì)邊界點(diǎn)值的影響可以忽略。同時(shí)應(yīng)用本文方法可以計(jì)算其他介質(zhì)組合參數(shù)時(shí)的分布情況。

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Scattering of SH-wave by a cylindrical Inclusion in right-angle plane with arbitrary beeline crack

QI Hui，YANG Jie，LI Hong-liang，YANG Zai-lin

(College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China)

Green’s function and complex function methods were used here to investigate the problem of scattering of SH-wave by a cylindrical inclusion in right-angle plane with an arbitrary beeline crack.Firstly，an essential solution to displacement field of an elastic right-angle plane containing a cylindrical inclusion while its any point bore a out-of-plane harmonic line source load was taken as Green's function.Secondly，crack was made out with crack-division technique，and expressions of displacement and stress fields were written during both crack and cylindrical inclusion exsiting.Finally，some examples and results for dynamic stress concentration factor of the cylindrical elastic inclusion were given，and the influence of crack on dynamic stress concentration factor at the edge of cylindrical elastic inclusion was discussed.

right-angle plane;cylindrical inclusion;arbitrary beeline crack;green's function;dynamic stress concentration factor(DSCF)

O343.1;P315.3

A

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10972064)

2009－12－21 修改稿收到日期:2010－03－10

齊 輝 男，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生