張宗燧對(duì)約束系統(tǒng)量子化的貢獻(xiàn)

尹曉冬

(首都師范大學(xué) 物理系，北京 100048)

朱重遠(yuǎn)

(中國科學(xué)院 理論物理研究所，北京 100190)

在將經(jīng)典動(dòng)力學(xué)體系從拉格朗日形式導(dǎo)出哈密頓形式以進(jìn)行正則量子化時(shí)，常常由于開始的拉格朗日形式中的動(dòng)力學(xué)變量不都是獨(dú)立的(即存在著約束)，從而不能直接用通常的方法去實(shí)現(xiàn)自洽的量子化，這就是需要研究約束系統(tǒng)量子化方案的原因。實(shí)際上，約束系統(tǒng)的量子化是當(dāng)代理論物理在建立基本的動(dòng)力學(xué)時(shí)用到的最重要的關(guān)鍵工具之一。我們知道，從現(xiàn)象學(xué)角度，自然界存在著四種基本相互作用:強(qiáng)相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和引力相互作用。在現(xiàn)在已經(jīng)建立的正確地描寫了強(qiáng)作用、電磁作用和弱作用的標(biāo)準(zhǔn)模型中，描述強(qiáng)作用的量子色動(dòng)力學(xué)，描述電磁作用及弱作用的電弱統(tǒng)一理論(包括描述電磁作用的量子電動(dòng)力學(xué))，都涉及到約束系統(tǒng)的量子化。甚至于在至今尚未建立滿意的量子理論的引力相互作用的研究中，其主要的嘗試方案，如弦理論、阿什特卡(Abhay V．Ashtekar，1949—)的非微擾量子引力等也都使用了約束系統(tǒng)的量子化方法。所以建立約束系統(tǒng)的量子化方法，在物理學(xué)理論研究中，占據(jù)十分重要的地位。

目前理論物理界廣泛使用的約束系統(tǒng)的量子化方法，主要可以分為二類。一類是由狄拉克(Paul Adrie Maurice Dirac，1902—1984)于1950年開始的工作基礎(chǔ)上發(fā)展起來的正則量子化方案［1—3］，另一類是在由1967 年法捷耶夫(Ludwig．D．Faddeev，1934—)和波波夫(Victor．Nikolaevich．Popov)的工作開始的用路徑積分量子化方法發(fā)展起來的方案，后者對(duì)解決非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)論的量子化作出了重大貢獻(xiàn)［4］。本文打算探討的是，在這些方案建立之前，中國理論物理學(xué)家張宗燧①張宗燧(1915—1969)，中國理論物理學(xué)家。1934年畢業(yè)于清華大學(xué)物理系并留校攻讀研究生一年。1936—1938年在英國劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系跟隨著名理論物理學(xué)家福勒教授攻讀博士學(xué)位，1938年獲得哲學(xué)博士學(xué)位，其后去丹麥、瑞士、法國等地進(jìn)行科學(xué)研究。1940年回國任重慶中央大學(xué)物理系教授。1946年以英國文化協(xié)會(huì)高級(jí)研究員身份赴英國劍橋大學(xué)進(jìn)行科學(xué)研究。1947年赴美國普林斯頓高等研究院(Institute for Advanced Study in Princeton)、費(fèi)城卡內(nèi)基理工學(xué)院(Carnegie Institute of Technology)訪問。1948年回國，歷任中央大學(xué)、北京大學(xué)、北京師范大學(xué)教授及理論物理教研室主任，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所研究員及理論物理研究室主任，兼中國科技大學(xué)教授等職。1957年受聘為中國科學(xué)院數(shù)理化部學(xué)部委員(今中國科學(xué)院院士)。文革期間受迫害自殺。在1944—1946年期間完成的工作［5—7］，盡管所提的方案與上述二類不同，但已是一種自洽的行得通的方案。所以，張宗燧對(duì)約束系統(tǒng)的正則量子化方法做出了重要的貢獻(xiàn)。

1 張宗燧工作之前的約束系統(tǒng)量子化研究

1.1 問題的提出

實(shí)際上，在量子場(chǎng)論剛建立時(shí)，就遇到了約束系統(tǒng)的量子化方法問題。大家知道，人們首先認(rèn)識(shí)到的經(jīng)典場(chǎng)是麥克斯韋電磁場(chǎng)。要建立電磁場(chǎng)及電磁相互作用的微觀理論，就需要將其量子化。歷史上，最早成功地建立的量子場(chǎng)論就是1927年狄拉克給出的［8］量子電磁場(chǎng)場(chǎng)論。狄拉克的基本做法是將輻射場(chǎng)分解成簡諧振動(dòng)，并將電磁場(chǎng)的量子化歸結(jié)為這些基本振動(dòng)的量子化。由于這一方案中，電磁勢(shì)的橫場(chǎng)與縱場(chǎng)及標(biāo)量場(chǎng)的量子化處理處于不同的位置，所以理論并不明顯地協(xié)變。隨后，1929年海森堡(Werner Karl Heisenberg，1907—1976)和泡利(Wolfgang Pauli，1900—1958)建立了一般場(chǎng)論的正則量子化方式［9—10］。但是，當(dāng)用他們的方法去處理電磁場(chǎng)時(shí)，會(huì)立刻發(fā)現(xiàn)與電磁標(biāo)量勢(shì)共軛的正則動(dòng)量為零，也就是說，正則自由度不都是獨(dú)立的，它們存在著約束。如果直接使用普通的正則量子化方法，將立刻出現(xiàn)零算子的對(duì)易關(guān)系不為零的矛盾。顯然，在這種情況下，哈密頓函數(shù)及正則對(duì)易關(guān)系等都不可能按普通的方法直接使用，必須進(jìn)行處理。

1.2 羅森菲爾德和狄拉克的早期方案

最早提出的一些對(duì)電磁場(chǎng)進(jìn)行量子化的修正方案存在著明顯的令人不滿意之處。正如羅森菲爾德(Leon Rosenfeld，1904—1974)在泡利的指導(dǎo)下于1929年完成并于1930年發(fā)表的文章［11］中提到的:海森堡和泡利提出的第一種方法，是在拉格朗日函數(shù)中加入帶小參量ε相關(guān)的項(xiàng)，從而使得正則共軛動(dòng)量都不為零，最后再令ε趨于零，這一方案破壞了明顯的規(guī)范不變性;海森堡和泡利提出的另一種方案，是取標(biāo)量勢(shì)為某限定值去減少方程，此做法對(duì)四度矢量的不同分量沒有作同樣的處理，從而使量子理論的相對(duì)論不變性的證明變得很困難;費(fèi)米(Enrico Fermi，1901—1954)提出的方案，是在拉格朗日函數(shù)中附加新項(xiàng)，使得共軛動(dòng)量不為零，但為了使最終的運(yùn)動(dòng)方程與原來的系統(tǒng)的方程一致，又必須加上約束(［10］，175頁)其結(jié)果的形式也沒有明顯的規(guī)范不變性。

羅森菲爾德在文［11］中為解決此問題提出了的方案如下:

對(duì)于像電磁場(chǎng)這樣的有規(guī)范群對(duì)稱性的體系，用不定乘子λr與約束

去構(gòu)造哈密頓函數(shù)

于是，基本方程由用此哈密頓函數(shù)構(gòu)造的正則場(chǎng)方程及對(duì)易關(guān)系，加上約束方程組成。但是，由于這組方程中明顯包含著拉格朗日未定乘子λr，它們是未知的，完全可能是動(dòng)力學(xué)的。因此，對(duì)它不加處理，是無法實(shí)現(xiàn)量子化的。

狄拉克于1933年發(fā)表了《經(jīng)典力學(xué)中的齊次變量》一文［12］。在這篇文章中狄拉克從比電磁場(chǎng)更一般的角度提出了約束系統(tǒng)問題。他舉出了靜止質(zhì)量為零的自由粒子的相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)作為另一個(gè)例子。此文中他建議的用齊次坐標(biāo)寫出的正則形式的運(yùn)動(dòng)方程是

其中ρa(bǔ)，ρb等是拉格朗日不定乘子。實(shí)際上，由于這些不定乘子是未知的，所以此形式也不能直接用于量子化。

關(guān)于拉格朗日不定乘子需要進(jìn)行處理才能進(jìn)行量子化的問題，是張宗燧首先指出的，具體論述詳見下文。

2 張宗燧的貢獻(xiàn)

2.1 三篇關(guān)于約束系統(tǒng)量子化論文的發(fā)表情況

根據(jù)張宗燧發(fā)表的論文統(tǒng)計(jì)［13］可知，張?jiān)?945年到1947年期間發(fā)表的7篇文章中除1篇是關(guān)于合作現(xiàn)象外其余6篇是與粒子物理及量子場(chǎng)論相關(guān)的，其中有三篇［5—7］是關(guān)于約束系統(tǒng)量子化方面的，這三篇分別是:

(1)A note on the Hamiltonian theory of quantization(《哈密爾頓量子化理論的一個(gè)注記》)，Proc．Roy．Soc．of London，1945;

(2)A note on the Hamiltonian equations of motion(《哈密爾頓運(yùn)動(dòng)方程式的理論的一個(gè)注記》)，Proc．Camb．Phil．Soc，1946;

(3)A note on the Hamiltonian theory of quantization(II)(《哈密爾頓量子化理論的一個(gè)注記(II)》)，Proc．Camb．Phil．Soc，1947。

下文依次簡稱為第一、第二、第三篇論文。這些論文發(fā)表時(shí)直接注明了，第一篇收錄于1944年7月11日，第二篇收錄于1945年9月24日，第三篇收錄于1946年6月7日。第一及第二篇論文所署地址均為“Central University，Chungking”(重慶中央大學(xué))，第三篇所署地址為劍橋。由于張宗燧是1946年再次前往劍橋進(jìn)行學(xué)術(shù)訪問的，所以可以斷定張宗燧是在中央大學(xué)期間開始從事約束系統(tǒng)量子化方面研究的。1937年10月，由于日本侵華中央大學(xué)不得不從南京遷到重慶，張宗燧的這些研究，正是在抗日戰(zhàn)爭期間的重慶那十分艱苦的條件下開展的。這一點(diǎn)可以從馮端①馮端(1923—)，浙江紹興人，生于江蘇蘇州。固體物理學(xué)家。1946年7月畢業(yè)于中央大學(xué)理學(xué)院物理系并留校。1949年該校更名為南京大學(xué)后，歷任物理系副教授、教授及固體物理研究所所長，研究生院院長，1985年起任固體微結(jié)構(gòu)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任兼學(xué)術(shù)委員會(huì)主任。1980年當(dāng)選為中國科學(xué)院院士。的回憶中得到佐證。馮端是張宗燧在重慶中央大學(xué)的學(xué)生，1943年馮上大學(xué)二年級(jí)時(shí)所選的熱力學(xué)和理論物理課程就是由張宗燧講授的②據(jù)馮端回憶，當(dāng)時(shí)講授的理論物理內(nèi)容是經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)加相對(duì)論，參考Abraham＆Becker的電動(dòng)力學(xué)。1957年張宗燧出版的《電動(dòng)力學(xué)與狹義相對(duì)論》可能就是由當(dāng)年講課筆記擴(kuò)展而來的。。在《松林坡往事》一文中，馮提到了當(dāng)時(shí)上課的情景:

中大(中央大學(xué))校舍極差，教室、宿舍都是草頂平房，比同在沙坪壩的重慶大學(xué)和中央工業(yè)學(xué)校都差，更比不上抗戰(zhàn)前的南開中學(xué)。但是簡陋校舍中的學(xué)術(shù)空氣卻是濃郁的。

……

值得注意的是即使在抗戰(zhàn)的萬分艱苦階段，中央大學(xué)物理系的一些教授們還埋頭進(jìn)行科學(xué)研究，而且取得了一些難能可貴的成績。……在重慶時(shí)代，埋頭研究工作的還有張宗燧教授，他在劍橋大學(xué)師從R．H．Fowler教授，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)物理合作現(xiàn)象理論的工作，取得了不少成就。1940—1945年在中央大學(xué)執(zhí)教期間還在國際刊物上發(fā)表了三篇這方面研究工作的論文。但是值得注意的是，在這段時(shí)期他已將研究重心轉(zhuǎn)移到量子場(chǎng)論這一領(lǐng)域，也發(fā)表了由P．A．M．Dirac推薦的三篇文章。這成他后期工作的主要領(lǐng)域。連同前面的一些工作，表明他在重慶中央大學(xué)時(shí)期的研究碩果累累。［14］

值得提到的是，這三篇文章中，第一篇和第二篇發(fā)表時(shí)編輯部都注明了是由狄拉克推薦的(Communicated by P．A．M．Dirac)。張宗燧在第二篇和第三篇文章末尾都寫到:“最后，筆者要感謝狄拉克教授對(duì)本項(xiàng)工作的興趣?！薄案兄x他對(duì)此極大的興趣并與我的討論，這讓我受益匪淺。”③英文原文分別是:“In conclusion，the writer wishes to thank Prof．P．A．M．Dirac for his interest in the work．”及“In conclusion，the writer wishes to thank Prof．P．A．M．Dirac for his kind interest and discussion，for which the writer is greatly indebted．”表明張宗燧的工作與狄拉克有密切關(guān)系。

在這里順便指出，在學(xué)術(shù)上張宗燧與狄拉克一直到1950年都保持著比較緊密的聯(lián)系?？箲?zhàn)勝利后，張宗燧由中英文化協(xié)會(huì)李約瑟(Joseph Needham，1900—1995)安排，以高級(jí)研究員的身份于1946年1月去劍橋大學(xué)，也是由狄拉克安排在劍橋大學(xué)講授量子場(chǎng)論④“劍橋大學(xué)報(bào)告”(Cambridge University Reporter)中的學(xué)術(shù)管理委員會(huì)1947—1948年度報(bào)告(Annual Report of the Board of Research Studies)上面記錄:Mr Chang開設(shè)Quantum Mechanics of Fields(量子力學(xué)場(chǎng)論)，P470，英國劍橋大學(xué)圖書館。。1946年底狄拉克計(jì)劃去美國講學(xué)，張宗燧隨狄拉克一塊去了普林斯頓高等研究院，并在費(fèi)城卡內(nèi)基理工學(xué)院做訪問學(xué)者。即使張宗燧回國后，50年代張宗燧與狄拉克依舊保持學(xué)術(shù)上通訊聯(lián)系①1949年9月、1950年1月、1950年9月張宗燧與狄拉克的通信，英國劍橋大學(xué)丘吉爾檔案館。。

2.2 三篇論文的內(nèi)容分析

下面來分析研究張宗燧的三篇有關(guān)約束系統(tǒng)量子化的論文。從內(nèi)容上看，第三篇總結(jié)了前二篇的主要內(nèi)容，所以在這里主要對(duì)第三篇論文展開分析。

首先，在此文中，張宗燧直接指出:狄拉克1933年的文章雖然“證明了運(yùn)動(dòng)方程總可以納入正則形式，但是，最終的方程仍包含著未知拉格朗日乘子，因此不能用于過渡到量子理論”②英文原文是:“It was shown that the equations of motion can always be put in canonical forms．However，the final equations still contain quantities of the nature of unknown Lagrange multipliers，and are thus not suitable for passing to a quantum theory．”。這是有關(guān)拉格朗日乘子的十分明確的論斷，也是目前所看到的第一次提出這個(gè)問題的文獻(xiàn)。問題直接所指的雖是狄拉克的文章，但顯然，此前的用拉格朗日乘子的工作，也有同樣的問題。

其次，張的這篇文章討論了更一般的約束系統(tǒng)。事實(shí)上，他首先討論的是對(duì)外加約束條件(即不是由拉格朗日的正則共軛動(dòng)量為零所產(chǎn)生)的系統(tǒng)的處理。他指出，對(duì)于

如有f個(gè)外加附加條件

則有方程其中μξ是拉格朗日乘子，(6)式和(7)式是場(chǎng)方程。這里的記號(hào)中，xμ=(x，y，z，ict)，x=(x，y，z)，μ，υ，… 取值為(1，2，3，4)，r，s，… 取值為(1，2，3)，qα是獨(dú)立變量，qαμυ=(?/?xμ)(?/?xυ)…qα。為了導(dǎo)出正則形式，他的做法不是通過拉格朗日去定義動(dòng)量，而是設(shè)

其中 bα是 pα，qα，，x 的函數(shù)，它與一起由下列二式確定:

用此哈密頓函數(shù)寫下的正則方程為

此式展開是

容易證明(9)、(10)、(12)、(13)與(6)、(7)完全等價(jià)。這里，需再強(qiáng)調(diào)一下，原來的拉格朗日乘子已經(jīng)變?yōu)?ηξ，它與 bα都是由(9)、(10)式確定的 (pα，qα，qαr，x)的函數(shù)，不是未知量。所以，這里的方程中不再有未知量，用這些形式可以實(shí)現(xiàn)量子化。

在這里筆者還愿意順便指出，這篇論文還提出，對(duì)于(5)—(7)式的系統(tǒng)，可以考慮定義新的拉格朗日為

然后，將拉格朗日乘子μξ也看成是與其他坐標(biāo)一樣的動(dòng)力學(xué)變量，于是，μξ的共軛動(dòng)量為零，系統(tǒng)成為共軛動(dòng)量為零的約束類型。這一提議在當(dāng)時(shí)也是很有創(chuàng)意的。

對(duì)于只有正則動(dòng)量為零的約束的系統(tǒng)，這篇文章的處理方法如下:

動(dòng)量的定義如通常一樣，

設(shè)為零的動(dòng)量是Pl，相應(yīng)的坐標(biāo)為Ql。其他的無約束的動(dòng)量和坐標(biāo)記作 (p，q)。

于是，

確定。可以證明，由此導(dǎo)出的正則方程與(16)、(17)、(18)等價(jià)。對(duì)于(19)式完全獨(dú)立，從而可以用p，q，x定出Bl及bα的情形，只需令p，q取正則對(duì)易關(guān)系即可，Ql則可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程看作Bl。于是，可以用Bl與p，q的函數(shù)關(guān)系給出Ql與p，q的泊松括號(hào)，進(jìn)而完成量子化。

對(duì)于(19)式不完全獨(dú)立從而不能用p，q，x定出Bl及bα的情形，情況比較復(fù)雜。此文討論了其中一類情形，即其拉格朗日量在部分坐標(biāo)作如下變換時(shí)不變①注意張宗燧的這篇文章中將此變換稱為“規(guī)范變換”，但實(shí)際上并不是大家所稱的規(guī)范變換。它只是與規(guī)范變換有相似處的一類變換。的體系:

經(jīng)過分析，可以證明此時(shí)必有若干相應(yīng)的動(dòng)量為零。對(duì)于這些動(dòng)量和坐標(biāo)，在用了一些技巧后，又可證明其(18)式可以用某些動(dòng)量的函數(shù)為零的條件所代替:

然后，此文研究了(?gu(p)/?x4)，說明它可以用(16)、(17)式表示為 Ql，qα，pα的函數(shù)，并進(jìn)一步證明了，如果(?gu(p)/?x4)不恒為零，運(yùn)動(dòng)方程將不自洽，相應(yīng)的體系是非物理的，不必考慮。對(duì)于?gu(p)/?x4=0的情形，(18)或(21)式完全可以作為初始條件。于是，這類體系的哈密頓形式可以這樣來建立:

以上論述比較仔細(xì)地論述了張宗燧對(duì)約束系統(tǒng)量子化的處理方案。下面再進(jìn)一步做幾點(diǎn)評(píng)論:

(1)張宗燧明確指出:如果使用了未知拉格朗日乘子，就不能直接進(jìn)行量子化，因此，必須正確處理拉格朗日乘子，這是十分重要的。既然張的這些文章與狄拉克討論過，甚至由狄拉克推薦發(fā)表，由此可以推斷，他的這一意見是狄拉克認(rèn)可的。事實(shí)上，在后來的工作中［1—3］，狄拉克對(duì)拉格朗日乘子進(jìn)行了認(rèn)真的分析和處理。

(2)張宗燧的研究不僅限于電磁場(chǎng)。他既考慮了由拉格朗日量的具體形式?jīng)Q定的沒有共軛動(dòng)量產(chǎn)生的約束，也考慮了不是由拉格朗日導(dǎo)出的外加約束條件。原則上外加條件可以有多種類型，因此，他所考慮的系統(tǒng)是相當(dāng)廣泛的。

(3)形式上看，張宗燧的方案與后來的狄拉克的方案不相同。但是，分析和檢查張的方案，可以發(fā)現(xiàn)，張的方案的確解決了直接使用普通方法所存在的矛盾，是可行的。張的方案中用新的變量作為正則變量，滿足正則泊松括號(hào)，因此，老變量的泊松括號(hào)不再是正則關(guān)系從而不與約束條件矛盾。狄拉克的方案則是定義新的括號(hào)①現(xiàn)在稱為‘狄拉克括號(hào)’。使之不與約束條件矛盾。

(4)張的文章中，在將經(jīng)典的初始條件(18)式量子化時(shí)不作為算子方程，而是作為對(duì)于物理狀態(tài)的條件(22)式。但現(xiàn)在知道，(18)式量子化時(shí)對(duì)應(yīng)的條件可以比(22)式更弱，只要它在物理態(tài)間的矩陣元滿足條件即可。

在這一節(jié)結(jié)束的時(shí)候，需要再次強(qiáng)調(diào)，以上對(duì)張的方案做如此詳細(xì)的討論，是為了這節(jié)也是這篇文章的主旨，即說明張的方案確實(shí)對(duì)一大類約束系統(tǒng)是自洽可行的。

3結(jié)語

張宗燧是中國最早開展量子場(chǎng)論研究的理論物理學(xué)家之一［15］。本文論證了張宗燧于1944—1946年期間對(duì)約束系統(tǒng)量子化做出的重要貢獻(xiàn):首先指出了必須正確處理拉格朗日乘子，并提出了可行的量子化方案。

我們對(duì)在張宗燧的這些工作之前的對(duì)于約束系統(tǒng)量子化開展的研究進(jìn)行了文獻(xiàn)搜索，未發(fā)現(xiàn)比之更早的有關(guān)約束系統(tǒng)量子化研究中提出需要對(duì)拉格朗日乘子進(jìn)行處理的論述。同時(shí)，積極與國外學(xué)者交流，并向國內(nèi)外專家廣泛地征求信息，迄今為止，還未發(fā)現(xiàn)有比張宗燧的文章更早的自洽的約束系統(tǒng)量子化方案?；谝陨锨闆r，張宗燧極為可能是國際上第一個(gè)提出可行的解決了拉格朗日乘子問題的量子化方案的物理學(xué)家。

致 謝本文部分內(nèi)容在2009年12月于北京工業(yè)大學(xué)舉行的“理論物理前沿研討會(huì)”以及2010年6月于德國柏林舉行的“第三屆國際量子力學(xué)史會(huì)議”上報(bào)告過，作者對(duì)于這兩個(gè)會(huì)的參加者的興趣和熱烈討論及建議表示感謝。

作者感謝中國科學(xué)院理論物理所戴元本院士的多次仔細(xì)的討論，感謝美國衣阿華州大學(xué)楊炳麟教授，北京大學(xué)宋行長、馬伯強(qiáng)教授，中國科學(xué)院理論物理所李淼、劉寄星教授，北京工業(yè)大學(xué)黃永暢教授，南京大學(xué)王凡教授等的興趣和討論，感謝德國馬克斯·普朗克科學(xué)史研究所Donald Salisbury教授提供羅森菲爾德論文的原文復(fù)印本及英譯本。作者之一尹曉冬對(duì)在訪問馬克斯·普朗克研究所、英國劍橋大學(xué)、丹麥玻爾檔案館、英國李約瑟研究所期間得到的幫助與支持表示誠摯感謝。

1 Dirac P A M．Generalized Hamiltonian dynamics［J］．Canad．J．Math，1950，2:129—148．

2 Dirac P A M．The Hamiltonian Form of Field Dynamics［J］．Canad．J．Math，1951，3∶1—23．

3 Dirac P A M．Lectures on Quantum Mechanics［M］．New York:Yeshiva University，1964．

4 Fadeev L D，Popov V N．Feynman diagrams for the Yang-Mills field［J］．Phys．Lett，1967，25B∶29—30．

5 Chang T S．A note on the Hamiltonian theory of quantization［J］．Proc．Roy．Soc．of London，1945，A183∶316—328．6 Chang T S．A note on the Hamiltonian equations of motion［J］．Proc．Camb．Phil．Soc，1946，42∶132—138．

7 T．S．Chang．A note on the Hamiltonian theory of quantization(II)［J］．Proc．Camb．Phil．Soc，1947，43∶196—204．8 Dirac P A M．The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation ［J］．Proc．Roy．Soc，1927，A114∶243—265．

9 Heisenberg W，Pauli W．Zur Quantendynamik der Wellenfelder［J］．Zeits．Physik，1929，56∶1—61．

10 Heisenberg W，Pauli W．Zur Quantendynamik der Wellenfelder［J］．Zeits．Physik，1930，59∶168—190．

11 Rosenfeld L．Zur Quantelung der Wellenfelder［J］．Annalen der Physik，1930，5∶113—152．

12 Dirac P A M．Homogenous variables in classical dynamics［J］．Proc．Camb．Phil．Soc，1933，29∶389—400．

13 張宗燧論文選集·附錄:張宗燧論著目錄［C］．張宗燧先生誕生九十周年紀(jì)念會(huì)，2005．

14 馮端．松坡林往事［A］．施士元．施士元回憶錄及其他［M］．南京:南京大學(xué)出版社2007.179—182．

15 戴元本．中國量子場(chǎng)論研究的初期［J］．現(xiàn)代物理知識(shí)，2009，21∶64—65．