“一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題”不簡(jiǎn)單
——對(duì)《趣味物理學(xué)》中一個(gè)問題的分析

吳承瑤

(杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江 杭州 310023)

筆者執(zhí)教高中的時(shí)候，正在研究一個(gè)有關(guān)液體壓強(qiáng)的問題．忽然，來一位學(xué)生把別萊利曼的《趣味物理學(xué)(續(xù)編)》遞給我，讓我看文中第6.8節(jié)“一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題”．該學(xué)生懷疑它的正確性．追憶往事，撰成此文．

1 問題的提出

文獻(xiàn)[1]中原題：您的面前是盛滿30杯水的茶飲．把一個(gè)茶杯放在它的水龍頭下面，打開水龍頭，看著您手中的秒表，看用多長(zhǎng)時(shí)間就能把杯子注滿．假如所用的時(shí)間是30 s．請(qǐng)問：打開水龍頭，茶飲里的水要多少時(shí)間才能放盡？

別萊利曼給出結(jié)論：

(1)流完這個(gè)茶飲里的水的時(shí)間，并不是您意想的900 s，而是1 800 s．

大家知道，茶飲里的水將要流完時(shí)，水流出的速度十分緩慢．用高等數(shù)學(xué)來解這道題，得到，容器中的水全部流出所需的時(shí)間，比同樣體積的水在原來液面高度不變的條件下全部流出所需的時(shí)間增加一倍．

2 問題的探究和反思

別萊利曼是位享譽(yù)世界的科普作家、趣味科學(xué)的奠基人．憑感覺別萊利曼不會(huì)錯(cuò)，但看到學(xué)生這么有勇氣挑戰(zhàn)權(quán)威，筆者答應(yīng)好好思考，課后一起研究．

約好來到有兩塊大黑板的實(shí)驗(yàn)室，一同還來了其他好幾位同學(xué)，共同見證挑戰(zhàn)權(quán)威的成功與否．

大家熟知是托里拆利揭示的公式

其中v為出水速度、g為重力加速度、x為孔洞到水面的高度．

我們用高等數(shù)學(xué)來處理一個(gè)動(dòng)態(tài)過程(在筆者和同學(xué)的共同努力下作了如下板演)．

設(shè)從時(shí)刻t到t+Δt之間流出的水的體積為dV,

則

其中a為出水口截面面積.

若在這段時(shí)間內(nèi),水位下降dx,并設(shè)茶飲水面面積為S，則有關(guān)系式

dV=Sdx

由于水往外流，所以x減小，得

整理得

所以

根據(jù)初始條件t=0時(shí)x=H(H為初始高度)，得

則

(1)

由已知得

(2)

所以當(dāng)x=0時(shí)，總時(shí)間

水流盡的總時(shí)間為1 784.87 s，確實(shí)接近1 800 s，可以說首戰(zhàn)告捷．做到這里，學(xué)生高興之極．

另外一個(gè)同學(xué)看了上面的解答說，我確定別萊利曼的第2個(gè)結(jié)論也有問題．于是一同繼續(xù)討論．

所以接下去注滿一杯所需時(shí)間為

則這一杯注滿的時(shí)間和第一杯的時(shí)間比為

至此，大家長(zhǎng)嘆一聲，原來別萊利曼也有粗心的時(shí)候．大家驚訝無比，繼而沉浸在解題的快樂之中，挑戰(zhàn)成功．

還有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)惟獨(dú)別萊利曼的“容器中的水全部流出所需的時(shí)間，比同樣體積的水在原來液面高度不變的條件下全部流出所需的時(shí)間增加一倍”的論斷是正確的．

在原來的液面高度下，出水速度

則所需時(shí)間為

筆者意識(shí)到如果俄羅斯的茶飲制作很特別，也許就是別萊利曼的答案．查閱了相關(guān)資料，果然俄羅斯的茶炊的外形多樣，有球形、桶形、花瓶狀、小酒杯形、罐形,以及一些呈不規(guī)則形狀的茶炊；同學(xué)已經(jīng)證明了如果是桶形，別萊利曼的結(jié)論不成立．也許茶炊特殊的形狀，決定了出水的速度從而可以保證別萊利曼的結(jié)論正確．有同學(xué)建議由于制造的差別，我們把滿足別萊利曼的結(jié)論的茶飲姑且稱為“別萊利曼茶飲”，師生相視一笑．

學(xué)生這種具有不懼權(quán)威的挑戰(zhàn)精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，也是對(duì)教師和專業(yè)科普人員的鞭策，時(shí)刻提醒我們，在給學(xué)生精神食糧的同時(shí)更要注重營(yíng)養(yǎng)價(jià)值．

1 (俄)雅科夫·伊西達(dá)洛維奇·別萊利曼著.谷羽，趙秋長(zhǎng)譯.趣味物理學(xué)(續(xù)編).武漢:湖北少年兒童出版社,2009.102

2 http://baike.baidu.com/view/1055041.htm?func=retitle(俄羅斯茶飲文化)