平行四邊形內(nèi)點與邊界點的平均距離

李壽貴，韓匯芳，楊佩佩

（武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢，430065）

1 基本定義

設(shè)K為平面中的緊凸區(qū)域，G為直線，當G與K相交時，稱σ＝λ1（G∩intK）為弦長，其中λ1為一維測度。當G僅與凸域K的邊界?K相交時（包括G∩?K為線段的情形），約定σ＝0。

定義1 設(shè)s為φ方向的單位向量，用σM（φ）表示垂直于s的直線G被凸域K截出的弦長的最大值，即

σM（φ）稱為凸域K的最大弦長函數(shù)[1]。

定義2 設(shè)直線G的廣義法式坐標為（p，φ）。對任意給定的σ≥0，稱

為凸域K的廣義支持函數(shù)[1]。特別地，p（0，φ）就是普通支持函數(shù)p（φ）。

定義3 設(shè)K為有界凸域，σ為K被G截出的弦長?？紤]積分

式中：n為非負整數(shù)。In稱為凸集K的弦冪積分，而序列｛In｝（n＝0，1，2，…）稱為凸集K的弦冪積分序列[1－2]。

引理1 設(shè)平面凸域K的面積為F，周長為L，則

2 凸域弦長的定義及計算公式

在音樂廳、會場的設(shè)計中，經(jīng)常需要考慮聲源到達墻壁再反射到聽眾的距離問題。研究人員關(guān)心這些距離值的分布，尤其關(guān)心距離的平均值[3－4]，將其抽象為一個數(shù)學(xué)問題：設(shè)K為平面緊凸域，P為K中的一點，?為一個方向角，r為點P沿方向?到達邊界點的距離。

定義4 設(shè)K為平面緊凸域，則凸域K的內(nèi)點與邊界點的平均距離定義為

定義5 設(shè)K為平面緊凸域，則凸域的平均弦長定義為[3－4]

設(shè)點P∈K，?為方向角，則過點P沿方向?將確定一條有向直線G＊，G＊所在的普通直線記為G。G＊可以看成原坐標系中與x軸重合的軸o′x′經(jīng)過剛體運動u（a，b；?），將o′平移到P后的結(jié)果。設(shè)G＊的廣義法式坐標為（p，φ），自原點o引G＊的垂線交G＊于H點。對G＊上任意兩點A、B，約定用AB表示矢量AB在軸G＊上的投影值，即當AB與G＊同向時，AB＝｜AB｜；當AB與G＊反向時，AB＝－｜AB｜。設(shè)G＊與?K依G＊的方向交于兩點P1、P2。令t＝PH，r＝PP2，則

由平面運動群的運動密度公式[1]及t＝PP2＋P2H＝r＋P2H可知：

定理1

證明

3 平行四邊形內(nèi)點與邊界點的平均距離計算公式

以K表示兩鄰邊分別為a和b、夾角為θ的平行四邊形。不失一般性，可設(shè)，且a邊平行于x軸。利用對稱性，僅討論的情形。

平行四邊形的最大弦長函數(shù)為[1]

平行四邊形的廣義支持函數(shù)為[1]

根據(jù)式（10），平行四邊形域的平均弦長

而

將上式4項依次記為I21、I22、I23和I24。為方便起見，分別計算I21，I22＋I23，I24。將式（11）和式（12）分別代入I21，I22＋I23，I24中得：

將式（15）代入式（13）得到以下定理。

定理2 平行四邊形域的平均弦長為

這與文獻[5]得出的結(jié)論一致。

[1] 任德麟.積分幾何引論[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1988：3－8，71－73.

[2] Ren Delin.Topics in intergral geometry[M].Singapore：World Scientific，1994：70－78.

[3] Santalo L A.積分幾何與幾何概率[M].吳大任，譯.天津：南開大學(xué)出版社，1991：40－89.

[4] 程鵬，李壽貴，許金華.凸域內(nèi)兩點間的平均距離[J].數(shù)學(xué)雜志，2008，28（1）：57－60.

[5] 趙靜，李德宜，王現(xiàn)美.凸域內(nèi)弦的平均長度[J].數(shù)學(xué)雜志，2007，27（3）：291－294.