一個(gè)q-級(jí)數(shù)不等式

,

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

0 引言

q-級(jí)數(shù),也稱為基本的超幾何學(xué)級(jí)數(shù),它在許多領(lǐng)域有著非常重要的作用,比如:數(shù)論,群論,根系,李代數(shù)及物理學(xué)中的量子群表示等.由于其重要性,到目前為止建立了許多的q-級(jí)數(shù)恒等式[1-3].但是有些q-級(jí)數(shù)其和不易求得,故運(yùn)用其他方法來(lái)研究q-級(jí)數(shù)是有意義的.在文[4]中,Wang使用不等式技巧研究了一個(gè)q-級(jí)數(shù),獲得了關(guān)于q-級(jí)數(shù)的一個(gè)新的不等式,即

成立,其中

當(dāng)a=q時(shí),上述不等式成立(關(guān)于[gi(x,a);q]∞(i=1,2)定義見(jiàn)下節(jié)).

本文受此啟發(fā),獲得了關(guān)于q-級(jí)數(shù)的一個(gè)新的不等式,拓展了文[4]的結(jié)果.

1 主要引理

為得到本文的主要結(jié)果,在本節(jié)我們先給出下列定義,引理及其證明.

定義1 如果g(x)是[0,1]上的一個(gè)函數(shù),我們定義

[g(x);q]n=(1-g(q0))(1-g(q1))…(1-g(qn-1))

[g(x);q]∞=(1-g(q0))(1-g(q1))…(1-g(qn))…

若g(x)=ax,則有 [g(x);q]n=(1-a)(1-aq)…(1-aqn-1)=(a;q)n.

引理1[4]如果0

令

下證h1(t)<0.

由于

又令

g(t)=(1+2q)t2-3t+3(1-q)，

因?yàn)?/p>

則

Δ=9-12(1+2q)(1-q)=3[8q2-4q-1]<0,

故g(t)>0,從而h1(t)<0.再證h1(t)>-3.

由于 3t>(1+2q)t2,通過(guò)變形有

-(1-q)t2-3(1-q)+3t(1-qt)>-3(1-q),

則

下證h2(t)<0.由于

令

k(t)=[3q2+(1-q)2]t2-3(1+q2)t+3.

Δ=9(1+q2)2-12[3q2+(1-q)2]=9(1-q2)2-12(1-q)2<0,

再證h2(t)>-4,事實(shí)上

又顯然

[3q2+(1-q)2]t2-3(1+q2)t<0,

故有

[3q2+(1-q)2]t2-3(1+q2)t+3-4(1-q)2<0.

通過(guò)變形有

2 主要結(jié)果

(1)

對(duì)此不等式重復(fù)用n-1次,可得

R(a,z)≤[f1(x,a);q]nR(aqn,z),n=1,2,…

令n→∞,則qn→0.故由引理2我們有

R(a,z)≤[f1(x,a);q]∞R(0,z)

(2)

再利用引理1,可得

對(duì)上述不等式重復(fù)用n-1次,可得

R(a,z)≥[f2(x,a);q]nR(aqn,z),n=1,2,…

令n→∞,則由引理3,得

R(a,z)≥[f2(x,a);q]∞R(0,z)

(3)

結(jié)合(2),(3)有

[f2(x,a);q]∞R(0,z)≤R(a,z)≤[f1(x,a);q]∞R(0,z)

(4)

由引理2與引理3,易得 0<[f1(x,a);q]∞<1,0<[f2(x,a);q]∞<1.

令a=q,再次結(jié)合(3),(4)兩式得到下面不等式,

(5)

結(jié)合(4),(5)得

即

推論1 在定理1的條件下,我們有

其中

證明

(6)

(7)

于是由(1),(6)和(7)式得

[1]Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].Cambridge: Cambridge University Press,1952.

[2]Gasper G.Lecture Notes for an Introductory Minicourse onq-Series[M].New York: Spring-Verlag.1995.

[3]Gasper G,Rahman M.Basic Hypergeometric Series,Encyclopedia of Mathematics and Its Applications[M].Cambridge: Cambridge University Press,1990.

[4]Wang M J.An Inequality about q-series[J].J Inequal Pure and Appl Math,2006,7(4): 1-7.