底部鉆具規(guī)則渦動軌跡的內擺線描述方法

馬汝濤，紀友哲，賈 濤，韓 飛，朱英杰

(1.中國石油勘探開發(fā)研究院 研究生部，北京 100083;2.中國石油集團鉆井工程技術研究院 機械所，北京 100195)

底部鉆具規(guī)則渦動軌跡的內擺線描述方法

馬汝濤1，紀友哲2，賈 濤2，韓 飛2，朱英杰2

(1.中國石油勘探開發(fā)研究院 研究生部，北京 100083;2.中國石油集團鉆井工程技術研究院 機械所，北京 100195)

為了認識和控制鉆井過程中的鉆柱渦動，基于幾何學原理提出內擺線描述方法。該方法將渦動視為規(guī)則運動，從分析鉆柱外緣固定點的運動特性入手，求解底部鉆具(BHA)與井壁的摩擦接觸的運動軌跡方程，確定軌跡上各點的速度，分析鉆柱自轉和公轉速度對底部鉆具運動軌跡的影響。結果表明：底部鉆具的渦動可能造成鉆柱以遠高于其自轉速度的角速度沿著井壁快速公轉，導致井下工具過早失效;鉆柱規(guī)則渦動引起B(yǎng)HA外緣某點沿井壁的運動軌跡可用幾何方法進行描述，軌跡方程證實線速度是影響井下工具磨損的重要參數(shù);根據現(xiàn)場測試與室內試驗所獲得的鉆柱規(guī)則運動軌跡可以反推渦動方程，從而掌握BHA的運動狀態(tài);利用內擺線描述法所得結果與文獻試驗數(shù)據吻合較好。

底部鉆具;鉆柱渦動;內擺線;運動軌跡;過程監(jiān)測

底部鉆具(BHA)的渦動現(xiàn)象普遍存在于鉆井過程中［1-6］，可能引起鉆鋌偏磨、鉆頭磨蝕、隨鉆測量工具損壞等破壞性后果。為了認識BHA的渦動機制，須建立描述鉆柱運動的合理方法。常見的方法有3類：基于機械振動原理建立BHA動力學模型，分析橫向力對鉆柱振動的影響規(guī)律［1，7-10］;通過室內試驗測得特定結構BHA的運動參數(shù)，給出其軸線及外邊緣的運動軌跡［3，11-12］;在鉆井過程中采集鉆壓、轉速、鉤載等數(shù)據，根據運動學和動力學理論分析BHA渦動狀態(tài)［2，13-15］。第 1類方法難以體現(xiàn) BHA外緣與井壁的摩擦狀況;第2類方法過程復雜且成本較高;第3類方法不能直觀顯示BHA運動狀況。筆者將BHA渦動視為規(guī)則運動，引入內擺線方程直觀、簡潔地求解BHA外緣某一固定點的運動軌跡，通過分析軌跡特點了解鉆柱渦動狀況。

1 內擺線描述法基本方程

1.1 模型簡化

考慮BHA與井壁發(fā)生接觸的情況，如圖1所示。圖1中外圓為井壁，內圓為BHA截面的外壁。以井眼中心o為圓心建立平面直角坐標系oxy，ox軸與內圓交于點P，而P點同時也是內圓與外圓的接觸點。將點P固定于內圓上，分析P點在oxy坐標系中的運動即可實現(xiàn)對鉆鋌的橫向運動的描述。BHA的剖面可以選在任一位置，區(qū)別只是最終表達式相應的加入一項鉆柱偏心量。

圖1 BHA渦動示意圖Fig.1 Sketch map of BHA whirling

1.2 幾何內擺線方程

對于圖1所示的幾何模型，假定小圓沿大圓內側做無滑動滾動，那么由小圓上一固定點P所形成的軌跡就稱為內擺線，其參數(shù)方程為

式中，R為外圓半徑，m;r為內圓半徑，m;θ為大圓中心o與小圓中心o'的連線沿逆時針方向擺動時與ox軸之間的夾角，rad。

若令R/r=k，則當k為整數(shù)時內擺線為封閉曲線，且曲線帶有k個尖角;若k為有理數(shù)，令k=m/n為其最簡形式，則內擺線具有m個尖角。

1.3 BHA渦動軌跡方程

BHA旋轉過程中可能發(fā)生正向渦動(順時針公轉)或負向渦動(逆時針公轉)，現(xiàn)以負向渦動為例求解固定點P的軌跡方程(圖1)。為保證方程的合理性，假設：井壁為剛性，與BHA相互作用后不發(fā)生變形;井壁與BHA接觸類型為點接觸;BHA與井壁相對運動過程中始終保持相互接觸。固定點P的參數(shù)方程為

式中，Ω為公轉角速度，rad/s;ω為鉆柱自轉角速度，rad/s，自鉆頭上部向下看為順時針方向，本文中取逆時針方向為正向，故ω前添加了負號;x和y分別為點P的橫坐標和縱坐標。

對比分析方程(1)和方程(2)發(fā)現(xiàn)，如果令ω/Ω=R/r－1，則方程(2)即為標準內擺線方程。實際上，這種情況相當于鉆鋌沿井眼內壁做無滑動滾動，稱為“負向純滾動”。除去這種特殊情況，渦動都將伴隨鉆柱與井筒的相對滑動并磨損鉆具。

若將ω和Ω作為變量處理，并考慮兩者作用時間不一致，可引入參數(shù)t1和t2將方程(2)改寫為

其中Rref=R－r－h(huán)(t)，h(t)是考慮到BHA可能脫離井壁的情況而引入的函數(shù)，其含義為BHA截面外緣到井壁的最短距離。實際應用中，可在鉆鋌的適當位置裝入加速度計和位移計，測得BHA旋轉和位移參數(shù)，代入方程(3)，即能描繪出合理的BHA運動軌跡圖。

2 典型軌跡曲線

方程(2)是內擺線描述法的理論依據。根據方程特點可以判斷當ω/Ω為某些特殊值時，P點軌跡應表現(xiàn)出與內擺線相似的性質。圖2為R=120.65 mm，r=88.9 mm，ω=－12.56 rad/s時Ω取不同值對應的BHA外緣渦動軌跡。圖2(a)中BHA只是圍繞自身軸線旋轉，旋轉同時與井壁的一側發(fā)生接觸，此時的軌跡就是BHA的外緣輪廓。

圖2(b)為Ω=ω時P點的運動軌跡，這種運動稱為“正向同步渦動”，其特點是P點始終與井壁保持接觸，沿井壁劃出完整的圓形曲線。運動過程中，鉆鋌上除P點之外其他各點均未接觸井壁。

圖2(c)為Ω=ω/(R/r－1)=58.61 rad/s時P點的運動軌跡，此時Ω是ω的數(shù)倍，即鉆柱以大大高于其自轉速度的角速度沿著井壁快速公轉。Johnson［11］通過試驗認為，PDC鉆頭出現(xiàn)負向純滾動的幾率比正向渦動高許多;章?lián)P烈［3］、Kesaven［5］等也在模擬試驗中得出類似結論，說明這種運動狀態(tài)較為常見。圖2(c)的軌跡為標準內擺線，容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在每個尖角處不可導，其物理意義表示尖角處P點線速度為0，而尖角之外的曲線上速度不為0，即在完成一條完整的內擺線時，BHA截面各點速度已經完成了多次周期性變化。BHA內應力的周期性變化勢必對井下工具造成損傷。

圖2 BHA外緣渦動軌跡Fig.2 Trajectories of BHA whirling

實際上，如果BHA發(fā)生了負向純滾動，則不僅P點，其他所有與井壁接觸的點的速度都可用式(4)計算。Shyu［16］也得到了與方程(5)相同的結果并將該速度作為關鍵參數(shù)分析了鉆鋌渦動對其磨損程度的影響。

其中

由ζ表達式可以發(fā)現(xiàn)，v為周期函數(shù)，其周期

3 內擺線描述方法的應用

Johnson［11］提出了一種提高PDC鉆頭橫向穩(wěn)定性的設計方法，為檢驗該方法的可靠性試制了多種專用鉆頭并進行室內試驗。其中一種鉆頭用于校驗渦動對鉆進的影響，試驗結果給出了一種典型的渦動軌跡(圖3)。Johnson指出發(fā)生負向純滾動時鉆頭切削齒外緣將生成瓣狀切削痕跡，且瓣狀曲線出現(xiàn)頻率很高，但并未說明曲線的成因。

由圖3可以看出，鉆頭滾動軌跡主要有如下特征：單一封閉曲線，自身沒有交叉;具有15個波瓣;波瓣之間光滑連接。根據內擺線描述法可以作如下推理：曲線處于穩(wěn)定狀態(tài)，則公轉與自轉角速度之比Ω/ω為整數(shù);波瓣數(shù)量說明井眼半徑與鉆頭外徑之比可以表示為R/r=15/n，其中n為與15互質的整數(shù);波瓣中未出現(xiàn)尖角，嚴格來說并非達到無滑動的滾動效果，但考慮到實際試驗條件對軌跡的影響，可以認為已經形成標準的內擺線。

圖3 典型的鉆頭負向純滾動軌跡(由Jonhson原圖修改)Fig.3 Typical locus of bit whirling(after Jonhson)

不妨驗證一下給出的推理，令ω=－12.56 rad/s，則 Ω =rω/(R －r)=175.84 rad/s，而 Ω/ω =14 為整數(shù)，合乎推理。按上述參數(shù)繪制軌跡如圖4所示，與圖3有很大的相似性。

圖4 推理得到標準內擺線Fig.4 Deduced hypocycloid curve

4 結論

(1)底部鉆具的渦動可能造成鉆柱以遠高于其自轉速度的角速度沿井壁快速公轉，導致井下工具過早失效。

(2)鉆柱規(guī)則渦動引起B(yǎng)HA外緣某點沿井壁的運動軌跡可以用幾何方法進行描述，線速度是影響井下工具磨損的重要參數(shù)。

(3)根據現(xiàn)場測試與室內試驗所獲得的鉆柱規(guī)則運動軌跡可以反推該點的渦動方程，從而掌握BHA的運動狀態(tài)。

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Hypocycloid method for describing regular whirling of bottom hole assembly

MA Ru-tao1，JI You-zhe2，JIA Tao2，HAN Fei2，ZHU Ying-jie2
(1.Post Graduate School of Research Institute of Petroleum Exploration ＆ Development，PetroChina，Beijing 100083，China;2.Department of Drilling Machinery of Drilling Research Institute，CNPC，Beijing 100195，China)

On the basis of geometry，a hypocycloid method was proposed to identify and control drillstring whirling.Treating the whirling as a regular pattern，this method was used to describe motion characteristics of a fixed point on drillstring circumference，to solve equations representing bottom hole assembly(BHA)motion trajectories，to define velocities of each point on the trajectory，and to analyze the impacts of rotation and revolution speeds on BHA whirling.The results show that whirling might cause drillstring rolling around borehole wall with a revolution speed much higher than rotating，inducing downhole tools premature failures.The regular motion patterns of a fixed point on BHA circumference can be expressed by geometry measures，and the trajectory equation indicates that the linear velocity plays an important role in tool wear.The whirling equations representing BHA motion can be worked out from inversions of field and laboratory tests and the results properly match documented tests.

bottom hole assembly;drillstring whirling;hypocycloid;motion trajectories;process monitoring

TE 243

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.03.015

1673-5005(2011)03-0076-03

2010－08－30

國家“863”高技術研究發(fā)展計劃項目(2006AA06A107)

馬汝濤(1982－)，男(漢族)，山東青島人，博士研究生，從事套管鉆井工作機制研究和井下工具研發(fā)工作。

(編輯 李志芬)