《高等代數(shù)》實驗課的探索與實踐

姚 艷

(黑河學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，黑龍江 黑河 164300)

《高等代數(shù)》是數(shù)學(xué)學(xué)科的一門傳統(tǒng)課程。在當(dāng)今世界的數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)科趨于統(tǒng)一性和數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的廣泛應(yīng)用性的今天，《高等代數(shù)》以其追求內(nèi)容結(jié)構(gòu)的清晰刻畫和作為數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的主干基礎(chǔ)課程。它是數(shù)學(xué)在其他學(xué)科應(yīng)用的必需基礎(chǔ)課程，又是數(shù)學(xué)修養(yǎng)的核心課程。隨著現(xiàn)代計算機(jī)科學(xué)的逐步普及，人們對計算機(jī)的依賴程度越來越高。近年來發(fā)展起來的MATLAB軟件包，它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。MATLAB可以進(jìn)行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法等。使抽象的代數(shù)問題在某種意義上變成看得見的富于直觀現(xiàn)象，更加啟迪人們?nèi)绾巍坝脭?shù)學(xué)”[1]。

1 《高等代數(shù)》開設(shè)實驗課的可行性及必要性

首先，在《高等代數(shù)》課程中開設(shè)實驗課，可以培養(yǎng)學(xué)生參與科學(xué)研究的良好作風(fēng)。實驗課上，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過操作計算機(jī)，驗證、演示高等代數(shù)的基本概念和基本理論，從而獲取新知識，不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，它強調(diào)以學(xué)生動手為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。在實驗中，由于計算機(jī)的引入和MATLAB軟件包的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)的思想與方法注入了更多、更廣泛的內(nèi)容，使學(xué)生擺脫了繁重的乏味的數(shù)學(xué)演算和數(shù)值計算，促進(jìn)了數(shù)學(xué)同其他學(xué)科之間的結(jié)合，從而使學(xué)生有時間去做更多的創(chuàng)造性工作。其次，利用計算機(jī)的快速計算功能，可以使學(xué)生在實驗課上探索一些比較復(fù)雜的問題，加深對高等代數(shù)基本概念的理解，增強學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的興趣和信心。例如，在求行列式值時，因為階數(shù)比較高，計算量很大，教師講得比較累，學(xué)生聽著也沒興趣。但使用計算機(jī)后，可以把這類問題讓學(xué)生自己做，結(jié)果就會很容易得出。到了期末，每個學(xué)生都有不同程度的提高，不僅學(xué)習(xí)了高等代數(shù)的知識，而且也加強了計算機(jī)的應(yīng)用能力。

2 《高等代數(shù)》實驗課內(nèi)容的設(shè)計

實驗的目的是提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的積極性，提高學(xué)生對高等代數(shù)的應(yīng)用意識并培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和計算機(jī)技術(shù)去認(rèn)識問題和解決實際問題的能力。這就要求實驗的建立應(yīng)該是提法簡單，立意新穎，既要區(qū)別于高等代數(shù)習(xí)題，又要區(qū)別于計算機(jī)語言的練習(xí)，要有利于“驗證”和“探索”。所謂驗證，是通過計算機(jī)驗證已有的定理或已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，探索是指利用計算機(jī)完成人工所不可能完成的巨大計算量的同時，發(fā)現(xiàn)以往單純靠邏輯推理難以發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。下面舉兩個具體實例。

實驗一：求行列式的值

(1)實驗?zāi)康模毫私釳ATLAB中矩陣的表示和MATLAB中行列式的概念及基本性質(zhì)，學(xué)習(xí)、掌握MATLAB軟件有關(guān)的命令。

(2)原理與方法：在MATLAB中借助函數(shù)det可以求出行列式的值，其格式為det(D),其中D為n階行列式。

(3)實驗內(nèi)容：

例1，計算行列式

相應(yīng)的matlab代碼及運算結(jié)果如下：

>> clear

>> syms a b c d %定義符號變量

>> A=[a,b,c,d;a a+b a+b+c a+b+c+d;a 2*a+b 3*a+2*b+c 4*a+3*b+2*c+d;a 3*a+b 6*a+3*b+c 10*a+6*b+3*c+d] %輸出符號矩陣

A=

[a, b, c, d]

[a,a+b,a+b+c,a+b+c+d]

[a,2*a+b,3*a+2*b+c,4*a+3*b+2*c+d]

[a,3*a+b,6*a+3*b+c,10*a+6*b+3*c+d]

>>D= det(A) %計算A的行列式

D=

a^4

實驗二：線性方程組的求解

(1)實驗?zāi)康模毫私饩€性方程組的基本概念，掌握線性方程組求解的方法，會用MATLAB軟件相關(guān)的命令求線性方程組的解。

(2)原理與方法：求線性方程組所用的MATLAB命令，計算方陣A的行列式det(A)，增廣矩陣：[A，b]，b是向量，適用于任意階的矩陣，矩陣的秩：rank(A)，非齊次線性方程組的特解：x0=A或pinv(A)*b

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：null(A)，化矩陣為行階梯形：rref(A)[2]

(3)實驗內(nèi)容

(1)有唯一解，(2)無解，(3)有無窮多解？

相應(yīng)的MATLAB代碼及運算結(jié)果如下：

>> clear

>> syms y;

>> A=[y 1 1;1 y 1;1 1 y] %定義符號矩陣

A =

[y, 1, 1]

[1, y, 1]

[1, 1, y]

>> b=[1;y;y^2]

b =

[1]

[y]

[y^2]

>> det(A)

ans =

y^3-3*y+2

>> solve(det(A)) %解出行列式值為零時y的取值

ans =

[-2]

[1]

[1]

>>%下面求y取不同值時，方程組解的情況：

>>%(1)當(dāng)y不等于-2且y不等于1時，方程組有唯一解，求解為：

>> x=A %左除法

x =

[-(y+1)/(y+2)]

[1/(y+2)]

[(1+y^2+2*y)/(y+2)]

>>%(2)當(dāng)y=-2時：

>> syms y;

>> y=-2;

>> A=[y 1 1;1 y 1;1 1 y]

A =

-2 1 1

1 -2 1

1 1 -2

>> b=[1;y;y^2]

b =

1

-2

4

>> rank(A)

ans =

2

>> rank([A,b])

ans =

3

>> %系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩,故方程組無解。

>> %當(dāng)y=1時：

>> y=1;

>> A=[y 1 1;1 y 1;1 1 y]

A =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

>> b=[1;y;y^2]

b =

1

1

1

>> rank(A)

ans =

1

>> rank([A,b])

ans =

1

>> %系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,故方程組有無窮多解。

>> rref([A,b]) %化行最簡形。

ans =

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

>> %取x2,x3作自由變量,則方程組的通解為:x1=1-x2-x3.

>>或者通過求特解及導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系得出通解：

>> y=1;

>> A=[y 1 1;1 y 1;1 1 y]

A =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

>> b=[1;y;y^2]

b =

1

1

1

>> x0=pinv(A)*b %求特解

x0 =

0.3333

0.3333

0.3333

>> x1=null(A)

x1 =

0.8165 0

-0.4082 -0.7071

-0.4082 0.7071

>> % 方程組的通解為：

>>%(x1,x2,x3,x4)=(0.3333,0.3333,0.3333)+c1(0.8165,-0.4082,-0.4082)+c2(0,-0.7071,0.7071)，

>> %c1,c2為任意常數(shù)。

3 《高等代數(shù)》實驗課在實踐中逐步完善

《高等代數(shù)》開設(shè)實驗課內(nèi)容應(yīng)包括基礎(chǔ)部分和綜合部分。在基礎(chǔ)實驗部分，要圍繞高等代數(shù)的基本內(nèi)容，讓學(xué)生充分利用計算機(jī)及軟件的數(shù)值功能、符號功能和圖形展示基本概念與結(jié)論，去體驗如何發(fā)現(xiàn)、總結(jié)和應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律。綜合實驗是讓學(xué)生運用已掌握的高等代數(shù)的知識，能獨立地、創(chuàng)造性地去解決一些實際問題。將實際問題運用數(shù)學(xué)的方法，建立模型，也就是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模強調(diào)問題的實用性而不強調(diào)普遍意義，而高等代數(shù)中的實驗課可以從理論問題出發(fā)，也可以由實際問題出發(fā)，讓學(xué)生以解決問題為線索總結(jié)規(guī)律。實驗課的開設(shè)可以作為數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，使學(xué)生可以更快地掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法和技能[3]。

總之，在《高等代數(shù)》課程中開設(shè)實驗課，重要的是從問題出發(fā)，讓學(xué)生自己做，自己觀察結(jié)果。激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，從而發(fā)明和設(shè)計新的實驗，更希望他們用MATLAB軟件去計算和解決專業(yè)課學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的復(fù)雜計算問題。

[1]陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：高等教育出版社，斯普林格出版社，2001.

[2]宋世德，郭滿才.數(shù)學(xué)實驗[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]數(shù)學(xué)實驗課程的教學(xué)與數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2002，(1)：34～37.