一節(jié)別開生面的解題探究課

313000 浙江省湖州新世紀(jì)外國語學(xué)校蓮花莊校區(qū) 黃加衛(wèi)

一節(jié)別開生面的解題探究課

313000 浙江省湖州新世紀(jì)外國語學(xué)校蓮花莊校區(qū) 黃加衛(wèi)

眾所周知，解題教學(xué)是高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，解題教學(xué)質(zhì)量的高低直接決定總復(fù)習(xí)教學(xué)的效果．如何提高解題教學(xué)的質(zhì)量呢?而不久前筆者的一節(jié)解題探究課一方面通過心理學(xué)相關(guān)知識的輔助，另一方面在呈現(xiàn)方式上進(jìn)行了新的嘗試，取得了一定的收獲．下文是這節(jié)課堂教學(xué)的實錄及若干反思，不當(dāng)之處敬請指正．

1 一節(jié)利用心理學(xué)圖形進(jìn)行解題情境創(chuàng)設(shè)的探究課

師:眾所周知，數(shù)學(xué)思維的特點是它的抽象性，抽象的概念通常是以圖象的形式儲存和呈現(xiàn)的.因此數(shù)學(xué)思維活動在大多數(shù)場合都以圖象的組合和變換的方式來實現(xiàn)，對圖象的恰當(dāng)應(yīng)用必然有助于數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的發(fā)生．那么大家看過圖1這幅圖形嗎?自然界存在這樣的圖形嗎?

生:看到過，麥比烏斯圈!我在自然界沒有看到過這樣的圖形，但是確實可以做出這樣的圖形的!

師:很好，麥比烏斯圈是一種單側(cè)、不可定向的曲面．當(dāng)然也存在著這樣的圖形．同時它也是拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問題之一．麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑、藝術(shù)、工業(yè)生產(chǎn)中．那么在自然界大家有沒有見過如圖2-5這樣的圖形呢?

圖1

圖2 圖3

圖4 圖5

學(xué)生看見圖形之后非常興奮，于是就熱烈地討論起來．不一會兒就發(fā)現(xiàn)這幾個圖形均是在自然界和實際生活中不可能存在的．

師:我們知道，心理學(xué)上的一些經(jīng)典圖象常具有強(qiáng)烈的說明及暗喻作用．通過大家討論的結(jié)果可以表明:這些圖形只能在圖畫中存在著，在實際生活中是不可能有的，這種圖形在心理學(xué)上稱為“不可能圖形”．事實上，大家有沒有發(fā)現(xiàn)這些圖形的確也給人一種十分“漂亮、完美”之感?

大家紛紛點頭表示贊同．

師:這種形似完美但實則荒謬的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)解題中也會同樣出現(xiàn)．下面請大家花十五到二十分鐘研究一下幻燈片上面的有關(guān)數(shù)列內(nèi)容的問題組以及一些同學(xué)給出的參考答案，然后發(fā)表一下自己的觀點．

圖6

師:棒極了，切中要害!顯然，在利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列的單調(diào)性問題時，所設(shè)置的輔助函數(shù)必須是可導(dǎo)的，而幻燈片上給出的解法明顯違背了這一條．所以在利用各知識之間的相互聯(lián)系解決問題時應(yīng)注意它們自身的特殊性．那么問題(3)的解法如何呢?能否從剛才的討論中得到某些有價值的啟示呢?

生6:這道問題的解法肯定是錯誤的，因為我算了一下，好象a12=180，比a3大多了!但是上面的解法好象也是我們求最值問題中的一種常見解法，真是奇怪．難道也像是第(2)道問題一樣，方法推導(dǎo)出了問題?

老師觀察到學(xué)生都覺得有些疑惑，就讓大家分小組進(jìn)行討論．過了一會兒，有一個小組的同學(xué)要求發(fā)言．

生7:我們小組覺得這個錯誤不能歸結(jié)于“函數(shù)”身上，否則也就太“竇娥冤”了!實際上，我們認(rèn)為還可以利用函數(shù)的知識加以分析，即若存在正整數(shù)k滿足:…≤ak-1≤ak≥ak+1≥…，這只能說明:與函數(shù)的性質(zhì)類似，ak不小于它鄰近的項，只能是一個極大項，而不一定是整個定義域上的最大項．

這時學(xué)生們?nèi)珲囗敚D時醒悟過來，并對這個小組給予了熱烈的掌聲．

師:漂亮!那么我們趁熱打鐵，用什么方法可以解決這一問題呢?

于是就出現(xiàn)了不同意見，如“既然與函數(shù)進(jìn)行類比，那么可以借鑒函數(shù)的的單調(diào)性定義進(jìn)行求解”;“也可以利用導(dǎo)數(shù)工具去進(jìn)行求解!”;“與函數(shù)的極值問題相比較，可以先求出數(shù)列所有的極大項，然后求出a1和另一個端點項a12，最后比較a1，a12與所有的極大項，最大的一項即所求的最大項!”然后師生便用以上三種方法對此題進(jìn)行了求解，并進(jìn)行了相應(yīng)地比較，優(yōu)化了學(xué)生們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

然后對最后一個問題的發(fā)言、討論和研究越發(fā)熱烈．最后大家統(tǒng)一了看法，即:

并且學(xué)生們還給出了解決問題的正確方法．

師:我們在學(xué)習(xí)上出現(xiàn)錯誤，有時是因認(rèn)識偏差、有時是因思維出現(xiàn)障礙、有時是因不良習(xí)慣(如粗心)等引起的，而大家在此時會表現(xiàn)出困惑或無所適從．這時要利用各種角度去審視問題，不能被問題的表面現(xiàn)象所迷惑，即要揭開種種“不可能圖形”的虛假外貌，加強(qiáng)對問題的批判性，從而得到總結(jié)提高．

隨后老師布置了作業(yè)，完成了這節(jié)別開生面的解題探究課．

2 對這節(jié)解題探究教學(xué)案例的若干分析

首先，新課標(biāo)指出:“教材中素材的選取，首先要有助于反映相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，充分考慮學(xué)生的心理特征和認(rèn)知水平．”本節(jié)課利用學(xué)生對于圖象特征的吸引力以及敏感性，抓住“不可能圖形”外表新奇、實質(zhì)謬誤的特點進(jìn)行“意義影射”，為本節(jié)課的教學(xué)奠定了知識與情感基礎(chǔ)，同時增加了學(xué)生對后面內(nèi)容的探求欲望．

其次，桑代克試誤學(xué)習(xí)理論指出:試誤是人類認(rèn)識世界的主要方法之一，沒有大量錯誤作臺階就不能攀上正確結(jié)果的寶座．所以在教學(xué)中對于學(xué)生的糾錯顯得尤為重要．事實上也是這樣，讓學(xué)生弄明錯因，使其自覺地糾正錯誤，這幾乎是每個數(shù)學(xué)老師的共同愿望．但教與學(xué)的時間畢竟是有限的，我們不可能有過多的精力去指導(dǎo)學(xué)生辨錯、糾錯;另一方面，“提倡矯正性反饋也有可能會產(chǎn)生負(fù)作用，即會使學(xué)生一直依賴于教師的指正．”(布魯納語)．因此摸索藝術(shù)的糾錯方法，花較少的時間，取得最佳的糾錯效果，就成為我們思考的問題．從本節(jié)課看來，通過學(xué)生自主分析、合作探究、教師指導(dǎo)等方式對數(shù)列內(nèi)容中的看起來“無懈可擊”、“根深蒂固”的錯誤進(jìn)行集中“行動”，取得了顯而易見的效果，值得進(jìn)行總結(jié)與探索．

另外，進(jìn)入高三復(fù)習(xí)，除了簡單的知識回顧外，還要注意知識的不斷深化，特別要注意數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系和聯(lián)系，逐步形成擴(kuò)展的知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，使學(xué)生能在大腦記憶系統(tǒng)中構(gòu)建“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，形成一個條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系．而我們也不難看出，這節(jié)課著重強(qiáng)調(diào)在處理函數(shù)與數(shù)列這兩大高中數(shù)學(xué)主干知識的聯(lián)系和區(qū)別時，應(yīng)注意各自的特點，特別是運(yùn)用函數(shù)知識解決數(shù)列問題時，應(yīng)注意數(shù)列的離散型特征．此外，其教學(xué)過程也充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)中的強(qiáng)調(diào)學(xué)生“經(jīng)歷了什么”、“體會了什么”、“感受了什么”的宗旨．

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于糾錯是提高教學(xué)質(zhì)量的一個重要環(huán)節(jié)，教師既可以象本節(jié)課那樣針對學(xué)生的普遍錯誤組織學(xué)生分析討論，從而消除某些困惑、糾正存在的相關(guān)問題;也可針對部分學(xué)生或個別學(xué)生的錯誤采取各種恰當(dāng)?shù)募m錯藝術(shù)和教學(xué)形式，從而達(dá)到優(yōu)化思維過程的目的，從而使學(xué)生系統(tǒng)掌握有關(guān)知識、技能和方法，培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維能力和自我糾錯能力．

1 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)［M］.北京:人民教育出版社，2003

2 施良方.學(xué)習(xí)論(第二版)［M］.北京:人民教育出版社，2001

3 喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.廣西:廣西教育出版社，2004

20110805)