帶有不同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步

李紅敏，褚衍東，柳 亭，王華萍

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

帶有不同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步

李紅敏，褚衍東，柳 亭，王華萍

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

針對帶有不同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，先通過降價(jià)法，把不同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問題轉(zhuǎn)換為相同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問題，然后，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，構(gòu)造了使得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)達(dá)到同步的耦合函數(shù).數(shù)值仿真結(jié)果表明，理論分析是可行的、有效的.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；混沌同步；Lyapunov穩(wěn)定性理論

現(xiàn)今，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)備受關(guān)注.在現(xiàn)實(shí)世界中，我們經(jīng)常會(huì)遇到和聽到各種不同的網(wǎng)絡(luò)，如Internet網(wǎng)、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)、人際網(wǎng)絡(luò)等[1-2].網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為是人們研究網(wǎng)絡(luò)的重要內(nèi)容之一.在網(wǎng)絡(luò)諸多的動(dòng)力學(xué)行為當(dāng)中，網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)的同步問題尤為重要，近年來已成為非線性動(dòng)力學(xué)研究的熱點(diǎn)[3-5].復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步與一般的混沌同步不同，前者是N(N≥3)個(gè)系統(tǒng)間的同步，后者僅僅是2個(gè)系統(tǒng)間的同步[6].復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)典型特征就是擁有大量的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，過去10年里，幾乎所有的研究工作都是假定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有相同的節(jié)點(diǎn)[7]，事實(shí)上，絕大多數(shù)的實(shí)際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)并不完全相同，它們之間總是或多或少地存在一些差異.為了能夠更好地了解和解釋現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)所呈現(xiàn)出來的各種動(dòng)態(tài)特征，更好地控制現(xiàn)實(shí)中的具體網(wǎng)絡(luò)，本文將對帶有不同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題進(jìn)行研究.

1 同步分析

考慮由N個(gè)不同節(jié)點(diǎn)且不同階數(shù)組成的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)i的動(dòng)態(tài)方程如下：

定義 如果滿足下式，就稱兩個(gè)系統(tǒng)是同步的.

根據(jù)式（1）式，任意節(jié)點(diǎn)s和t的系統(tǒng)模型分別為：

其中，xs∈Rn和xt∈Rm分別是節(jié)點(diǎn)s和t的狀態(tài)向量；Fs:Rn→Rn和Ft:Rm→Rm是向量值函數(shù)，分別描述了節(jié)點(diǎn)s和t的運(yùn)動(dòng)情況；Hs(x1,x2,L,xN)和Ht(x1,x2,L,xN)分別是節(jié)點(diǎn)s和t與其它節(jié)點(diǎn)間的耦合函數(shù).假設(shè)n>m，式（2）能被分解為：

這里xp∈Rm和xq∈Rl分別是節(jié)點(diǎn)p和q的狀態(tài)向量，F(xiàn)p:Rn→Rm，F(xiàn)q:Rn→Rl，m+l=n.降階后，式（2）與（3）的同步問題轉(zhuǎn)換為式（4）與（3）的同步問題.

網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)誤差定義為：

對ei求導(dǎo)，得

由Lyapunov穩(wěn)定性理論知，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到了同步.

2 數(shù)值仿真

下面對含有三個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)值仿真，這三個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為混沌Liu系統(tǒng)、受迫的Vander Pol系統(tǒng)和超混沌Lorenz系統(tǒng)，它們的動(dòng)力學(xué)方程分別如下：

混沌Liu系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

這里a1,b1,c1,k1,h是系統(tǒng)（12）的參數(shù).當(dāng)參數(shù)a1= 10,b1= 40,c1= 2.5,k1= 1,h=4時(shí)，系統(tǒng)（12）處于混沌狀態(tài)[8].

受迫的Vander Pol系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是：

其中μ,F,Ω是系統(tǒng)（13）的參數(shù).當(dāng)參數(shù)μ= 1,F= 1,Ω=2時(shí)，系統(tǒng)（13）是混沌的[9].

超混沌Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

此處a3,b3,c3,k3是系統(tǒng)（14）的參數(shù).當(dāng)參數(shù)a3= 10,b3= 8/3,c3=28,k3= 10時(shí)，系統(tǒng)（14）存在混沌吸引子[10].

當(dāng)仿真網(wǎng)絡(luò)同步時(shí)，任意地選取耦合函數(shù)H1=0，這意味著第一個(gè)節(jié)點(diǎn)（即混沌Liu系統(tǒng)）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，另外的節(jié)點(diǎn)為響應(yīng)系統(tǒng).帶有不同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)按照式（2）相互連接.

根據(jù)方程（2）和（3），式（12）和（13）的同步問題轉(zhuǎn)換為（13）和下面（15）式的同步問題：

實(shí)施耦合后，式（13）轉(zhuǎn)換為式（16）：

根據(jù)式（9）知：

參數(shù)α∈ (0 ,+∞ ).仿真時(shí)，任意地選取α=2，節(jié)點(diǎn)大約在2.3秒達(dá)到了同步，其時(shí)間序列如圖1所示，相應(yīng)的同步誤差曲線見圖2.可以看到，由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)不同的結(jié)構(gòu)和不同的階，狀態(tài)變量的時(shí)間序列在2.3秒以前各不相同，然而，不久之后它們就完全相同，同步誤差曲線也很快趨于0，無論網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)有多少，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)都能達(dá)到同步.

3 結(jié) 論

本文主要研究了帶有不同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問題.首先通過降價(jià)法，把不同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問題轉(zhuǎn)換為相同階數(shù)的異結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問題，然后，基于 Lyapunov穩(wěn)定性問題，構(gòu)造了使得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)達(dá)到同步的耦合函數(shù)，無論節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少，無論何時(shí)實(shí)施耦合，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的相應(yīng)狀態(tài)變量都能達(dá)到完全一樣的軌道，其同步誤差也能迅速地收斂到0，也就是說復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)迅速地達(dá)到了同步.理論分析和數(shù)值仿真都證實(shí)了該方法的有效性和普遍性.

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Synchronization of Certain Complex Network with Different Structures and Different Orders

LI Hongmin, CHU Yandong, LIU Ting, WANG Huaping
(School of Mathematics, Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

This paper aimed at chaos synchronization of a complex network with different structures and different orders. Firstly, problem of the chaos synchronization was translated into problem of chaos synchronization of a complex network with different structures and identical orders by subtract-order method. Secondly, based on the Lyapunov stability theory, the coupling function for the synchronization of connected nodes of the complex network was identified. Numerical simulation results indicated that the theoretical analysis is feasible and effectual.

Complex Network; Chaos Synchronization; Lyapunov Stability Theory

(編輯：王一芳)

TP393

A

1674-3563(2011)02-0041-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.02.008 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-07-11

國家自然科學(xué)基金(50474008)；蘭州交通大學(xué)科研基金(DXS2010-019)

李紅敏(1983- )，女，河北邯鄲人，碩士研究生，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步與控制