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    關(guān)于丟番圖方程x3 ±1=3Dy2

    2011-01-12 06:47:54韓云娜
    關(guān)鍵詞:數(shù)論素?cái)?shù)正整數(shù)

    韓云娜,梁 勇

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

    關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2

    韓云娜,梁 勇

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

    設(shè)D是素?cái)?shù).主要研究丟番圖方程x3±1= 3Dy2正整數(shù)解的情況.利用初等數(shù)論的方法得到了丟番圖方程x3±1= 3Dy2無(wú)正整數(shù)解的一個(gè)充分條件.

    丟番圖方程;正整數(shù)解;素?cái)?shù)

    設(shè)N是全體正整數(shù)的集合,D是無(wú)平方因子正整數(shù),方程

    是一類基本而又重要的三次丟番圖方程,有關(guān)它的研究可以追溯到Euler時(shí)代[1].文獻(xiàn)[2]證明了當(dāng)D不能被6k+1形素?cái)?shù)整除時(shí),方程(1)無(wú)解;文獻(xiàn)[3-4]證明了如果p= 12r2+1(p是奇素?cái)?shù),r是正整數(shù)),方程x3± 1= 3py2,x,y∈N無(wú)解;文獻(xiàn)[5]證明了如果p= 3(3k+ 1)(3k+ 2)+ 1(p是奇素?cái)?shù),k是非負(fù)整數(shù)),則方程x3+ 1= 3py2無(wú)正整數(shù)解.本文運(yùn)用初等數(shù)論的方法證明了以下結(jié)果.

    首先引入以下引理:

    引理1[6]設(shè)不定方程Ax2?By2=1,A>1,A,B∈N,有解程的基本解,則方程的全部正整數(shù)解x,y可由下式給出:

    定理1 設(shè)D是奇素?cái)?shù),若方程

    無(wú)正整數(shù)解.

    證明:設(shè)方程(3)的正整數(shù)解為x,y,根據(jù)Fermat小定理得x3≡x(mod3),故從(3)式可得x+1≡ 0(mod3),此時(shí) gcd(x+ 1,x2?x+1) =3,且 9/|x2?x+1,故可將(3)式分解為以下兩種情形:

    現(xiàn)對(duì)以上兩種情形分別討論.

    情形I:由(4)式可得:

    從(6)式可知方程(2)有解 (2b, 6a2? 1).于是由定理1的條件知,若 (2,y0)是方程(2)的基本解,則根據(jù)引理1有:

    情形II:由文獻(xiàn)[7]的證明結(jié)果可知其無(wú)正整數(shù)解.因此方程(2)無(wú)正整數(shù)解.

    定理2 設(shè)D是奇素?cái)?shù),若方程(2)有形如(2,y0)的基本解,且存在y0的素因子p,使得

    無(wú)正整數(shù)解.

    證明:設(shè)方程(7)的正整數(shù)解為x,y,根據(jù)Fermat小定理得x3≡x(mod3),故從(7)式可得x?1≡ 0(mod3),此時(shí) gcd(x?1,x2+x+ 1)=3.根據(jù)定理1的證明,從(7)式可得:

    由(8)式可得:

    從(9)式可知方程(2)有解 (2b, 6a2+ 1).于是由定理2的條件知,若 (2,y0)是方程(2)的基本解,則根據(jù)引理1有:

    [1]Mordell L J. Diophantine Equations [M]. London: Academic Press, 1969: 156-183.

    [2]柯召, 孫琦. 關(guān)于丟番圖方程[J]. 四川大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1989, (2): 1-5.

    [3]樂(lè)茂華. 關(guān)于Diophantine方程[J]. 保定師范??茖W(xué)校學(xué)報(bào), 2004, 17(2): 1-2.

    [4]樂(lè)茂華. 關(guān)于Diophantine方程[J]. 廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2005, 22(4): 22-23.

    [5]陳曉化, 李志平. 關(guān)于Diophantine方程[J]. 重慶工學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2009, 23(4): 44-45.

    [6]Walker D T. On the Diophantine equation [J]. The American Mathematical Monthly, 1967, 74(5): 504-513.

    [7]張同斌, 潘家宇. 關(guān)于丟番圖方程[J]. 河南教育學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1999, 8(3): 1-3.

    Study on Diophantine Equationx3±1=3Dy2

    HAN Yunna, LIANG Yong
    (Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, China 710127)

    LetDbe a prime number. Positive integer solutions of the Diophantine equationx3±1=3Dy2were studied. And a sufficient condition for nonexistence of positive integer solution to the Diophantine equation was obtained by using elementary number theory.

    Diophantine Equation; Positive Integer Solution; Prime Number

    (編輯:王一芳)

    O156.1

    A

    1674-3563(2011)02-0027-03

    10.3875/j.issn.1674-3563.2011.02.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

    2010-05-08

    韓云娜(1984- ),女,陜西西安人,碩士研究生,研究方向:數(shù)論

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