敦煌算經(jīng)九九表探析

張小虎

(西北師范大學(xué)敦煌學(xué)研究所，甘肅蘭州 730070)

敦煌算經(jīng)九九表探析

張小虎

(西北師范大學(xué)敦煌學(xué)研究所，甘肅蘭州 730070)

敦煌算經(jīng)文書中存有九九表的文書共有12件.這些九九表中的“都”、“文”等字詞具有特定的含義；九九表中的記數(shù)符號在唐、五代時(shí)期敦煌地區(qū)的使用已較廣泛，它們與黑水城文書及《潛虛》中的記數(shù)符號存在相關(guān)性；九九表中的一系列大寫數(shù)字的出現(xiàn)是唐、五代時(shí)期敦煌、吐魯番兩地貿(mào)易興盛和人員往來交流不斷的體現(xiàn)；九九表的句數(shù)與排列順序表明宋朝以前的九九表總體上具有比較穩(wěn)定的內(nèi)容與順序.

敦煌算經(jīng)；九九表；社會信息

九九表，又稱九九歌、九因歌，是我國古代數(shù)學(xué)運(yùn)算中進(jìn)行乘除、開方等用的基本運(yùn)算規(guī)則表.對九九表，秦漢典籍多有記載，唐宋間又引伸為數(shù)學(xué)的代稱.20世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)于我國甘肅敦煌莫高窟（敦煌研究院編號第17窟）的一批5 – 10世紀(jì)的算經(jīng)文書中亦有九九表多件.關(guān)于敦煌算經(jīng)文書中的九九表，學(xué)術(shù)界已有一些相關(guān)介紹和論述①參見: 文獻(xiàn)[11,18]; [比]李倍始. 敦煌千佛洞算書手抄本[C]// 李國豪, 張孟聞, 曹天欽. 中國科學(xué)史探索: 中文版. 劉祖慰, 譯. 杜石然, 校. 上海: 上海古籍出版社, 1986: 205-230; 李并成. 從敦煌算經(jīng)來看我國唐宋時(shí)代的初級數(shù)學(xué)教育[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究, 1991, (1): 39-42; 王進(jìn)玉. 敦煌遺書中的數(shù)學(xué)史料及其研究[C]// 李迪. 數(shù)學(xué)史研究文集: 第2輯. 呼和浩特: 內(nèi)蒙古大學(xué)出版社, 1991: 58-65; 王渝生. 敦煌算書[C]// 郭書春. 中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯: 數(shù)學(xué)卷: 一. 鄭州: 河南教育出版社, 1993: 401-420; 劉鈍. 九九表[C]// 季羨林. 敦煌學(xué)大辭典.上海: 上海辭書出版社, 1998: 601.，但多數(shù)研究為提要性質(zhì)或僅就其內(nèi)容本身論述，而對其所透露的社會信息則少有論及；并且這些研究多為20世紀(jì)80 – 90年代所作，受資料所限，各家所涉敦煌算經(jīng)文書九九表的件數(shù)也很有限.近年來，隨著諸多敦煌文獻(xiàn)圖版的陸續(xù)編輯、出版②截止2010年, 《英藏敦煌文獻(xiàn)》、《法藏敦煌西域文獻(xiàn)》、《俄藏敦煌文獻(xiàn)》、《上海博物館藏敦煌吐魯番文獻(xiàn)》、《天津藝術(shù)博物館藏敦煌文獻(xiàn)》、《北京大學(xué)圖書館藏敦煌文獻(xiàn)》、《甘肅藏敦煌文獻(xiàn)》和《浙藏敦煌文獻(xiàn)》等都已出齊,《中國國家圖書館藏敦煌遺書》正在出版(預(yù)計(jì)出版150冊, 現(xiàn)已出版127冊). 2009年10月, 日本武田科學(xué)振興財(cái)團(tuán)、杏雨書屋先期出版了《敦煌秘笈》目錄及圖錄第 1冊, 其余部分以后將陸續(xù)出版. 經(jīng)過百年的努力, 目前有關(guān)敦煌文獻(xiàn)的刊布工作基本完成.，對敦煌算經(jīng)文書中的九九表做全面檢索、系統(tǒng)專題研究的時(shí)機(jī)也已基本成熟.筆者不揣淺陋，擬在前人基礎(chǔ)上，試對敦煌算經(jīng)文書中的九九表做一較系統(tǒng)的專題論述.不當(dāng)之處，還請方家指正.

據(jù)筆者初步查檢，敦煌算經(jīng)文書中提及九九表者共有 12件，它們的編號依次為 S.19[1]、S.930v[2]、S.4569[3]、S.6167v[4]、S.8336v[5]、P.3349[6]（此件含九九表兩處）、P.2502v[7]、P.3102v[8]、P.T.1256①原件現(xiàn)藏巴黎法國國家圖書館, 已收錄在1978及1980兩年在巴黎出版的由麥克唐納夫人和今支由郎編輯并加注記的《敦煌吐蕃文書選集》影印本（單頁集裝）第一輯中. 參見: 文獻(xiàn)[18].、俄Дⅹ.2145v[9]、俄Дⅹ.2904[10]和羽 037R（即敦散226）②參見: [日]武田科學(xué)振興財(cái)團(tuán)杏雨書屋. 《敦煌秘笈》影片冊1. 2009: 248. 筆者所依據(jù)的是于2010年10月從敦煌研究院文獻(xiàn)所得到的《敦煌秘笈》第1冊電子掃描圖錄本, 在此衷心向敦煌研究院文獻(xiàn)所表示感謝..可見的12件九九表除S.930v、S.4569和P.3349保存完整外，其余均為殘表.具體而言，S.4569全，計(jì)7行，始“九九八十一”迄“一一如一”，總45句；S.6167v殘，9行，存“九九八十一”迄“一九如九”句；S.8336v殘，倒寫，計(jì)5行，存“六九五十四、五九四十五、四九□□□、□□六十三、七八五十六、六□□□□、□□□十四、二八一十六、一八如□、□七三十五、四七二□□、□□□七、六六三十六、五□□□□”句；P.2502v殘，9行，存“九九八十一”迄“一三如三”句.P.3349、S.19同屬一書，可相互校補(bǔ).S.19存“九九八十一”迄“七八五十六”句，所缺句可依 P.3349補(bǔ)全；羽037R殘，存“五八四十”迄“二四如八”句.值得注意的是S.19、P.3349和羽037R每句口訣后別列“自相乘”、“分之”句（部分后缺“分之”句），如“九九八十一，自相乘得六千五百六十一，九人分之得七百二十九”、“二六十二，自相乘得一百卌四，二人分之人得七十二”等，這是我國其它算經(jīng)所不載的.在被乘數(shù)、乘數(shù)相同句則記“某某一”，其后用“凡總得”句小結(jié)口訣內(nèi)部每段之和，如“九九一，凡總得三百九十六，自相乘得一十五萬六千八百一十六”、“八八一，凡總得二百八十，自相乘得七萬八千四百”等，這也是一種獨(dú)創(chuàng).許康認(rèn)為S.19書寫于唐或五代，寫于五代的可能性更大[11].P.3349背面為學(xué)生習(xí)字書，殘存10余行，多系常用字，如吾、及、在、也……等.九九表與習(xí)字書同出一件，表明其可能是用于學(xué)?；蚣役咏逃某跫墧?shù)學(xué)課本.S.930v全，自“九九八一”迄“一一如一”，此表最重要的特點(diǎn)是：每句口訣的乘積都用算籌記數(shù)法表示于后；被乘數(shù)、乘數(shù)相同句后出現(xiàn)“直下”，其它各句后出現(xiàn)“通前”，記各句乘積之和，如“九九八一直下八十一”、“七八五十六通前一百廿十文”等.表末則記有“都計(jì)得一千一百五十五文”句.此表抄寫于道經(jīng)紙背，下接《河西都僧統(tǒng)悟真百歲書并序》，則此九九表抄寫年代當(dāng)在晚唐以后.俄Дⅹ.2904殘，3行，存“□廿、三五□□、□□十二、二四如八、一四□□、□□如四、一二如二”句.俄Дⅹ.2145v殘，7行，存“九九八十一”迄“一三如三”句.P.3102v分四部分，第四部分倒寫，卷末存“貳玖拾捌、叁玖貳拾柒、肆玖叁拾陸、伍玖肆拾伍、陸玖伍拾肆、柒玖陸拾叁、捌玖柒拾貳、玖玖捌拾壹”8句，系大寫數(shù)字書寫，此文書的正面為《開蒙要訓(xùn)》，《開蒙要訓(xùn)》是唐、五代時(shí)在敦煌地區(qū)被廣為傳抄的啟蒙讀物，而此九九表抄寫于《開蒙要訓(xùn)》的背面，當(dāng)亦為唐、五代時(shí)作.P.T.1256是一篇用藏文音譯漢字的乘法九九表，原文全為藏文，無標(biāo)題，末署抄寫人姓名，橫書8行，從“九九八十一”迄“一一如一”句.綜上所述，12件九九表均系唐宋寫本，全用毛筆抄寫，其字體多為自由體行書，亦有少量為草書，書寫水平大多不高.它們是我國現(xiàn)存最早的紙卷算書九九表.

通過對敦煌算經(jīng)中12件九九表的粗略考察，筆者注意到九九表中可關(guān)注者有以下數(shù)端：

1 敦煌算經(jīng)九九表中若干字詞的訓(xùn)釋

S.930v九九表末記有“都計(jì)得一千一百五十五文”句，表中多句后亦出現(xiàn)“文”字，如“通前四百五文”、“前一百廿十文”等.“都”、“文”二字當(dāng)做何解？若將S.930v九九表中每句口訣得數(shù)依次相加，即“81+72+63+……+4+2+1”的總和恰為一千一百五十五，這正與S.930v九九表末記數(shù)相符.考諸秦漢簡牘，我們發(fā)現(xiàn)里耶秦簡九九表末、敦煌漢簡九九表末均記有同類語句.如里耶秦簡九九表末記有“凡千一百一十三字”[12]句；敦煌漢簡2170號九九殘表末也記“大凡千一百一十三”[13]句，將表中每句口訣得數(shù)依次相加亦合表末所記之?dāng)?shù).由此我們不難看出“都”、“凡”和“大凡”都應(yīng)是“總”的意思.然“文”字不僅見于S.930v九九表末，尚見于表中另外七處，而大多數(shù)口訣后則多省“文”字，這又該作何解？我們發(fā)現(xiàn) S.930v九九表每句口訣后都用籌算表示出其乘積得數(shù)，而“文”字又每置于籌算結(jié)果后；且表中八個(gè)“文”的使用又呈現(xiàn)出很大隨機(jī)性，毫無規(guī)律可循，去掉該字亦絲毫不影響閱讀.因此我們有理由相信：“文”當(dāng)是一種表示數(shù)量的籌算單位.考之中國數(shù)學(xué)史，早在春秋戰(zhàn)國時(shí)，籌算已普遍應(yīng)用，九九表也已相當(dāng)普及，故敦煌算經(jīng)中的九九表多省“文”字亦不足為奇了.

S.930v九九表于被乘數(shù)、乘數(shù)相同句后每有“直下”一詞，被乘數(shù)、乘數(shù)不相同句后每見“通前”二字.據(jù)文意來看，“直下”大約為“從這里開始計(jì)算”，似還起到給九九表“分段”的作用；“通前”則無疑應(yīng)是指各句乘積的遞相累加.P.3349、S.19九九表每句后記有將各句得數(shù)分為九類、次第相加的詳細(xì)過程，表末則記有各口訣乘后所得數(shù)字相加的總和，其中出現(xiàn)了“自相乘”、“分之”二詞.“自相乘”的數(shù)學(xué)概念即現(xiàn)代數(shù)學(xué)名詞“平方”，“分之”則是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“被除”.這種含“直下”、“通前”、“自相乘”和“分之”的九九表正是在中原算經(jīng)中少見的數(shù)學(xué)模式.敦煌算經(jīng)九九表每句下附籌算數(shù)字，并將逐句得數(shù)累加，又進(jìn)一步對 45句乘積分別作自乘和除法，可以認(rèn)為這是對籌算初學(xué)者的基本訓(xùn)練，頗有助于初學(xué)者提高乘、除和加法的運(yùn)算能力；這還可能與當(dāng)?shù)孛癖娚罘绞接嘘P(guān)，當(dāng)他們進(jìn)行貨物交易、土地丈量及買賣時(shí)，這些“通前”、“自相乘”和“分之”所列舉的值可能就常被用來查檢.

2 敦煌算經(jīng)九九表中的記數(shù)符號

算經(jīng)S.930v、P.3349九九表在每句口訣后依算籌形式別列數(shù)碼，可以看出這些記數(shù)符號是作為正文出現(xiàn)的，抄寫者把它作為文字的輔助部分以使數(shù)字更加形象.所見其數(shù)碼分縱橫兩式：“一”用一橫或一豎來表示；“二”用并列的兩橫或兩豎表示；“三”、“四”和“五”依次類推；“六”記作“”或“”，即用上（下）面的一橫代表五，橫下（上）的一豎代表“一”；“七”、“八”、“九”則依“六”類推.還可以看到，這些籌算數(shù)碼中無“零”的符號.中間有“0”的數(shù)字，用空位來表示“0”，如“405”被表示成“”；若末尾有“0”的數(shù)字，則根據(jù)“凡算之法，先識其位”，通過定位來表示，如“40”被表示成“”.關(guān)于籌算的方法，《孫子算經(jīng)》云：“凡算之法，先識其位.一縱十橫、百立千僵、千十相望、萬百相當(dāng)”[14]，《夏侯陽算經(jīng)》又補(bǔ)充了“滿六以上，五在上方；六不積算，五不單張”[15].“凡算之法，先識其位”闡明了數(shù)位在記數(shù)中的重要意義；后面幾句則闡明籌算記數(shù)的規(guī)則.敦煌算經(jīng)九九表中的籌算數(shù)碼可以說是《孫子算經(jīng)》和《夏侯陽算經(jīng)》記數(shù)法的具體表現(xiàn).而表中數(shù)字記數(shù)與算籌記數(shù)同時(shí)使用，則可能是為便于更多的人認(rèn)識文書的內(nèi)容，這反映出唐、五代敦煌地區(qū)記數(shù)符號的使用已較廣泛，但可能也反映出敦煌當(dāng)?shù)仄胀ò傩瘴幕较鄬^低的社會現(xiàn)實(shí).這些九九歌可能還具有教育意義，楊秀清推論敦煌學(xué)生學(xué)習(xí)的價(jià)值取向當(dāng)受科舉制影響[16].因此，敦煌算經(jīng)九九表出現(xiàn)算籌形式應(yīng)屬合宜的社會情形.

然而使用計(jì)數(shù)符號并非敦煌算經(jīng)九九表所獨(dú)有.在黑水城出土的西夏借糧契約和元代賦稅文書中，也有以符號來記錄糧食數(shù)量和種類的例子.值得注意的是黑水城文書中還出現(xiàn)圓圈、三角和十字這些獨(dú)有的符號.而在北宋時(shí)與敦煌算經(jīng)九九表不同的是“五”的符號.《潛虛》中用“×”代替敦煌算經(jīng)中筆畫較多、難辨識和讀寫且易于出錯(cuò)的“”[17].雖然它們在符號的具體含義上呈現(xiàn)出各自不同的時(shí)代特征，但在一定程度上都體現(xiàn)了與敦煌算經(jīng)中的記數(shù)符號的相關(guān)性.另外，P.T.1256中也有關(guān)于記數(shù)符號的文字記載和具體應(yīng)用.P.T.1256從藏文書法判斷當(dāng)寫于吐蕃時(shí)期[18].可見吐蕃時(shí)期九九表已傳入藏族，這也反映出藏、漢民族思想文化交流之早和淵源之深.

3 敦煌算經(jīng)九九表中的一系列大寫數(shù)字

敦煌算經(jīng)所見九九表大部分系筆畫簡單的小寫數(shù)字書寫，而P.3102v卷末出現(xiàn)一件用“貳”、“叁”等大寫數(shù)字書寫的九九表.這種大寫數(shù)字書寫的九九表并不只見于敦煌算經(jīng)，也見于吐魯番出土文書.如60TAM316:08/1(b)《古抄本乘法訣》即為一大寫數(shù)字書寫的九九表[19].原表大部分殘缺，僅存6句，其中就有“拾”、“究”（玖）、“拔”（捌）、“柒”、“法”（陸）、“伍”、“叁”、“貳”、和“壹”九個(gè)大寫數(shù)字.考之敦煌和吐魯番出土的唐代文書，可看出凡會計(jì)賬目、借貸契約的錢物數(shù)量、規(guī)格乃至期限等事項(xiàng)，都已普遍使用大寫數(shù)字記錄.如敦煌文書 P.3348v《唐天寶四載（公元七四五年）河西豆盧軍和糴會計(jì)牒》：“……三載冬季交糴納，準(zhǔn)估計(jì)當(dāng)錢壹阡伍伯柒拾伍貫玖伯伍文.伍阡肆伯伍碩捌斗叁勝柒合栗，斗估廿七文，計(jì)壹阡肆伯伍拾玖貫伍伯柒拾陸文.……”[20]426-427吐魯番文書 73TAM506:4/12《唐蔣玄其等領(lǐng)錢練抄》：“(前缺)大練貳伯叁拾伍疋貳丈肆尺充藥直.……”[21]借貸契約也舉兩例，如敦煌文書P.3453《辛丑年賈彥昌貸生絹契》：“辛丑年十月廿五日，賈彥昌緣往西州充使，遂于龍興寺上座心善面上貸生絹壹疋，長叁拾柒尺貳寸，幅壹尺捌寸.又貸帛花綿綾壹疋，長貳丈叁尺陸寸，幅壹尺玖寸半.自貸后，西州回日還，利頭好立機(jī)兩疋，各長貳丈伍尺.……本物限入后壹月還納.”[22]吐魯番文書64TAM4:34《唐龍朔元年（公元六六一年）龍惠奴舉練契》：“龍朔元年八月廿三日，安西鄉(xiāng)人龍惠奴于崇化鄉(xiāng)人右（左）憧惠邊舉取練叁拾疋，月別生利練肆疋.其利若出月不還，月別罰練壹疋入左.”[23]可以看到在上述出土的唐代文書中從“壹“到“拾”的大寫數(shù)字一應(yīng)俱全.由此可見，經(jīng)過人們長期研究，到了唐朝，在約定俗成的基礎(chǔ)上，已經(jīng)形成了一套完整的用“壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾”來表示“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十”意義的大寫數(shù)字.以往多認(rèn)為開始使用“壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾”等商業(yè)用字始于宋，其實(shí)不然.《詩經(jīng)》已以“壹”代“一”，《孟子》用“貳”代“二”，《考工記》用“叁”代“三”，《墨子》用“漆”代“七”，全面使用則是在唐代.唐代因官私手工業(yè)和商業(yè)的發(fā)展需要，小寫數(shù)字，筆畫簡單、易于涂改，故多改為大寫.迨入宋代，官府文書用大寫數(shù)字記數(shù)已成定制.這種大寫的商業(yè)數(shù)字今天仍被廣泛使用于金融商業(yè)中，被稱為“會計(jì)體”.

吐魯番地區(qū)古稱高昌，唐時(shí)稱為西州，敦煌與吐魯番之間的交往由來已久.著名的大海道即為連接二地間的絲路故道，在歷史上曾起過非常重要的作用.S.0113《西涼建初十二年正月敦煌郡敦煌縣西宕鄉(xiāng)高昌里籍》殘卷出現(xiàn)“高昌里”，李并成認(rèn)為其位于敦煌綠洲的最西北部，由此向西北穿過約五百余公里的戈壁、沙灘即達(dá)高昌[24].P.2009《西州圖經(jīng)殘卷》記：“大海道，右道出柳中縣界，東南向沙州一千三百六十里，常流沙，人行迷誤，有泉井咸苦，無草，行旅負(fù)水擔(dān)糧，履踐沙石，往來困弊.”[20]54唐西州柳中縣即高昌郡田地縣（治所在今吐魯番市東南約50公里的鄯善縣魯可沁），沙州即敦煌.往來敦煌、吐魯番兩地，其路途雖艱險(xiǎn)困苦，但大海道較為順直、行程最短.迄唐、五代時(shí)期，大海道沿用未輟，為西州東通中原必經(jīng)要路.敦煌和吐魯番文書中都發(fā)現(xiàn)這種用大寫數(shù)字抄寫的九九表，無疑當(dāng)是唐、五代敦煌、吐魯番地區(qū)經(jīng)濟(jì)繁榮、商業(yè)貿(mào)易興盛和人員往來交流不斷的時(shí)代烙印.

4 敦煌算經(jīng)九九表的句數(shù)和排列順序

錢寶琮指出：“現(xiàn)在的乘法口訣是從‘一一如一’起到‘九九八十一’止，共四十五句.古代的乘法口訣是從‘九九八十一’起到‘二二如四’止，只有三十六句.”[25]但敦煌算經(jīng)九九表卻與此說不符.可以看出，敦煌算經(jīng)九九表的句數(shù)有45句（如S.4569、P.3349等）和36句（如S.19等）兩種.45句者從“九九八十一”到“一一如一”句，與《孫子算經(jīng)》中的九九表規(guī)格相同；36句者則缺“一九如九”到“一一如一”九句.事實(shí)上目前所見我國古代的九九表除敦煌算經(jīng)有45句、36句外，尚有38句者.2002年出土于湖南龍山里耶的秦簡九九表保存完整，其句數(shù)既非36句，也非45句，而是38句.里耶秦簡九九表中亦缺“一九如九”到“一一如一”九句；但多了“一一而二”、“二半而一”兩句，頗具特色.王煥林認(rèn)為“一一而二”句當(dāng)作“1+1=2”解，“二半而一”應(yīng)視為分?jǐn)?shù)運(yùn)算[26].可以看到，除P.3102v外，其余各九九表（殘缺者據(jù)補(bǔ)全后）首句均起于“九九八十一”，依次則被乘數(shù)漸次變小，止于二，有的則止于一；再為八八相乘，依次類推，止于“一一如一”或“二二如四”.P.3102v則由小到大依次排列，與其它九九表排列順序正好相反.還可看出，以上各表均為“小九九”，因?yàn)楸碇杏小鞍司牌呤倍鵁o“九八七十二”；有“七九六十三”而無“九七六十三”，余句類推.考諸出土秦漢簡牘可知：除里耶秦簡九九表外，尚有張家界古人堤漢簡、敦煌漢簡、居延漢簡、居延新簡和樓蘭文書九九表.綜合考察以上各九九表則可看出：唐宋以前之九九表總體上具有比較穩(wěn)定的內(nèi)容與順序；同時(shí)一份完整的九九表應(yīng)該還有各句口訣得數(shù)依次相加所得之和.

以上粗略討論了敦煌算經(jīng)九九表的特征及其透露出的社會信息.這些富有特色的九九表從一個(gè)側(cè)面為我們管窺唐、五代和宋初敦煌地區(qū)的經(jīng)濟(jì)、文化和社會提供了有益的信息.

[1]中國社會科學(xué)院歷史所, 中國敦煌吐魯番學(xué)會敦煌古文獻(xiàn)編輯委員會, 英國國家圖書館, 等. 英藏敦煌文獻(xiàn):漢文佛經(jīng)以外部分: 第1冊[M]. 成都: 四川人民出版社, 1990: 16.

[2]中國社會科學(xué)院歷史所, 中國敦煌吐魯番學(xué)會敦煌古文獻(xiàn)編輯委員會, 英國國家圖書館, 等. 英藏敦煌文獻(xiàn):漢文佛經(jīng)以外部分: 第2冊[M]. 成都: 四川人民出版社, 1990: 201-204.

[3]中國社會科學(xué)院歷史所, 中國敦煌吐魯番學(xué)會敦煌古文獻(xiàn)編輯委員會, 英國國家圖書館, 等. 英藏敦煌文獻(xiàn):漢文佛經(jīng)以外部分: 第6冊[M]. 成都: 四川人民出版社, 1992: 138.

[4]中國社會科學(xué)院歷史所, 中國敦煌吐魯番學(xué)會敦煌古文獻(xiàn)編輯委員會, 英國國家圖書館, 等. 英藏敦煌文獻(xiàn):漢文佛經(jīng)以外部分: 第10冊[M]. 成都: 四川人民出版社, 1994: 126-127.

[5]中國社會科學(xué)院歷史所, 中國敦煌吐魯番學(xué)會敦煌古文獻(xiàn)編輯委員會, 英國國家圖書館, 等. 英藏敦煌文獻(xiàn):漢文佛經(jīng)以外部分: 第12冊[M]. 成都: 四川人民出版社, 1995: 113.

[6]上海古籍出版社, 法國國家圖書館. 法藏敦煌西域文獻(xiàn): 第23冊[M]. 上海: 上海古籍出版社, 2002: 277-279.

[7]上海古籍出版社, 法國國家圖書館. 法藏敦煌西域文獻(xiàn): 第14冊[M]. 上海: 上海古籍出版社, 2001: 356.

[8]上海古籍出版社, 法國國家圖書館. 法藏敦煌西域文獻(xiàn): 第21冊[M]. 上海: 上海古籍出版社, 2002: 313.

[9]俄羅斯科學(xué)院東方研究所圣彼得堡分所, 俄羅斯科學(xué)出版社, 上海古籍出版社. 俄藏敦煌文獻(xiàn): 第9冊[M]. 上海: 上海古籍出版社, 1998: 47.

[10]俄羅斯科學(xué)院東方研究所圣彼得堡分所, 俄羅斯科學(xué)出版社, 上海古籍出版社. 俄藏敦煌文獻(xiàn): 第 10冊[M].上海: 上海古籍出版社, 2006: 119.

[11]許康. 敦煌算書透露的科學(xué)與社會信息[J]. 敦煌研究, 1989, (1): 96-103.

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[13]羅振玉, 王國維. 流沙墜簡[M]. 北京: 中華書局, 1993: 92.

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Analysis of Multiplication Tables in Dunhuang Mathematical Classics

ZHANG Xiaohu
(Institute of Dunhuangology, Northwest Normal University, Lanzhou, China 730070)

In Dunhuang Mathematical Classics, there are 12 pieces of documents including the Multiplication Table. In these tables, words like 都 (total) and 文 (quantitative unit) had their specific meanings. The numeration symbols of the Tables had been widely used in Dunhuang area during the Tang Dynasty and the Five Dynasties Period. And they had certain relationship with the numeration symbols used in Khara-khoto document and inQian Xu(a book of exploring the secret origin). The appearance of a series of capital numerals in the Tables was a typical reflection of the flourished trade and on-going personnel communications between Dunhuang and Turpan areas during the Tang Dynasty and the Five Dynasties Period. The amount of sentences in the Tables and its orders show that the contents of the Tables and their orders are in general stable before the Song Dynasty.

Dunhuang Mathematical Classics, Multiplication Table, Social Information

(編輯：朱青海)

K05

A

1674-3563(2011)02-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.02.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-11-08

張小虎(1983- )，男，甘肅慶陽人，碩士研究生，研究方向：敦煌學(xué)