幾乎弱θ加細(xì)空間

代曉琴,葉 斌,高紹娟,康素玲

(1.成都理工大學(xué)信息管理學(xué)院,四川成都 610059;2.合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系,安徽合肥 230601)

0 引 言

如果 X的每個(gè)離散閉集族{Fα:α∈n}存在 X的稠密子集D和X的開(kāi)集族V=n∪∈ωVn,使得 ?n∈ω,?α∈∧有 Fα?Vnα,并且對(duì) ?x∈D,存在n∈ω,且有1≤ord(x,Vn)＜ω.

引理1[3]設(shè)λ是一個(gè)基數(shù),空間X是λ—仿緊的,∧是一個(gè)定向集,|∧|=λ,如果{Hα:α∈∧}是 X的一個(gè)定向上升覆蓋,則存在 X的定向上升開(kāi)覆蓋{Kα:α=∧},使得對(duì)α∈∧有? Hα.

引理2 幾乎弱θ加細(xì)空間的閉子空間是幾乎弱θ加細(xì)的.

文中所討論的拓?fù)淇臻g均為 Hausdorff空間(簡(jiǎn)稱(chēng)空間),并且用(U)A和N(A)表示集族{U∈U;U∩A≠φ}和集合A的開(kāi)領(lǐng)域系.特別地,(U)x和N(x)分別表示(U){x}和N({x});st{A,U}=∪{U∈U: U∩A≠φ},特別地,st(x,U)表示st({x},U);A—表示集合A的閉包,|∧|表示集合 ∧的基數(shù);ω表示非負(fù)整數(shù)集或最小無(wú)限基數(shù);[A]＜ω={F?A:F是非空有限集},對(duì)于 n∈ω,s=(n0…,nk)∈[ω]＜ω,記 s⊕ n=(n0…,nk,n).本文涉及的其他有關(guān)概念、記號(hào)和表示方法參照文獻(xiàn)[1]和[2]中的相關(guān)規(guī)定.

定義1 集族T稱(chēng)為是定向的,如果 ?S,S′∈T,存在T∈T,使得,S∪S′?T.設(shè)(∧,≤)是一個(gè)定向集,集族U={Uα:α∈∧}是定向上升的,如果對(duì) ?α,β∈∧,當(dāng)α≤β時(shí),有 Uα?Uβ.

定義2[1]設(shè)λ是一個(gè)基數(shù),并且λ≥2,空間X稱(chēng)為λ—仿緊的,如果X的每個(gè)勢(shì) ≤λ的開(kāi)覆蓋有一個(gè)局部有限的開(kāi)加細(xì).

定義3 空間X稱(chēng)為是幾乎弱θ加細(xì)空間,當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)開(kāi)覆蓋U都存在X的一個(gè)稠密子集D和U的開(kāi)加細(xì)V=n∪∈ωVn對(duì)于 ?x∈D,存在 n∈ω且有1≤ord(x,Vn)＜ω.

定義4 空間X稱(chēng)為是幾乎離散弱θ可膨脹的,

1 主要結(jié)果

定理1 空間X幾乎弱θ加細(xì)的,當(dāng)且僅當(dāng)X是幾乎離散弱θ可膨脹的,并且X的每個(gè)開(kāi)覆蓋,U= {Uα:α∈∧},都存在X的稠密子集D和U的開(kāi)加細(xì)V=n∪∈ωVn,使得x∈D,存在n∈ω和α∈∧,有 ?x∈Vα,并且,st(x,Vn)?β∪≤αUβ.

證明 (?)是顯然的,下面證明(?).

設(shè)U是X的任一開(kāi)覆蓋,?U∈U,令M(U,U) =X-∪(U′∈U:U′≠U),則有:

(1){M(U,U):U∈U}是 X中的閉集族,并且對(duì)U∈U,當(dāng)M(U,U)≠φ時(shí),有∪{U′∈U:M(U, U)∩U′≠φ}=U.

(2)n∪∈ω(Ut⊕n∪Wt⊕n)是 X的開(kāi)覆蓋,并且n∪∈ω(Ut⊕n∪Wt⊕n)是U的開(kāi)加細(xì),故構(gòu)造出U的開(kāi)加細(xì),n∪∈ω{Us∪Ws:s∈[ω]＜ω}.于是,歸納定義完成.

(3)?x∈D＊,存在 s∈[ω]＜ω,使得1≤ord(x,Us∪WS)＜ω.

事實(shí)上,對(duì) ?k∈ω用歸納法定義sk∈[ω]＜ω, αk＜λ,s0=φ,如果,sk已經(jīng)有定義,則由 ＊—加細(xì)的定義,存在n∈ω和0≤αk＜λ,使得,x∈Uαk,Sk, st(x,VSk⊕n) ?β∪≤αUβ,Sk,并且集族{U ∈USk:x∈st(M(U,USkUWSk),VSk⊕n)}是有限的.設(shè),sk+1=sk⊕n,則對(duì) ?k∈ω,有1≤ord(x,WSk)＜ω.

(1)UFζ開(kāi)于YF并且UFζ×ZF? Uζ,令,OF= (α∈∪∧UFζ×ZF).

(3)因X是|∧|—仿緊的,根據(jù)引理1,存在X的開(kāi)覆蓋{GF:F∈[∧]＜ω},使得,?F∈[∧]＜ω, G—F? GE,且 ?E,F∈[∧]＜ω,若 F? E,則GF?GE,?F∈[∧]＜ω.

(6)對(duì) ?n∈ω,令Hn={π-F1(VFnζ)∩KF:F∈[∧]＜ω,ζ∈ ∑VFnζ∈VFn}〈,Hn〉n∈ω是U={Uζ: ζ∈∑}的開(kāi)加細(xì)序列.首先,?x∈X,因{KF:F∈[∧]＜ω}是 X的開(kāi)覆蓋,故,?F∈[∧]＜ω,得 x∈KF,并且對(duì)于 ?n∈ω,VFn={VFnζ:ζ∈∑}是TF的開(kāi)覆蓋,則對(duì) ?n∈ω,使πF(x)=xF∈FFnζ,即 x∈π-F1(UFα)∩KF.其次,?n∈ω,因 VFnζ?UFζ,π-F1(VFnζ)∩KF?π-F1(UFζ)? UFζ×ZF? Uζ.故,〈Hn〉n∈ω是U={Uζ:ζ∈∑}的開(kāi)加細(xì).

(7)對(duì)于 ?F∈[∧]＜ω,?n∈ω,使得1≤ord(x,Hn)＜ω.事實(shí)上,?x∈π-1F(DF),則,x∈KF?CF=(IntTF)×ZF.故對(duì) ?n∈ω,?Fn,存在n∈ω,使得1≤ord(xF,VFn)＜ω,并且(Hn)x= {π-1F(VFζ)∩KF:VFnζ∈(VFn)xF}.即,?n∈ω,有1≤ord(x,Hn)＜ω,從而 X是幾乎弱θ加細(xì)的.

[1]蔣繼光.一般拓?fù)鋵W(xué)選講[M].成都:四川教育出版社, 1991.

[2]Engeking R.General Topology[M].Marszawa:Polish Scientific Pulisher,1977.

[3]Chiba K.Normality of Inverse Limits[J].Math Japonica,1990, 35(5):959-970.

[4]Grabner E,Grabner G.Nearly Metacompact Spaces[J].T opology Appl,1999,98(1):191-201.

[5]高國(guó)士.拓?fù)淇臻g論[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[6]Kemoto N,Yajina Y.Orthocompactness in Products[J].Tsukuba J Math,1992,16(2):407-422.

[7]曹金文.幾乎仿緊空間[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2003,19 (1)57-60.