一類四階Neumann邊值問(wèn)題解的存在性

黃永峰

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系,新疆昌吉 831100)

由上式知,

0 引 言

近年來(lái),高階邊值問(wèn)題因其在物理及工程學(xué)中較高的應(yīng)用價(jià)值而受到廣泛的關(guān)注.一些學(xué)者研究了高階邊值問(wèn)題正解的存在性,得到了一些較好的結(jié)果[1,2].在研究中,學(xué)者們利用錐拉伸或錐壓縮定理以及不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論在非線性項(xiàng)滿足超線性或次線性條件獲得結(jié)論.此外,還有學(xué)者利用臨界點(diǎn)理論及Morse理論研究了高階邊值問(wèn)題解的存在性[3-6].特別地,文獻(xiàn)[4]利用臨界點(diǎn)理論和Morse理論并結(jié)合局部環(huán)繞定理得到了四階帶參數(shù)Dirichlet邊值問(wèn)題解的存在性,文獻(xiàn)[6]運(yùn)用鞍點(diǎn)定理及臨界點(diǎn)理論得到了四階帶參數(shù)的Neumann邊值問(wèn)題的解的存在性.基于以上的研究工作,本文考慮如下的問(wèn)題,

1 預(yù)備知識(shí)

令 E=C[0,1]為[0,1]上的連續(xù)函數(shù)并按范數(shù) ‖u‖C=tm∈[a0x,1]|u(t)|構(gòu)成的實(shí)Banach空間, L2[0,1]為[0,1]上所有平方可積的函數(shù)構(gòu)成的實(shí)Hilbert空間,其范數(shù)為,

設(shè) Gi(t,s)為線性邊值問(wèn)題,

由此知,邊值問(wèn)題在 C4[0,1]中的解等價(jià)于下列方程,

在 C[0,1]中的解.

易知,G(t,s)為連續(xù)的,且邊值問(wèn)題的解等價(jià)于積分方程,

令,

在 C[0,1]中的解.

定義算子 K,

則邊值問(wèn)題在C4[0,1]中的解當(dāng)且僅當(dāng)其為算子方程,u=Kf→u,在 C[0,1]中的解.

為了證明需要,下面給出一些臨界點(diǎn)理論及局部環(huán)繞的基本定義和引理.

定義1[7]設(shè)D是實(shí)Banach空間E中的開(kāi)集,泛函J:D→R1在D上是Frechet可微,若有,u0∈D,使得J′(u0)=0,則稱,u0是泛函J的一個(gè)臨界點(diǎn).

定義2[7]設(shè) E實(shí)Banach空間,J∈C1(E, R1).如果,{un}? E,J(un)→c,J′(un)→θ,n→∞,蘊(yùn)涵{un}有收斂子列,則稱泛函J滿足(PS)c條件.如果對(duì)于所有的c均滿足(PS)c條件,則稱泛函J滿足PS條件.

定義3[8]設(shè)J(θ)=0,E=V⊕X,dimV＜+∞,X為實(shí)Banach空間.如果存在ρ＞0,使得,

那么稱J在θ點(diǎn)局部環(huán)繞.

定義4[8]設(shè) u0是泛函J的一個(gè)孤立臨界點(diǎn), J(u0)=c,U是u0的一個(gè)鄰域,且在U中,J除u0外沒(méi)有其他臨界點(diǎn),稱,

Cq(J,u0)=Hq(Jc∩U,(Jc∩U){u0}),q=0,1,2,…,為J在u0的第 q個(gè)臨界群,其中,Hq(X,Y)為第 q個(gè)奇異相對(duì)同調(diào)群,其系數(shù)為整數(shù)群.若至少有一個(gè)臨界群是非平凡的,則稱 u0是J的一個(gè)同調(diào)非平凡臨界點(diǎn).

引理1[9]算子方程,u=Kf→u,在 C[0,1]中有解,當(dāng)且僅當(dāng),v=K1/2f→K1/2v,在L2[0,1]中有解.

引理2[3]如果泛函,

有一個(gè)臨界點(diǎn),u∈L2[0,1],則邊值問(wèn)題在 C4[0, 1]中有一個(gè)解.

引理3[8]假設(shè)J∈C1(E,R1)滿足 PS條件,且在θ點(diǎn)局部環(huán)繞,則θ為J的一個(gè)同調(diào)非平凡臨界點(diǎn).

2 主要結(jié)論及證明

引理4[6]假設(shè)(H1)及(H2)滿足,那么存在M∞＞0使得,

取{un}∈L2[0,1],使得 ‖un‖→∞,且有J(un)≤C,其中,C ∈R為常數(shù).定義 vn= un/‖un‖,取其子列不妨仍記為{vn},使得存在 v0∈L2[0,1],有{vn}弱收斂到 v0,且 ‖v0‖≤1.同時(shí),由 K1/2的全連續(xù)性知,K1/2vn→K1/2v0于 L2[0, 1],同時(shí)有,

引理5 假設(shè)(H1)及(H2)滿足,那么有:

(i)J在L2[0,1]是強(qiáng)制的,即 J(u)→+ ∞,‖u‖→∞;

(ii)J滿足PS條件.

證明 (i)假設(shè)(H1)及(H2)滿足,令,

則由引理4知,

由上式知,

故,(Kv0,v0)=λ0‖v0‖2.v0=±ρ0e0,ρ ∈(0,1],K1/2v0(t)≠0,t∈[0,1],并有,

因此,當(dāng) n→∞時(shí),

由上式的矛盾知假設(shè)不成立.因此,J在L2[0, 1]是強(qiáng)制的.

定理1 假設(shè) f(t,0)=0,對(duì)(H1)、(H2)和(H3)滿足,那么邊值問(wèn)題至少有2個(gè)平凡解.

證畢.

3 應(yīng)用舉例

考慮邊值問(wèn)題,

其中,

通過(guò)計(jì)算知,

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