具非線性擴散系數(shù)的中立拋物型方程的振動結(jié)果*

羅李平,楊 柳

(衡陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系,湖南衡陽421002)

偏泛函微分方程來源于動力學(xué)、生物遺傳工程、控制論和人口動力學(xué)中眾多的數(shù)學(xué)模型,具有強烈的實際背景。文獻[1]在研究一維時滯擴散方程邊值問題時最早提出了一類時滯拋物型方程解的振動性問題,文獻[2]首次研究了一類中立雙曲型方程解的振動性問題。之后,關(guān)于時滯(中立)雙曲型或拋物型方程解的振動性研究,已取得許多很好的成果,參見文獻[3-8]。相對而言,關(guān)于非線性擴散系數(shù)情況下的雙曲型或拋物型方程解的振動性的研究還不多見。本文在上述文獻的基礎(chǔ)上,利用新的處理非線性方程非線性項的方法,討論一類特殊的具非線性擴散系數(shù)的中立型拋物方程在Robin邊值條件下解的振動性問題,通過將這類方程解的振動判別問題轉(zhuǎn)化為時滯微分不等式最終正解的存在性問題,建立了判別其所有解振動的不需要利用特征值的若干充分條件,所得結(jié)果充分表明了時滯量的決定性作用。

考慮如下的中立拋物型方程

其中Ω

同時考慮如下的Robin邊值條件:

其中N表示9Ω的單位外法向量,β(x)∈C(9Ω)。

本文總假設(shè)下列條件成立:

定義1 問題(1),(2)的解u(x,t)∈C2(G)∩C1(?G)在G內(nèi)稱為振動的,若Πμ>0,存在點(x0,t0)∈Ωx[μ,∞),使得u(x0,t0)=0成立;否則稱為非振動的。

定理1 若微分不等式

無最終正解,則問題(1),(2)的所有解在G內(nèi)振動。

證明 假設(shè)問題(1),(2)有1個非振動解u(x,t),不失一般性,設(shè)u(x,t)>0,(x,t)∈Ω×[μ,∞),μ≥0(u(x,t)<0的情形,令,類似可證明之),則由條件(H1),(H2)知,存在t1≥μ,使得gk(t,ξ)≥μ,(t,ξ)∈[t1,∞)×[a,b],且有τi(t)≥μ,ρj(t)≥μ,t≥t1,因此u(x,gk(t,ξ))>0,(x,t,ξ)∈Ω×[t1,∞)×[a,b],u(x,τi(t))>0,u(x,ρj(t))>0,(x,t)∈Ω×[t1,∞),i∈Im1,j∈Im2,k∈Im3。

在區(qū)域Ω上方程(1)兩邊關(guān)于x積分,得

由Green公式,邊值條件(2)及(H3)有

其中d S是9Ω上的面積元素。

由(H4)有

交換積分順序并由Jensen不等式及(H4)有

U(t)是微分不等式(3)的一個最終正解,而這與定理1的題設(shè)矛盾。證畢。

引理1[9]設(shè)非減,且若

存在i∈Im,使得

則微分不等式

無最終正解。

定理2 設(shè)下列條件成立:

若存在k∈Im3,使得

則問題(1),(2)的每一個非零解在G內(nèi)振動。

證明 假設(shè)問題(1),(2)有1個非振動解u(x,t),不失一般性,設(shè)u(x,t)>0,(x,t)∈Ω×[μ,∞),μ≥0,則類似于定理1的證明知,存在t1≥μ,使得u(x,gk(t,ξ))>0,(x,t,ξ)∈Ω×[t1,∞)×[a,b],u(x,τi(t))>0,u(x,ρj(t))>0,(x,t)∈Ω×[t1,∞),i∈Im1,j∈Im2,k∈Im3,且有微分不等式(8)。于是結(jié)合(H7),由式(8)可得

由式(11)易知,Z′(t)≤0,t≥T1,即Z(t)在[t1,∞)上非增。注意到條件(H6),知Z(t)不會最終為零。下證Z(t)>0,t≥t1。事實上,若Z(t)<0,則可推得U(t)有界,t≥t1。倘若不然,則存在序列{tn}<[t1,∞),使得且于是結(jié)合(H6)有

由U(t)有界知,存在2個序列{tn},{t*n}<[t1,∞),使得且

在(13),(14)式中,分別令n→∞,并結(jié)合(H6),可得

于是由(15),(16)式可得

因此Z(t)>0,t≥t1。顯然Z(t)是微分不等式(11)的1個最終正解。但據(jù)(9)及引理1知,(11)無最終正解,矛盾。證畢。

注:利用本文的方法可以類似地討論方程(1)分別滿足Dirichlet邊值條件

或Neumann邊值條件

的解的振動結(jié)果。只要將文中的假設(shè)條件(H3)分別改為:

或

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