一類受持續(xù)擾動(dòng)的非線性時(shí)滯系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制*

高洪偉,唐功友

(1.青島農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東青島266109;2.中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,山東青島266100)

一類受持續(xù)擾動(dòng)的非線性時(shí)滯系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制*

高洪偉1,唐功友2

(1.青島農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東青島266109;2.中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,山東青島266100)

研究一類受已知?jiǎng)討B(tài)特性的外部擾動(dòng)作用的非線性時(shí)滯系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制問題?；趦?nèi)模原理構(gòu)造能夠抵消擾動(dòng)影響的伺服補(bǔ)償器,然后利用極大值原理及靈敏度法設(shè)計(jì)帶有補(bǔ)償器的最優(yōu)控制律,使得系統(tǒng)在無擾動(dòng)作用時(shí)以1種最優(yōu)方式運(yùn)行,而有擾動(dòng)作用時(shí),控制律能夠消除擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差,實(shí)現(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制。最后,通過仿真算例驗(yàn)證提出算法的有效性。

非線性時(shí)滯系統(tǒng);內(nèi)模原理;最優(yōu)控制;擾動(dòng)抑制;靈敏度法

在化工過程、交通、生物、熱交換系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)控制等系統(tǒng)中,普遍存在著非線性時(shí)滯系統(tǒng),而階躍擾動(dòng)、斜坡擾動(dòng)及滿足某一類齊次微分方程的信號(hào)等持續(xù)擾動(dòng),廣泛存在于海洋平臺(tái)的實(shí)時(shí)控制[1]、飛機(jī)飛行姿態(tài)控制[2]以及工業(yè)機(jī)械[3]等系統(tǒng)當(dāng)中。時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制算法的綜合是重要的研究課題,許多學(xué)者在理論和實(shí)踐上進(jìn)行了大量的研究工作[4-7]。近年來,擾動(dòng)抑制備受關(guān)注,并取得了一定的成果。滑?？刂茖?duì)有界干擾和參數(shù)變化具備魯棒性,可以削弱由于負(fù)載變化或隨機(jī)干擾對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響,但存在抖振問題[8];Bodson針對(duì)受正弦擾動(dòng)的系統(tǒng)提出了自適應(yīng)擾動(dòng)抑制算法[9],Pi等構(gòu)造了擾動(dòng)觀測(cè)器用于估計(jì)和補(bǔ)償外界擾動(dòng)[10];針對(duì)有界擾動(dòng),唐等利用前饋反饋控制技術(shù)實(shí)現(xiàn)了受擾控制系統(tǒng)的近似最優(yōu)擾動(dòng)抑制[11],但前饋技術(shù)不能實(shí)現(xiàn)無靜差控制;內(nèi)模原理[12]是抑制干擾的1種有效手段,將干擾視為由1個(gè)外部動(dòng)態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào),若控制回路內(nèi)包含產(chǎn)生干擾的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的全部信息,則可完全消除干擾的影響,實(shí)現(xiàn)無靜差控制。對(duì)于受持續(xù)擾動(dòng)的非線性時(shí)滯系統(tǒng),由于系統(tǒng)本身和設(shè)計(jì)控制的復(fù)雜性,目前的研究成果相對(duì)較少,尚有許多問題亟待解決。

本文研究受持續(xù)擾動(dòng)的非線性時(shí)滯系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制問題。首先利用內(nèi)模原理,構(gòu)造擾動(dòng)補(bǔ)償器并置于閉環(huán)控制系統(tǒng)的反饋通道以抵消擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。然后基于靈敏度法,將具有二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題所導(dǎo)致的非線性兩點(diǎn)邊值(TPBV)問題,化為線性TPBV問題,求解該線性TPBV問題得到最優(yōu)控制律,繼而求得原控制系統(tǒng)的無靜差擾動(dòng)抑制控制律。

1 問題描述

考慮受擾的時(shí)滯非線性系統(tǒng)

其中x∈Rn,u∈Rp,y∈Rm和w∈Rm分別是狀態(tài),控制,輸出和擾動(dòng)向量,f(x):Rn→Rn是關(guān)于x的各階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的非線性函數(shù)向量,且f(0)=0,A,A1,B,C和D是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣,<(t)為已知的連續(xù)初始向量函數(shù),τ>0為常數(shù)時(shí)滯項(xiàng)。擾動(dòng)w由以下外系統(tǒng)產(chǎn)生

假設(shè)1 矩陣(A,B)是完全可控的。

假設(shè)2 dim(u)≥dim(y)。

假設(shè)3 對(duì)于矩陣G的每個(gè)特征值θj,都有

2 主要結(jié)果

2.1 補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

為消除擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響,利用內(nèi)模原理構(gòu)造如下伺服補(bǔ)償器

其中z0為常數(shù)。將內(nèi)模擾動(dòng)補(bǔ)償器與系統(tǒng)(1)串聯(lián)得

記作

其中

對(duì)于系統(tǒng)(5),要實(shí)現(xiàn)的是尋求一控制律使其閉環(huán)穩(wěn)定且穩(wěn)態(tài)輸出誤差為0。

2.2 控制器設(shè)計(jì)

考慮系統(tǒng)(5)的閉環(huán)穩(wěn)定問題時(shí)可以不考慮擾動(dòng)的影響,即可假定擾動(dòng)w(t)=0。因此,對(duì)于無擾動(dòng)作用的系統(tǒng)(5),可以考慮其最優(yōu)控制問題,以極大值原理來設(shè)計(jì)使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的最優(yōu)控制律。選取如下二次型性能指標(biāo)

其中Q=block-diag{Q0,Q1},Q0是半正定矩陣且滿足最優(yōu)調(diào)節(jié)器的一般條件,Q1和R是正定矩陣。

由假設(shè)1知,rank[s I-A和B]=n。當(dāng)s≠θj(j=1,2,…m),即s不是G的特征根時(shí),rank[s I-G]=m顯然成立。因此有下式成立

當(dāng)s=θj(j=1,2,…m),即s是G的特征根時(shí),

由假設(shè)3可得rankΩ=n+2m。而由(G,Im)完全可控知,rankΓ=n+m。因此,利用Sylvester不等式,可以證得(7)成立。綜上分析,(?A,?B)是完全可控的。又Q0是半正定矩陣且滿足最優(yōu)調(diào)節(jié)器的一般條件,Q1和R是正定矩陣。因此系統(tǒng)(5)關(guān)于性能指標(biāo)(6)的最優(yōu)控制律存在且唯一。根據(jù)最優(yōu)控制問題的必要條件可以導(dǎo)出

和最優(yōu)控制律

考慮到TPBV問題(9)的解析解一般是不存在的,引入1個(gè)與時(shí)間t無關(guān)的實(shí)標(biāo)量靈敏度參數(shù)ε(0≤ε≤1),構(gòu)造變量函數(shù)和,則問題(9)被轉(zhuǎn)化為如下新的TPBV問題

最優(yōu)控制律具有如下形式

其中

將(13)代入(12),并令ε=1可得最優(yōu)控制律的表達(dá)式為

定理1 如果假設(shè)1～3的條件成立,且矩陣對(duì)(?A,Q1/2)完全可觀測(cè),那么系統(tǒng)(5)關(guān)于性能指標(biāo)(6)的最優(yōu)控制律為

其中P是下列Riccati矩陣方程的唯一正定解

gi(t)由下列第i階伴隨向量微分方程求得

x(i)(t)由微分方程(18)和(19)求得

證明 將各函數(shù)的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式(13)代入含靈敏參數(shù)ε的TPBV問題(11),并比較等式2邊ε的同次項(xiàng),可得

將(13)代入含靈敏度參數(shù)的最優(yōu)控制律(12),比較等式2邊ε的同次項(xiàng),得

由(14)可知,只要得到u(i)(t),即可求得系統(tǒng)的最優(yōu)控制律。令

其中g(shù)0(t)=0。將(23)(i=0時(shí))代入(20)第1,2式可得矩陣Riccati方程(16)。由矩陣對(duì)完全可控,且完全可觀測(cè),因此Riccati矩陣方程(16)有唯一的正定解矩陣P。由(23),(20)和(21)可得(18)和(19)。將(23)(i=1,2,…時(shí))2邊求導(dǎo)并將(19)代入,得到

將(24)與(21)的第2式等式2邊相加,并利用(23)和(16),即可得到求解伴隨向量的微分方程(17)。由線性系統(tǒng)最優(yōu)控制理論知,矩陣的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部,且伴隨向量方程(17)中,和的算法見文獻(xiàn)[13])都是已知項(xiàng),因此求解gi的過程是一個(gè)線性迭代過程,而且對(duì)任意的t,gi(t)的終值有界,并有g(shù)i(∞)=0。

將(23)代入(22),得到

通過以上討論可知,x(i)(t)和gi(t)可通過迭代求解一族線性狀態(tài)向量方程(18),(19)和線性伴隨向量方程(17)求得,矩陣P可通過求解Riccati矩陣方程(16)得到。因此,將(25)代入(14)即可得到系統(tǒng)(5)關(guān)于性能指標(biāo)(6)的最優(yōu)控制律(15)。證畢。

注1 最優(yōu)控制律(15)由狀態(tài)反饋項(xiàng)和1個(gè)級(jí)數(shù)項(xiàng)組成。如果系統(tǒng)(5)不存在時(shí)滯項(xiàng)和非線性項(xiàng),即?f(?x)=0,則由(17)得,gi(t)≡0(i=1,2,…),這說明最優(yōu)控制律中的級(jí)數(shù)項(xiàng)的作用是補(bǔ)償時(shí)滯及非線性特性對(duì)系統(tǒng)的影響。

實(shí)際中次優(yōu)控制迭代的次數(shù)可以按要求滿足的控制精度來確定。給定控制精度δ>0,每迭代一次,計(jì)算性能指標(biāo)Ji。當(dāng)

令M=i(其中L是某個(gè)給定的正整數(shù)),因此可得到系統(tǒng)的次優(yōu)控制律uM(t)。

令P=[P1P2],則控制律(26)可以寫成

從圖1可以看出,控制律(28)由精確的狀態(tài)反饋項(xiàng)、內(nèi)模補(bǔ)償項(xiàng)以及伴隨向量的級(jí)數(shù)和形式的補(bǔ)償項(xiàng)組成,其中狀態(tài)反饋項(xiàng)用以鎮(zhèn)定控制系統(tǒng),內(nèi)模補(bǔ)償項(xiàng)用以抵消擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響,伴隨向量的級(jí)數(shù)和形式的補(bǔ)償項(xiàng)則用以補(bǔ)償非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的影響,因此當(dāng)系統(tǒng)存在擾動(dòng)時(shí),內(nèi)?？梢匝a(bǔ)償擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差,控制律(28)即為系統(tǒng)(1)的無靜差擾動(dòng)控制律。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the control system s

3 仿真

考慮由系統(tǒng)(1)描述的非線性系統(tǒng),其中

由外系統(tǒng)(2)描述的擾動(dòng),其中

設(shè)計(jì)擾動(dòng)補(bǔ)償器為

選取由(6)描述的性能指標(biāo),其中

(1)當(dāng)w(t)=0時(shí),受控系統(tǒng)在不同迭代次數(shù)下性能指標(biāo)的值見表1。

表1 不同迭代次數(shù)的性能指標(biāo)Table 1 Perfo rmance index values at different iteration times

從表1可以看出,J0>J1>…>J4,即隨著迭代次數(shù)的增加性能指標(biāo)的值不斷減小且最終收斂于1個(gè)穩(wěn)定的最優(yōu)值J*。令δ=0.005,L=2,則|(J2-J4)/J4|=0.003 8<δ,這說明經(jīng)5次迭代可以滿足控制精度要求,因此第4階控制律u4可以看作是系統(tǒng)(5)的近似最優(yōu)控制律。當(dāng)w(t)=0時(shí),輸出及控制律的曲線見圖2～5。由圖可以看出,當(dāng)系統(tǒng)不受擾動(dòng)作用時(shí),本文設(shè)計(jì)的控制律能使系統(tǒng)以較快的速度收斂于最優(yōu)軌線,所需的控制力也隨迭代次數(shù)的增加而減小。

圖2 輸出y1的仿真曲線Fig.2 Simulation curves of the output y1

圖3 輸出y2的仿真曲線Fig.3 Simulation curves of the output y2

圖4 控制u1的仿真曲線Fig.4 Simulation curves of the control law u1

(2)當(dāng)系統(tǒng)受發(fā)散擾動(dòng)作用時(shí),系統(tǒng)的仿真曲線見圖6,從圖中可以看出,當(dāng)t→∞時(shí),系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)誤差為與零,所以本文設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制。

圖5 控制u2的仿真曲線Fig.5 Simulation curves of the control law u2

圖6 有擾動(dòng)作用時(shí)系統(tǒng)輸出曲線Fig.6 Simulation curvesof the output

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)一類受持續(xù)擾動(dòng)的非線性時(shí)滯系統(tǒng),基于內(nèi)模原理構(gòu)造了擾動(dòng)伺服補(bǔ)償器,并將其植入受控系統(tǒng)的反饋通道,與受控系統(tǒng)串聯(lián)組成1個(gè)增廣系統(tǒng)。然后,利用極大值原理和靈敏度法,設(shè)計(jì)了能夠補(bǔ)償狀態(tài)時(shí)滯和非線性對(duì)系統(tǒng)影響的增廣系統(tǒng)的最優(yōu)控制器。當(dāng)系統(tǒng)受非漸近穩(wěn)定的擾動(dòng)的影響時(shí),由于得到的控制律中包含能夠抵消擾動(dòng)影響的內(nèi)模狀態(tài),因此能夠消除擾動(dòng)引起的輸出穩(wěn)態(tài)誤差,實(shí)現(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制。最后通過仿真研究驗(yàn)證了本文提出的方法的有效性。

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Disturbance Rejection fo r a Class of Nonlinear Time-Delay System swith Persistent Disturbances

GAO Hong-Wei1,TANG Gong-You2
(1.College of Mechanical and Electronic Engineering,Qingdao Agricultural University,Qingdao 266109,China;2.College of Info rmation Science and Engineering,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

This paper is concerned with the disturbance rejection p roblem for nonlinear system s with time-delay affected by additive persistent disturbanceswith know n dynamic characteristics.In order to achieve a zero steady-state erro r disturbance rejection,a disturbance compensato r is constructed based on the internalmodel p rinciple.Then,an op timal control law with a compensation term is designed by the maximum p rincip le and the sensitivity app roach,w hich can realize the op timal control w hen the system has none disturbances.W hile the disturbance exists,this obtained contro l law can reject the disturbance with zero steady-state erro r because of the existence of the internalmodel.Simulation examp les show the effectiveness of the presented algorithm.

nonlinear time-delay system s;internal model p rincip le;optimal control;disturbance rejection;sensitivity app roach AMS Subject Classifications: TP13

TP13

A

1672-5174(2011)09-103-06

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60574023,40776051);山東省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(Z2005G01);青島農(nóng)業(yè)大學(xué)高層次人才啟動(dòng)基金項(xiàng)目(630805)資助

2011-01-23;

2011-06-20

高洪偉(1979-),女,博士。E-mail:gaohw97@126.com

責(zé)任編輯 陳呈超