形式三角代數(shù)的零積導子

謝樂平

(懷化學院數(shù)學系,湖南懷化 418008)

假定A,B是兩個有單位元的環(huán),一個(A,B)-雙模M是指M是一個左A-模,同時也是一個右B-模,并且 ?a∈A,m∈M,b∈B,有(am)b=a(mb).形式三角代數(shù)定義為

假定A,B是兩個有單位元的環(huán)(不要求是交換環(huán)),M為有單位元的(A,B)-雙模,1A,1B分別表示A,B的單位元,1為M的單位元.設(shè)F=Tri(A,M,B)為形式三角代數(shù).我們稱φ為F上的零積導子,是指 ?x,y∈F,如果xy=0,那么一定有φ(x)y+xφ(y)=0.如果零積導子的運算是Lie運算[x,y]=xy-yx,則對應(yīng)的零積導子我們稱為Lie零積導子.

定理1導子一定是零積導子.

下面是本文的主要定理,給出了形式三角代數(shù)的零積導子的結(jié)構(gòu).

其中可加線性映射φ3滿足φ3(1A,0,0)=-φ3(0,0,1B).

將所制備的混凝土試樣1～5號養(yǎng)護28 d后進行收縮性檢測.基準混凝土試樣28 d收縮率為2.65×10-6，以低碳混凝土28 d的收縮率與基準混凝土收縮率的比值為收縮率比，測試結(jié)果如圖2所示.由圖2可知，低碳混凝土試樣的收縮率比均小于基準低碳混凝土的收縮率比.當煅燒高嶺土替代礦粉質(zhì)量分數(shù)為20%時，試樣的收縮率比為95%.繼續(xù)增大煅燒高嶺土的替代率，混凝土的收縮率比變化不明顯.煅燒高嶺土中含有大量的活化礦粉組分Al2O3 和SiO2，Al2O3和SiO2與Ca(OH)2反應(yīng)生成硅鋁酸鹽結(jié)構(gòu)的膠凝材料，進一步填充了混凝土的毛細孔，在一定程度上降低了其表面張力，減小了收縮率比.

證明e,f,g構(gòu)成形式三角代數(shù)的一組基.

由ef=0,φ為零積導子,所以φ(e)f+eφ(f)=0,結(jié)合(1)式得

經(jīng)過計算得

由ge=0,φ為零積導子,所以φ(g)e+gφ(e)=0,結(jié)合(1)式類似可得

由fg=0,φ為零積導子,所以φ(f)g+fφ(g)=0,結(jié)合(1)式類似可得

φ1(a,m,b)=φ1(a),φ2(a,m,b)=φ2(b).

再由 (2)式第二個等式可得φ3(1A,0,0)=-φ3(0,0,1B).定理2證畢.

其中雙模同態(tài)σ3滿足σ3(1A,0,0)=-σ3(0,0,1B).

因為σ為導子,所以σ(xy)=σ(x)y+xσ(y).所以有

σ1(ac)=σ1(a)c+aσ1(c),σ2(bd)=σ2(b)d+bσ2(d)

即σ1,σ2為A,B上的導子.同時還有

σ3(ac,an+md,bd)=σ1(a)n+σ3(a,m,b)d+aσ3(c,n,d)+mσ2(d)

所以σ3為雙模同態(tài),同時由定理2還可得σ3滿足σ3(1A,0,0)=-σ3(0,0,1B).

定理3形式三角代數(shù)F=Tri(A,M,B)上的零積導子一定是Lie零積導子.

證明設(shè)τ為形式三角代數(shù)F上的Lie零積導子,則 ?x,y∈F,滿足[x,y]=0,則有[τ(x),y]+[x,τ(y)]=0,等價于

[τ(x)y+xτ(y)]-[yτ(x)+τ(y)x]=0

如果τ為零積導子,則τ(x)y+xτ(y)=0.

又由[x,y]=0可得[y,x]=0,所以同樣有yτ(x)+τ(y)x=0.

因此,形式三角代數(shù)F上的零積導子τ一定是Lie零積導子.

但是,零積導子不一定是導子.Lie零積導子也不一定是零積導子,下面列舉一些簡單的例子.

例1形式三角代數(shù)F=Tri(A,M,B),取A=B=Z(整數(shù)環(huán)),M為有理數(shù)域,?x∈F,定義F上的線性映射μ(x)=kx(k∈Z).

當k=0,1時,μ顯然是F上的零積導子.同時μ還是F上的導子.

當k≠0,1時,μ是F上的零積導子,但μ不是F上的導子.

例2形式三角代數(shù)F=Tri(A,M,B),設(shè)A=B,?x=(a,m,b)∈F,定義F上的線性映射v(x)=(ψ(a),0,ψ(b)),其中ψ為A,B上非零的可加線性映射.

v為F上的零積導子,也是F上的Lie零積導子,但不是F上的導子.

例3形式三角代數(shù)F=Tri(A,M,B),?x=(a,m,b)∈F,定義F上的線性映射ω(x)=(a+b,m+a-b,b+a).

ω為F上的Lie零積導子,但不是F上的零積導子.

[1]A.haghany,K.Varajan.Study offormal triangular matrix rings[J].Comm.Algebra,1999,27(11)：5507-5525.

[2]W.S.Cheung.Commuting maps of triangular algebras[J].J.London Math.Soc,2001,63(2)：117-127.

[3]W.S.Cheung.Lie derivations of triangular of triangular algebras[J].Linear Mult Algebra,2003,51：299-310.

[4]D.Benkovic,D.Eremita.Commuting traces and commutativety preserving maps on triangular algebras[J].J Algebra,2004,280：797-824.

[5]T.L.Wong.Jordan isomorphisms of triangular rings[J].Proc.Amer.Math.Soc,2005,133：3381-3388.

[6]J.H.Zhang,W.Y-yua.Jordan derivations of triangular algebras[J].Linear Algebra Appl,2006,419：251-255.

[7]謝樂平,曹佑安.形式三角矩陣環(huán)的導子和自同構(gòu) [J].數(shù)學雜志,2006,26(2)：165-170.

[8]Marin Gutana,Andrzej Kisielewicz.Rings and semigroups with permutable zero products[J].Journal of Pure and Applied Algebra,2006,206：355-369.

[9]Jian-Hua Zhang,An-Li Yang,Fang-Fang Pan.Linear maps preserving zero products on nest subalgebras of von Neumann algebras[J].Linear Algebra Appl,2006,412：348-361.

[10]Mikhail A Chebotar,Wen-Fong Ke.On Maps preserving zero Jordan products[J].Monatsh,Math,2006,149：91-101.

[11]Jinchuan Hou,Meiyan Jiao.Additive maps preservingJordan zero-products on nest algebras[J].Linear Algebra Appl,2008,429：190-208.

[13]Deng-yin Wang,Xiaoxiang Yu,A class of zero product determined Lie algebras[J].Journal of Algebra,2011,331：145-151.