基于Geogebra的中職數(shù)學(xué)可視化教學(xué)實(shí)踐

袁蘭蘭

摘 要：本文以Geogebra軟件在中職數(shù)學(xué)中發(fā)揮的可視化功能為切入口，從數(shù)學(xué)問(wèn)題可視化、數(shù)學(xué)猜想可視化以及數(shù)學(xué)概念可視化三個(gè)方面進(jìn)行實(shí)踐研究，將中職數(shù)學(xué)中比較抽象、空間度較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)以一種動(dòng)態(tài)的過(guò)程演變、可視化的形式進(jìn)行最終呈現(xiàn)，使學(xué)生理解知識(shí)的原理，真正掌握知識(shí)點(diǎn)，更好地進(jìn)行知識(shí)正遷移。

關(guān)鍵詞：Geogebra? ? 可視化? ? 中職數(shù)學(xué)

Geogebra自2006年正式發(fā)布后，在數(shù)學(xué)教育界得到越來(lái)越多的認(rèn)可。Geogebra支持幾何、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)、微積分等教學(xué)，幾乎覆蓋整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域。借助該軟件，教師可以設(shè)計(jì)更直觀的教學(xué)方式，為學(xué)生創(chuàng)造更直觀的學(xué)習(xí)環(huán)境。

一、數(shù)學(xué)問(wèn)題可視化

數(shù)學(xué)探究的源頭是問(wèn)題，教師利用Geogebra的動(dòng)態(tài)演示功能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)易于認(rèn)識(shí)問(wèn)題的良性認(rèn)知環(huán)境，將數(shù)學(xué)問(wèn)題以動(dòng)態(tài)的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，使數(shù)學(xué)問(wèn)題更具直觀性和形象性，便于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而高效地提出問(wèn)題和解決問(wèn)題。

（一）軌跡追蹤，理解數(shù)學(xué)問(wèn)題

案例1.集合的交

問(wèn)題：設(shè)集合A={（x，y）|x+y=0}，┤集合B={（x，y）|x-y=4}，┤求A∩B。

集合的交是中職數(shù)學(xué)第一章第三節(jié)的內(nèi)容，主要引導(dǎo)學(xué)生掌握三類(lèi)集合的交集求法，其中點(diǎn)集的交是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生普遍不理解問(wèn)題中的點(diǎn)集具體是什么，更無(wú)從求解點(diǎn)集的交。運(yùn)用Geogebra中的軌跡追蹤功能，就能形象地展示出集合A、B中的所有點(diǎn)（見(jiàn)圖1），學(xué)生通過(guò)觀察得出求點(diǎn)集的交只需求方程組的解。

（二）視圖變換，掌握數(shù)量關(guān)系

案例2.球的表面積與體積

問(wèn)題：把一個(gè)半徑為R的球放入棱長(zhǎng)為4的正方體中，測(cè)得球底距正方體底面為3，求球的半徑R。

球是中職數(shù)學(xué)第九章第五節(jié)的內(nèi)容，由于學(xué)生空間想象能力普遍較弱，不能較好理解題意，所以教師可以運(yùn)用Geogebra中的三視圖功能，從不同角度向?qū)W生展示題干中的數(shù)量關(guān)系。首先，以直觀圖的方式引導(dǎo)學(xué)生直觀理解問(wèn)題;變換角度，從上方俯視，學(xué)生進(jìn)一步理解球與正方體的截面是圓且是球的小圓;從前方正視，學(xué)生清晰地看到一個(gè)直角三角形（見(jiàn)圖2），從而引導(dǎo)學(xué)生輕松解決問(wèn)題。

二、數(shù)學(xué)猜想可視化

猜想是數(shù)學(xué)探究教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，可以提升學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。教師對(duì)學(xué)生的猜想不能輕易地加以肯定與否定，要用科學(xué)的態(tài)度來(lái)對(duì)待學(xué)生的猜想與發(fā)現(xiàn)。教師可以運(yùn)用Geogebra對(duì)學(xué)生的部分猜想進(jìn)行驗(yàn)證，從而提高學(xué)生參與課堂互動(dòng)的積極性，擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，促進(jìn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的形成。

案例3.球的體積公式

（一）靜態(tài)展示，直接猜測(cè)結(jié)論

師：觀察三個(gè)等底等高的圓柱、半球、圓錐的體積關(guān)系。

師：寫(xiě)出圓柱和圓錐的體積公式。

師：根據(jù)三個(gè)等底等高的圓柱、半球、圓錐的體積關(guān)系，猜想半球的體積公式。

（二）動(dòng)態(tài)截圖，直觀驗(yàn)證猜想

在Geogebra的3D繪圖區(qū)繪制等底等高的圓柱、圓錐以及半徑與圓柱高相等的球。

師：我們用一個(gè)平面去截球和圓柱中挖去圓錐（同底等高）這兩個(gè)幾何體（見(jiàn)圖3），截面分別為什么圖形？

生4：圓、圓環(huán)。

師：拖動(dòng)截面，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，觀察截面（圓與圓環(huán)）的面積關(guān)系。

生5：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓與圓環(huán)的面積始終相等，因此，上述半球體積等于柱體體積減去錐體的體積。

三、數(shù)學(xué)概念可視化

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)原理、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵所在。通過(guò)可視化的教學(xué)方式，教師可以幫助學(xué)生將隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)顯性化，將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，便于學(xué)生從系統(tǒng)的角度把握數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系。

（一）改變平面位置，體驗(yàn)概念相互關(guān)系

案例4.橢圓的定義

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。在古希臘時(shí)期，人們通過(guò)用平面去截立體圓錐得到橢圓，拖動(dòng)滑桿改變平面位置，還可以得到雙曲線和拋物線，運(yùn)用Geogebra可展示這一過(guò)程（見(jiàn)圖4），因此橢圓、雙曲線以及拋物線統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線。教師利用Geogebra將古希臘人認(rèn)知圓錐曲線的過(guò)程可視化，展示三種曲線的起源，學(xué)生理解了為何三種曲線被統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線。

（二）轉(zhuǎn)變視圖方向，理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)

案例5.二面角的平面角定義

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角。

空間想象能力較弱的學(xué)生理解二面角的平面角定義是有一定困難的。教師借助Geogebra的動(dòng)態(tài)展示，引導(dǎo)學(xué)生理解定義的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：第一，公共棱上任取一點(diǎn);第二，過(guò)點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作公共棱的射線;第三，兩射線所成角。通過(guò)改變點(diǎn)A的位置，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)角度始終不變，明白點(diǎn)A的選取不影響二面角的平面角的值，真正理解“任取”的緣由（見(jiàn)圖5）;改變視角，教師引導(dǎo)學(xué)生直觀感受平面角;固定平面BPQ，讓平面CPQ繞著公共棱PQ旋轉(zhuǎn)，觀察得出平面角的范圍為。

課堂實(shí)踐證明，將Geogebra應(yīng)用到中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，利用Geogebra輔助講解，學(xué)生更容易認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)猜想、掌握數(shù)學(xué)概念以及理解推理過(guò)程，學(xué)習(xí)興趣也得到激發(fā)。

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[3]范文貴.基于信息技術(shù)開(kāi)展數(shù)學(xué)探究可視化的研究[J].中國(guó)電化教育，2008（259）.

（作者單位：嘉興技師學(xué)院）