一類指數(shù)和的加權(quán)均值

秦珍珍，張?zhí)炱?/p>

(陜西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 陜西 西安 710119)

近年來, 很多學者研究了指數(shù)函數(shù)gx在剩余系中的分布問題, 它不僅是數(shù)論研究的重要問題,還可以應(yīng)用在密碼學以及偽隨機序列生成器中。

給定素數(shù)p,設(shè)g滿足(g,p)=1且模p的乘法階為t,定義指數(shù)和

集合S取連續(xù)整數(shù)集[1,X)時，Korobov[1]得到了

(1)

其中X≤t。其證明過程需用如下重要結(jié)果:

(2)

(3)

成立,但對于較小的t沒有得到其非平凡的結(jié)果。文獻[3]進一步得到了當t≥pε時,對于充分大的Q,p∈[Q,2Q]時,至多除了Q5/6+ε個素數(shù)p外(3) 式都成立。

此外,對于經(jīng)典的Kloosterman和

Estermann[4]于1961年給出

目前認為這一估計是最好的。因此,很多學者嘗試通過對Kloosterman和加權(quán)求均值來進一步研究是否存在相消性。例如,Kuznetsov[5]利用固定m、n,對模q求和的加權(quán)均值來研究Linnik猜想。與此相對應(yīng),文獻[6-11]通過固定模q,對系數(shù)m、n分別求和來研究Kloosterman和的加權(quán)均值,相關(guān)結(jié)果都有重要應(yīng)用[10-14]。

注意到對p不加限制時, 對于較小的t很難得到(2)式的非平凡上界估計。本文借鑒研究Kloosterman和的思路,利用文獻[9]的方法來研究(2)式的加權(quán)均值,尋求當t取較小值時的非平凡上界估計。

給定集合I={K+1,…,K+M},J={L+1,…,L+N},并且M≤p,N≤t，復數(shù)序列A={αm}m∈I，B={βn}n∈J，定義以下兩種加權(quán)和

(4)

以及

(5)

利用(2)式容易得到其平凡上界

(6)

和

(7)

利用文獻[9]中的方法可以得到(4)式的非平凡上界。而(5)式的情形更為一般,其估計較(4)式也更為復雜一些。另外,作為(4)式的應(yīng)用,可以估計(1)式的如下均值：

本文主要證明(4)、(5)式中兩個和式的非平凡上界, 證明過程中需用到以下范數(shù)。

為了方便與所得新結(jié)果進行比較,將(6)、(7)式改寫為

(8)

(9)

1 預(yù)備知識

引理1對于固定的整數(shù)m≥1,有

證明見參考文獻[15]中定理8.1。

引理2設(shè)q為正整數(shù),u、L和N為任意的整數(shù)且N≥1,則有

證明見參考文獻[16]中的式(8.6)。

為得到加權(quán)指數(shù)和的上界估計還需引入同余方程

gx1+gx2≡gx3+gx4(modp),

K

其中X≤p。設(shè)I是上述同余方程的解數(shù)。

證明見參考文獻[17]中的定理6。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)p是素數(shù)，t是g模p的乘法階，且N≤t，則

S(A;I,J)?(‖A‖1‖A‖2)1/2p1/4t5/8N3/8。

證明交換求和次序并利用引理2,可以得到

其中

(10)

±x>ei-1t/N},i=1,2,…,H。

(11)

由此可得

其中

固定整數(shù)r≥2，應(yīng)用H?lder不等式，則

將內(nèi)層和展開并交換求和順序, 可得

其中利用了引理1(三角和的正交性)。

|γx|?e-iN。

現(xiàn)在應(yīng)用引理3并且令r=2,則

以及當i>0時有

因此

定理1得證。

注記1若將定理1結(jié)果用無窮范數(shù)表示為

(12)

注記2當M=p時,由定理1的證明可知并不會改變定理的結(jié)果,即

(13)

推論1設(shè)p是素數(shù)，t是g模p的乘法階，且X≤t，則

(‖A‖1‖A‖2)1/2p1/4X5/8。

證明由三角和的正交性可得

其中

ej-1t/X},j=1,2,…,T。

由此利用定理1可得

(‖A‖1‖A‖2)1/2p1/4X5/8。

注記3若將推論1的結(jié)果用無窮范數(shù)表示為

定理2設(shè)p是素數(shù),t是g模p的乘法階, 且N≤t,則

S(A,B;I,J)?(‖A‖2‖B‖2)p1/2t13/16N3/16。

證明應(yīng)用Cauchy不等式可得

|S(A,B;I,J)|2≤(‖A‖2‖B‖2)2

mgy)et(nx-ny)=

(mgy+z-mgy)et(nz)。

交換求和順序并應(yīng)用引理2得

|S(A,B;I,J)|2≤(‖A‖2‖B‖2)2·

(‖A‖2‖B‖2)2·

其中

對于每一個固定的y,類似定理1的證明可得

由此可得

S(A,B;I,J)?‖A‖2‖B‖2p1/2t13/16N3/16。

定理2得證。

注記4若將定理2結(jié)果用無窮范數(shù)表示為

(14)

注記5當βn≡1時，有

S(A,{1}n∈J;I,J)=S(A;I,J)。

可知當βn≡1時定理2的結(jié)果比定理1的結(jié)果較弱,但定理2的適用范圍更為廣泛。