以史為鑒,重構(gòu)課堂
——以“對數(shù)的概念”教學(xué)為例

? 太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 王保紅 梁詩晗

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在課程結(jié)構(gòu)中明晰了“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容”的要求,闡明了“數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點,以及它們的形成和發(fā)展”是數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容.

“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容之一.課標(biāo)要求“收集、閱讀對數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料,撰寫小論文,論述對數(shù)發(fā)明的過程以及對數(shù)對簡化運算的作用”等不作為考試內(nèi)容的要求.人教A版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊“對數(shù)的概念”兩處融入了數(shù)學(xué)史.“閱讀與思考”中,“對數(shù)的發(fā)明”在于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維,使學(xué)生通過數(shù)學(xué)閱讀加深對數(shù)學(xué)知識的深層次理解.“文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作”中,“對數(shù)概念的形成與發(fā)展”是新增設(shè)的版塊,目的是希望學(xué)生自主了解數(shù)學(xué)知識形成與發(fā)展的脈絡(luò),感受數(shù)學(xué)文化.本文中以“對數(shù)的概念”教學(xué)為例,力求在教學(xué)中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)史,以期為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

2 梳理對數(shù)的發(fā)展歷史

2.1 對數(shù)思想的萌芽

約公元前1700年巴比倫泥版上出現(xiàn)了類似解指數(shù)方程的題目.15世紀法國數(shù)學(xué)家許凱(N.Chuquet)在《算術(shù)三部》提出了解指數(shù)方程的問題,還列出了等比和等差數(shù)列,即1,2,4,8,16,……,1 048 576和0,1,2,3,4,……,20,指出數(shù)列對應(yīng)關(guān)系:上一列數(shù)的乘除運算結(jié)果對應(yīng)下一列數(shù)的加減運算結(jié)果.

16世紀涌現(xiàn)出了許多研究等比數(shù)列乘法法則的數(shù)學(xué)家.德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾(M.Stifel)提出了四條乘法法則,即幾何級數(shù)中的乘法、除法、乘方、開方與算術(shù)級數(shù)的加法、減法、乘法、除法對應(yīng),還將法則推廣到負指數(shù),形成雙數(shù)列對應(yīng)關(guān)系.

天文、航海等領(lǐng)域要求大數(shù)運算.而想要算出一個復(fù)雜的數(shù)據(jù),需長達幾年的時間.因此,迫切需要改進數(shù)字計算方法,以提高計算速度和準(zhǔn)確度.

2.2 對數(shù)方法和思想的產(chǎn)生

蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier)研究大數(shù)運算,最終發(fā)明了對數(shù),并將對數(shù)(logarithm)意為“比的數(shù)”.1614年出版的《奇妙的對數(shù)定律說明書》標(biāo)志著對數(shù)的誕生.英國數(shù)學(xué)家布里格斯(H.Briggs)與納皮爾商定了“曠世之約”:1的對數(shù)為0,10的對數(shù)為1.布里格斯制作的常用對數(shù)表更容易算出數(shù)值,將底數(shù)為10的對數(shù)稱其為常用對數(shù),底數(shù)概念也由此誕生.法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace)評價道:“因為省時省力,對數(shù)倍增了天文學(xué)家的壽命.”

瑞士儀器制造者比爾吉(J.Burgi)也獨立發(fā)現(xiàn)了對數(shù)并用它來造表.1620年他出版了《等差數(shù)列和等比數(shù)列》,盡管那時納皮爾發(fā)明的對數(shù)已聞名歐洲.18世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系,指出“對數(shù)源于指數(shù)”.

2.3 自然對數(shù)的由來

使用常用對數(shù)時發(fā)現(xiàn)N與其對數(shù)并非同時均勻增長,為了尋求能使兩邊對稱的底數(shù),讓式子化繁為簡,發(fā)現(xiàn)若以e作底數(shù)最“自然”,符合數(shù)學(xué)的對稱美和簡潔美.故以e為底的對數(shù)叫“自然對數(shù)”,亦定義logeN=lnN,在科技、經(jīng)濟中有廣泛應(yīng)用.

3 基于數(shù)學(xué)史的對數(shù)概念教學(xué)

3.1 教學(xué)思路

依據(jù)對數(shù)歷史,整體采用重構(gòu)式的設(shè)計(如圖1),借鑒對數(shù)歷史,追溯思想起源,呈現(xiàn)知識自然發(fā)生的過程.

圖1

3.2 重構(gòu)對數(shù)概念的數(shù)學(xué)課堂

3.2.1 天文學(xué)發(fā)展的需要

例1隨著科技的發(fā)展,人類對宇宙的探索愈加深入.天文學(xué)定義,光在真空中的速度為299 792.468 km/s,一年的總秒數(shù)是31 536 000 s,能否動筆求出一光年的值?

(列式為299 792.468×31 536 000=?)

師:介紹對數(shù)產(chǎn)生的原因.該如何簡化運算?

設(shè)計意圖：利用生活實例創(chuàng)設(shè)情境,使學(xué)生感受大數(shù)運算的不易,由此產(chǎn)生探究簡化大數(shù)運算的想法.

3.2.2 感受表之便利,發(fā)現(xiàn)表之局限

例2展示斯蒂菲爾雙數(shù)表(表1),讓學(xué)生觀察規(guī)律.

表1

師:第二行中后一個數(shù)是前一個數(shù)的兩倍.若第1行表示2的指數(shù),則第2行表示其對應(yīng)的冪.16世紀數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在研究上表時,把第一行的各項稱為“指數(shù)”.他還發(fā)現(xiàn)第一行指數(shù)相加得到其乘積的指數(shù),指數(shù)相減得到其商的指數(shù).

師:求32×512,先找到32和512在數(shù)表中對應(yīng)的第一行的數(shù).即32對應(yīng)5,512對應(yīng)9;將二者相加,即5+9=14;再找到14對應(yīng)的下一行數(shù)為16 384.

師:按照規(guī)律,能否快速求出下列各式子的值?

16×1 024;8 192÷32;643;81×729.

上面有些數(shù)并不能從數(shù)表中查到,該如何解決?發(fā)現(xiàn)81與729兩個數(shù)都能變成以3為底的冪的形式,但查不到.法國數(shù)學(xué)家許凱也曾遇到這樣的問題,而且是在斯蒂菲爾之前.相對于自然數(shù)列而言,他研究的雙數(shù)表可表示2或3的指數(shù).

例3請大家根據(jù)許凱雙數(shù)表(表2)完成計算.

表2

師:如果算式是其他數(shù)呢?由于第二行相鄰兩項的差值越來越大,數(shù)便難以找到.當(dāng)時的天文學(xué)家對此非?？鄲?于是數(shù)學(xué)家開始制作更加詳細的數(shù)表.其中貢獻最大的是納皮爾(可介紹納皮爾與對數(shù)).例1該怎么解決?

找到299 792.468和31 536 000分別對應(yīng)的數(shù),先求和再查表.令2x=299 792.468,2y=31 536 000.

追問:整數(shù)可以通過查表得到,小數(shù)點后幾位怎么算?如何得到精確值?

設(shè)計意圖：根據(jù)乘法法則,讓學(xué)生經(jīng)歷簡化運算的過程,感受查表的便利.講述納皮爾貢獻,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神和探究意識.利用提示語啟示學(xué)生發(fā)現(xiàn)對數(shù)表的局限性,引出新知識.

3.2.3 引入對數(shù)符號,彌補表之遺憾

設(shè)計意圖：借助舊知,引入新知.體會引入符號的必要性,彌補數(shù)表局限的遺憾.

3.2.4 形成對數(shù)概念,拓展對數(shù)應(yīng)用

師:觀察對數(shù),思考它與指數(shù)有何關(guān)系?

追問:二者可以互相轉(zhuǎn)化,即對數(shù)logaN與指數(shù)互逆.對數(shù)中a的取值范圍是什么?

回顧指數(shù)概念.得到對數(shù)概念:一般地,若ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x稱為以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a叫作底數(shù),N叫作真數(shù).當(dāng)a>0且a≠1時,ax=N?x=logaN,這是互化公式.計算方便,又能比較大小.0和負數(shù)沒有對數(shù).

利用數(shù)學(xué)家軼事講解常用對數(shù).把常用對數(shù)log10N記作lgN.總結(jié):logaa=1,loga1=0,log10N=lgN.由常用對數(shù)引出自然對數(shù).

設(shè)計意圖：暗示學(xué)生指數(shù)與對數(shù)存在互逆關(guān)系;滲透數(shù)學(xué)史,將知識自然呈現(xiàn);強調(diào)一般對數(shù)與常用對數(shù)、自然對數(shù)之間的轉(zhuǎn)化.

3.2.5 鞏固練習(xí),總結(jié)課堂

(1)在巴比倫泥版上有一道復(fù)利題目1.2x=2,請求解.

(2)將指數(shù)式化為對數(shù)式,對數(shù)式化為指數(shù)式(教材例題).

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生整理思路,感受對數(shù)在簡化運算方面的作用,總結(jié)現(xiàn)實應(yīng)用.

4 總結(jié)與反思

數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育有重要意義.數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生清除認知障礙,同時數(shù)學(xué)史也是一面鏡子,把當(dāng)時思想的碰撞反映到數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中.對教師而言,將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué),可以幫助教師根據(jù)學(xué)生認知障礙設(shè)計教學(xué),提升教書育人的能力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).對學(xué)生而言,可以幫助他們了解知識的由來與發(fā)展,理解數(shù)學(xué)知識,體會其中蘊含的思想,提升科學(xué)精神,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).