基于數(shù)列知識,高三備考復(fù)習(xí)建議

? 新疆實驗中學(xué) 阿麗米熱·艾尼

近幾年的高考對數(shù)列知識的考查切實吻合《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》的要求.以數(shù)列的基本概念、基本類型、基本公式、基本性質(zhì)以及基本應(yīng)用等入手,堅持素養(yǎng)導(dǎo)向,重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)本質(zhì),突出能力為重,是高考命題中專注學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)、體現(xiàn)關(guān)鍵能力考查的一個主要載體.同時,數(shù)列知識可以很好回歸數(shù)列的函數(shù)屬性,巧妙聯(lián)系函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識,起到很好的知識交匯與融合的作用;數(shù)列知識又可以合理聯(lián)系生活實際,對于實際應(yīng)用與創(chuàng)新應(yīng)用也有很好的導(dǎo)向作用.

基于此,數(shù)列成為高考命題中的主干知識點之一,也是高考重點考查的內(nèi)容之一.為了更好地、更有針對性地對數(shù)列專題進行復(fù)習(xí),筆者結(jié)合內(nèi)容給出如下備考建議.

1 把握復(fù)習(xí)方向,科學(xué)精準研究

高考復(fù)習(xí)與備考,往往是基于對專題知識的精準研究,充分把握備考方向為根基.深入研究“課標”,回歸教材,研究歷年高考真題等,從中探尋一些高考命題的方向與特征,為更加有效的復(fù)習(xí)備考提供條件.

對于數(shù)列模塊的復(fù)習(xí)備考,必須基于數(shù)列基礎(chǔ)知識,通過“三靠”(靠知識、靠技能、靠思維)來解決數(shù)學(xué)能力問題,依托“三練”(練思路、練運算、練表達)來合理訓(xùn)練與提升,實現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)的“三會”(會觀察、會聯(lián)想、會轉(zhuǎn)化)目的.基于此,巧妙將數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式等加以綜合與交匯,有時還要將數(shù)列與概率等相關(guān)知識加以融合,實現(xiàn)創(chuàng)新與應(yīng)用.

例1已知數(shù)列{an}滿足an=an+1+an-1(n≥2),設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S202=201,S201=202,則S203=______.

分析：根據(jù)題設(shè)條件,合理通過數(shù)列遞推關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,確定數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列,進而利用題設(shè)條件中的S202=201,S201=202,確定相應(yīng)項的值,進而加以分析與求解.

解析：由an=an+1+an-1,可得an+1=an-an-1.

所以an+2=an+1-an=-an-1,an+3=an+2-an+1=-an,則有an+6=-an+3=an,故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列.

又由an+3=-an,得an+an+3=0,從而an+an+1+an+2+an+3+an+4+an+5=0,即數(shù)列{an}中連續(xù)6項之和為0,而a1+a4=0,a197+a198+a199+a200+a201+a202=0,a3=a2-a1,所以S202=a1+a2+a3+a4+33(a197+a198+a199+a200+a201+a202)=a2+a3=201,S201=a1+a2+a3+33(a196+a197+a198+a199+a200+a201)=a1+a2+a3=2a2=202.

解得a2=101,a3=100.

又a1+a4=0,a2+a5=0,所以S203=a1+a2+a3+a4+a5+33(a198+a199+a200+a201+a202+a203)=a3=100.

點評：涉及陌生的數(shù)列問題,特別涉及數(shù)列的遞推關(guān)系式問題,往往可以通過多個式子,合理觀察相應(yīng)式子之間的關(guān)系,加以合理化歸與轉(zhuǎn)化,巧妙變形應(yīng)用,從而歸納與總結(jié)其基本規(guī)律,確定相應(yīng)的性質(zhì),為進一步的分析與求解提供條件.

2 強化數(shù)學(xué)運算,貫穿復(fù)習(xí)始終

數(shù)列試題,對數(shù)學(xué)運算的要求是最為直接的,也是數(shù)學(xué)運算能力與素養(yǎng)最常用的一種考查方式.

強化數(shù)列專題中基本量的運算,優(yōu)化數(shù)學(xué)運算方法,提升數(shù)學(xué)運算效益等,都是復(fù)習(xí)備考中必須加以重點強調(diào)的一個基本點.

在數(shù)列專題復(fù)習(xí)備考過程中,專注于數(shù)列模塊知識的“通性通法”的理解與掌握,合理優(yōu)化數(shù)學(xué)運算,可以進行“一題多解”和“多題一解”等的訓(xùn)練與反思,這對強化與優(yōu)化數(shù)學(xué)運算等都有很大的益處.

例2已知數(shù)列{an}對任意k∈N*滿足ak+1+ak=4k+3,則a1+a2 024=______.(4 051)

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式合理配湊處理(常用待定系數(shù)法)構(gòu)建結(jié)構(gòu)相似的遞推式,利用迭代處理來構(gòu)建數(shù)列的通項公式,從而實現(xiàn)問題的分析與求解.

3 加強解題教學(xué),滲透思想方法

數(shù)列作為一類離散型的函數(shù)模型,知識點中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想與方法,除了函數(shù)中自身包含的函數(shù)與方程思想、分類與整合思想外,還有一些轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等,在命題設(shè)置中往往都會有所體現(xiàn).因而,在數(shù)列專題的復(fù)習(xí)備考過程中,以基礎(chǔ)知識為背景,合理依托解題技巧與方法,融入基本的數(shù)學(xué)思想與方法,可以更加合理優(yōu)化邏輯推理,減少數(shù)學(xué)運算,這些對于提升解題效益等都是非常有幫助的.特別是對于一些創(chuàng)新型應(yīng)用問題,回歸數(shù)列的本質(zhì)與內(nèi)涵,結(jié)合對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來處理,可以更加有效地展示數(shù)學(xué)思維過程,體現(xiàn)解題技巧的思想化,達到最佳解題效益.

例3已知數(shù)列{an}中,a2=1,設(shè)Sn為{an}前n項和,2Sn=nan.

(1)求{an}的通項公式;(an=n-1)

分析：(1)根據(jù)數(shù)列通項an與前n項和Sn共存的問題場景,從特殊情況出發(fā)確定數(shù)列的前若干項,利用2Sn=nan以及an=Sn-Sn-1的關(guān)系,合理進行消參并化歸轉(zhuǎn)化,再結(jié)合連續(xù)兩項之間的比值關(guān)系,借助累乘法加以化歸與運算;(2)利用cn的表達式的變形與轉(zhuǎn)化,合理裂項相消求和,通過數(shù)列不等式的求解來確定最小正整數(shù)n的值.

點評：求解數(shù)列綜合應(yīng)用問題的基本策略在于“歸”——化歸與歸納,“算”——基本量的運算.特別是涉及數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和以及數(shù)列與不等式等相關(guān)知識的交匯與綜合應(yīng)用,合理加以化歸與轉(zhuǎn)化,結(jié)合數(shù)列運算來分析與處理.

4 強調(diào)主題研究,提升創(chuàng)新應(yīng)用

數(shù)列是體現(xiàn)“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”數(shù)學(xué)命題理念的重要載體,基于數(shù)列自身的基本特性,經(jīng)常以數(shù)列為場景設(shè)置一些創(chuàng)新應(yīng)用問題,更加契合生活實際,對于深化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、創(chuàng)新應(yīng)用等方面都是有益處的.

因此,在數(shù)列模塊的復(fù)習(xí)備考過程中,引導(dǎo)學(xué)生全面理解與掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識,進而結(jié)合實例加以創(chuàng)新與應(yīng)用,突出數(shù)列的應(yīng)用性、創(chuàng)新性等方面,更加吻合試題對學(xué)生基礎(chǔ)知識與關(guān)鍵能力的考查,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用.

分析：根據(jù)題設(shè)中的場景合理構(gòu)建數(shù)列{an}{bn}的遞推關(guān)系式,通過累加法和等差數(shù)列的求和公式來確定數(shù)列{an}的通項,并結(jié)合等比數(shù)列的定義等來確定數(shù)列{bn}的通項,再利用作商比較法,結(jié)合不等式的基本性質(zhì)來確定最值問題,實現(xiàn)合理的決策與判斷.

點評：在利用不等式性質(zhì)判斷數(shù)列{cn}的單調(diào)性時,要注意這里的變量是正整數(shù)這一隱含條件.此類問題結(jié)合現(xiàn)實生活實際,以實際決策問題來創(chuàng)新設(shè)置,巧妙融入等差數(shù)列與等比數(shù)列、數(shù)列及其基本性質(zhì)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識.借助數(shù)學(xué)建模,通過數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與解模,合理分析與求解,提供決策依據(jù)與判斷.

正確關(guān)注數(shù)列的基本概念、數(shù)列的本質(zhì)與性質(zhì)等,科學(xué)精準研究基本考點,貫穿高三復(fù)習(xí)教學(xué)的整個過程,合理滲透數(shù)學(xué)思想方法并把握技巧方法,提升數(shù)列知識的應(yīng)用性與創(chuàng)新性等方面的研究,從而不斷強化“四基”,提升數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).