古代數(shù)學(xué)泰斗劉徽及其偉大成就

【摘要】劉徽是中國古代最杰出的數(shù)學(xué)家之一，也是具有世界影響的數(shù)學(xué)家。他在算術(shù)、代數(shù)、幾何方面有著輝煌的成就。對中國古代數(shù)學(xué)體系的形成和發(fā)展影響很大，是中國古代數(shù)學(xué)的泰斗。

【關(guān)鍵詞】劉徽；算術(shù)；代數(shù)；幾何；成就

數(shù)學(xué)是中國古代科學(xué)中一門重要的學(xué)科。我國歷史上曾經(jīng)是個數(shù)學(xué)比較發(fā)達(dá)的國家，有很多卓越的數(shù)學(xué)家，及重要的數(shù)學(xué)著作，對世界科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生過一定影響。公元三世紀(jì)是我國數(shù)學(xué)理論發(fā)展的重要時期。在這一時期，中國古代杰出的數(shù)學(xué)家——劉徽做了許多創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)理論工作，對我國古代數(shù)學(xué)體系的形成和發(fā)展影響很大。在世界數(shù)學(xué)史上，也占有重要的地位。他所撰的《九章算術(shù)注》與《海島算經(jīng)》作為我國寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)而流傳至今。并且他在算術(shù)、代數(shù)、幾何方面有著輝煌的成就。

一、在算術(shù)上的成就

1.十進(jìn)小數(shù)

他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人?！吧購V”章開方術(shù)注：“……求其微數(shù)，微數(shù)無名者，以其為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細(xì)……”就是說的十進(jìn)小數(shù)。即：把忽（當(dāng)時最小的長度單位）以下的第一位數(shù)作以10為分母（“其一退以十為母”）的分?jǐn)?shù)，第二位數(shù)作以100為分母（“其再退以百為母”）的分?jǐn)?shù)，……。這種無名的“微數(shù)”實(shí)際上就是現(xiàn)在小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的部分。劉徽的十進(jìn)小數(shù)記法在世界數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)偉大的成就，外國到十四世紀(jì)才出現(xiàn)同樣的思想，比我國晚了一千多年。

2.齊同術(shù)

“齊同術(shù)”是劉徽從《九章算術(shù)》中關(guān)于分?jǐn)?shù)的加減法與方程組解法中概括出來的一種方法。劉徽認(rèn)為，“凡（分）母互乘（分）子謂之齊，群母相乘謂之同”。分?jǐn)?shù)要進(jìn)行加減運(yùn)算，必須有同樣的分母，做到“同”（通分），還要使每一個分?jǐn)?shù)的分子與分母同步擴(kuò)大，做到“齊”，即“母同子齊”，分?jǐn)?shù)才能加減。例如，對于分?jǐn)?shù)a/b和c/d，“凡（分）母互乘（分）子謂之齊”就是把，稱之為齊，“群母相乘謂之同”就是把稱之為同。劉徽又把他的齊同術(shù)進(jìn)一步加以解釋：“同”是一群分?jǐn)?shù)的公分母，“齊”是由“同”而來，是為了使分?jǐn)?shù)之值不變．雖然可以直接由定義求“齊”、“同”，但當(dāng)分子分母都很大時，計(jì)算就不方便了．因而，劉徽提出用諸分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)去求：“齊”、“同”的方法，即“母除率，率乘子為齊”，“率”就是(諸分母的)最小公倍數(shù)。

劉徽不僅完成了齊同術(shù)理論，而且還推廣到用齊同術(shù)去求幾個分?jǐn)?shù)的平均值，解釋衰分術(shù)，解“均輸”、“盈不足”和“方程”等問題。還將齊同術(shù)用在聯(lián)立方程組的解法中，提出了互乘消元法，使消元過程得以簡化。齊同術(shù)在外國沒有提出過，因此可以說是我國古代算術(shù)的一個創(chuàng)造。

二、在代數(shù)上的成就

1.對于正負(fù)數(shù)的認(rèn)識

在我國，很早就認(rèn)識了負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)概念的建立是中國古代數(shù)學(xué)最杰出的創(chuàng)造之一。前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)史學(xué)家尤什凱維奇在《中國學(xué)者在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的成就》中說：“在《九章算術(shù)》第八章中，破天荒第一次在科學(xué)史上看到了正量與負(fù)量的區(qū)分……”。

劉徽在《九章算術(shù)注》中第一次深刻闡述了自己的觀點(diǎn)．給出了正負(fù)的定義:“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之?！薄八恪碑?dāng)時是指算籌，如果計(jì)算時用算籌代表“得”，“失”兩種量，那就要用正負(fù)數(shù)來定義。這個看法是很正確的，對后來的數(shù)學(xué)有深遠(yuǎn)的影響。

2.改進(jìn)解線性方程組的“直除法”

《九章算術(shù)》中的“方程術(shù)”是最早解“方程”的方法，主要是對方程實(shí)施“遍乘”和“直除”而達(dá)到消元的目的，比較麻煩。劉徽在方程章的注釋中，對直除法加以改進(jìn)，創(chuàng)立了互乘相消法。雖然，這種方法與現(xiàn)代加減消元法一致，不過那時用的是籌算。劉徽認(rèn)為，這種方法可以推廣到多元，“以小推大，雖四、五行不異也?！彼€進(jìn)一步指出，“相消”時要看兩方程首項(xiàng)系數(shù)的同異，同則相減，異則相加。劉徽的工作，大大減化了線性方程組解法。

此外，劉徽在深入研究《九章算術(shù)》方程章的基礎(chǔ)上，提出了比較系統(tǒng)的方程理論。劉徽所謂“程”是程式或關(guān)系式的意思，相當(dāng)于現(xiàn)在的方程，而“方程”則相當(dāng)于現(xiàn)在的方程組。他說：“二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之．并列為行，故謂之方程?！边@就是說：“有兩個所求之物，需列兩個程；有三個所求之物，需列三個程。程的個數(shù)必須與所求物的個數(shù)一致。諸程并列，恰成一方形，所以叫方程?！边@里的“物”，實(shí)質(zhì)上是未知數(shù)，只是當(dāng)時尚未抽象出未知數(shù)的明確概念。定義中的“皆如物數(shù)程之”是十分重要的，它與劉徽提出的另一原則“行之左右無所同存”，共同構(gòu)成了方程組有唯一解的條件。若譯成現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言，這兩條即：方程個數(shù)必須與未知數(shù)個數(shù)一致，任意兩個方程的系數(shù)不能相同或成比例。劉徽還認(rèn)識到，當(dāng)方程組中方程的個數(shù)少于所求物個數(shù)時，方程組的解不唯一；如果是齊次方程組，則方程組的解可以成比例地?cái)U(kuò)大或縮小，即“舉率以言之”。對于方程組的性質(zhì)，劉徽總結(jié)出如下諸條：“令每行為率”，即方程各項(xiàng)成比例地?cái)U(kuò)大或縮小，不改變方程組的解；“每一行中，雖復(fù)赤黑異算，無傷”，即方程各項(xiàng)同時變號，不改變方程組的解；“舉率以相減，不害余數(shù)之課也，即兩方程對應(yīng)項(xiàng)相減，不改變方程組的解。很明顯，劉徽對于線性方程組的初等變換，已經(jīng)基本掌握了。不過，他沒有考慮交換兩個方程的位置，因?yàn)椴贿M(jìn)行這種變換亦可順利求出方程組的解，而且調(diào)換算籌的位置是不方便的。

三、在幾何上的成就

1.圓面積、圓周率與割圓術(shù)

我國古代相傳有“周三經(jīng)一”的說法，劉徽發(fā)現(xiàn)這僅是圓內(nèi)接正六邊形的周長與圓徑（圓的直徑）之比，而非圓周長與圓徑之比，因此以3為p值來計(jì)算圓面積和圓柱、圓錐的體積等是很不精確的。因此他提出了割圓術(shù)，他首先從圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細(xì)，正多邊形的面積與圓面積之差越小，于是會“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！币簿褪钦f當(dāng)邊數(shù)成倍增加地分割下去，則被分割的圓弧和所對應(yīng)正多邊形的邊就愈短，這就是“割之彌細(xì)”，于是圓內(nèi)接正多邊形的面積與圓面積的差愈小，這就是“所失彌少”。按照這種方法，如果分割次數(shù)無限增加時，則正多邊形勢必與圓重合，這樣正多邊形面積就與圓面積相等，而“無所失矣”，上述這段注文，充分體現(xiàn)了劉徽的極限思想。這一思想也提供了計(jì)算圓周率的科學(xué)方法。

劉徽割圓術(shù)的出現(xiàn)，在世界數(shù)學(xué)史上雖晚于希臘的阿基米德，但在我國數(shù)學(xué)史上卻是十分重要的。首先劉徽的不等式只需要圓內(nèi)接正多邊形、而不需要圓外切正多邊形，因而能夠達(dá)到事半功倍的效果．其次我們祖先用位值制記數(shù)及計(jì)算，乘方、開方等運(yùn)算都能迅速地完成，遠(yuǎn)比希臘人的計(jì)算方便得多。

此外，《九章算術(shù)》中有計(jì)算圓面積的重要公式：“半周半徑相乘得積步”這是我國古代勞動人民通過大量生產(chǎn)實(shí)踐總結(jié)出來的正確成果。但是這個公式究竟是如何形成的，由于經(jīng)文過于簡略，其他材料又十分缺乏，因而不可稽考。

2.幾何定理的證明

劉徽采用出入相補(bǔ)原理，證明了《九章算術(shù)》中許多幾何公式和定理，其中包括平面幾何和立體幾何定理。在研究立體幾何時，發(fā)現(xiàn)了一條重要原理：對兩個等高的立體，若用平行于底面的平面截得的面積之比為一常數(shù)，則這兩立體的體積之比也等于該常數(shù)。這一原理可稱為“劉徽原理”。在《九章算術(shù)注》中，劉徽多次運(yùn)用了這一原理，例如，圓臺體積：外切正四梭臺體積=圓面積：外切正方形面積=。書中對圓錐、圓臺等旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導(dǎo)，都是以劉徽原理為依據(jù)的。

3.對球體積的研究

我國古代把球稱為“立圓”，又叫做“丸”。劉徽首先發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中：“球與其外切等邊圓柱體積之比是”是錯誤的，試圖利用劉徽原理求出正確的球體積公式。他首先作球的外切立方體，然后用兩個直徑等于球徑的圓柱從立方體內(nèi)切貫穿，于是，球便被包在兩圓柱相交的公共部分，而且與圓柱相切。此兩圓柱的共同部分的形狀，劉徽稱之為“牟合方蓋”。根據(jù)劉徽原理，球體積的計(jì)算公式就歸結(jié)為如何計(jì)算牟合方蓋的體積。這是劉徽對球體積計(jì)算的一個重大貢獻(xiàn)。盡管劉徽并沒有找到計(jì)算牟合方蓋的方法，但是他為后人指明了方向。

劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生，他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。吳文俊先生說：“從對數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的角度來衡量，劉徽應(yīng)該與歐幾里德、阿基米德等相提并論。”

參考文獻(xiàn)：

[1]吳文俊.中國數(shù)學(xué)史大系:第三卷[M].北京:北京師范大學(xué)出版社，1998.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京:高等教育出版社，2003.

[3]郭書春.中國古代數(shù)學(xué)[M].北京:商務(wù)印書館，1997，164.

[4]李繼閔.東方數(shù)學(xué)典籍〈九章算術(shù)〉及其劉徽注研究[M].西安：陜西人民教育出版社，1990，263-270.