翼板橫向位移對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)的影響

張玉元 張?jiān)?張 慧

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 蘭州 730070)

薄壁箱梁廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代橋梁工程建設(shè)中.國內(nèi)外學(xué)者就箱梁空間力學(xué)行為已開展了比較深入的研究,剪力滯效應(yīng)就是其中之一.箱梁剪力滯效應(yīng)是由于翼板面內(nèi)剪切變形使遠(yuǎn)離腹板處的縱向位移滯后于靠近腹板處縱向位移的一種力學(xué)現(xiàn)象[1-5].

近年來,學(xué)者們對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)已開展了大量的研究工作.Reissner[3]首次運(yùn)用能量法建立了箱梁剪力滯效應(yīng)的變分解.吳幼明等[6]運(yùn)用能量法建立了3個(gè)不同廣義位移的箱梁剪力滯效應(yīng)解析解;與截面選取單個(gè)廣義位移相比,該方法顯著提高了剪力滯效應(yīng)的求解精度.張?jiān)５萚7-10]運(yùn)用能量變分法建立了以附加撓度為廣義位移的箱梁剪力滯效應(yīng)解析解;該廣義位移較最大剪切轉(zhuǎn)角差有明確物理意義,且便于工程人員理解和應(yīng)用.舒小娟等[11]將腹板剪切變形納入箱梁縱向位移中,建立了統(tǒng)籌考慮剪切和剪力滯效應(yīng)的箱梁變分解,從而簡(jiǎn)化了該問題的求解過程.此外,李夏元等[12]運(yùn)用能量法建立了基于修正翹曲位移模式的箱梁剪力滯效應(yīng)解析解;時(shí)元緒等[13]從理論上給出了翹曲位移函數(shù)的合理組合形式;肖軍等[14]分析了各種翹曲位移函數(shù)對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)的影響;甘亞南等[15]利用變分解探討了腹板褶皺效應(yīng)對(duì)工字形梁翼板正應(yīng)力的影響;周茂定等[16]建立了考慮翼板剪切效應(yīng)的箱梁撓度簡(jiǎn)便計(jì)算方法.

綜上所述,既有文獻(xiàn)在建立箱梁剪力滯效應(yīng)變分解時(shí),忽略了翼板橫向位移的影響(認(rèn)為該項(xiàng)位移很小),但該位移的變化率未必很小,其對(duì)翹曲剪切應(yīng)變能的準(zhǔn)確表達(dá)具有重要影響.為了揭示翼板橫向位移對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)的影響,本文提出了一種考慮翼板橫向位移影響的箱梁剪力滯效應(yīng)解析方法,并分析其對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響規(guī)律.

1 翹曲縱向位移與正應(yīng)力

圖1為任意豎向?qū)ΨQ荷載q(z)作用下箱梁發(fā)生撓曲變形的截面簡(jiǎn)圖,將其變形狀態(tài)分解為初等梁彎曲變形狀態(tài)和剪力滯翹曲變形狀態(tài)[7-10].

(a)坐標(biāo)系及荷載

將剪力滯翹曲變形狀態(tài)作為一種獨(dú)立的受力狀態(tài)進(jìn)行分析,選取剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移,其翹曲縱向位移uω(x,y,z)表達(dá)為

(1)

由胡克定律及幾何方程可知,箱梁橫截面任一點(diǎn)的翹曲正應(yīng)力σω(x,y,z)表達(dá)為

(2)

式中,E為彈性模量.

(3)

(4)

與翹曲正應(yīng)力σω(x,y,z)對(duì)應(yīng)的廣義力矩Mω定義為

(5)

根據(jù)翹曲正應(yīng)力表達(dá)式,可導(dǎo)出箱梁截面任一點(diǎn)的剪力滯系數(shù)λ的表達(dá)式,即

(6)

2 翹曲橫向位移與剪應(yīng)力

圖2為任意閉口薄壁桿件彎曲變形時(shí)的橫截面簡(jiǎn)圖,nsz為桿件中面的流動(dòng)坐標(biāo)系,n、s和z構(gòu)成右手坐標(biāo)系;uω(s,z)和vω(s,z)為翹曲縱向位移和切向位移,ψ為位移夾角.當(dāng)薄壁桿件發(fā)生剪力滯附加撓曲位移f時(shí),其切向位移vω表達(dá)為

圖2 閉口薄壁桿件彎曲變形時(shí)的橫截面簡(jiǎn)圖

(7)

(8)

式中,γω為剪力滯翹曲剪應(yīng)變.

將式(8)積分1圈可得剪應(yīng)變與附加撓曲轉(zhuǎn)角的關(guān)系式為

∮γωds=f′∮dy

(9)

顯然∮dy=0,則∮γωds=0.沿用翹曲縱向位移模式定義方法,其翹曲切向位移定義為vω(s,z)=φ(s)ζ(z),其中φ(s)和ζ(z)分別為描述翹曲切向位移模式的分布函數(shù)和廣義位移.將翹曲縱向位移uω和切向位移vω代入∮γωds=0得

(10)

ζ(z)=C1f+C2

(11)

將式(11)代入翹曲切向位移模式,可得直角坐標(biāo)系下截面任一點(diǎn)的切向位移vω(x,y,z)表達(dá)式為

vω(x,y,z)=φ(x,y)f(z)

(12)

式中,φ(x,y)為翼板橫向位移分布函數(shù).

結(jié)合胡克定律及幾何方程可得箱梁橫截面任一點(diǎn)的翹曲剪應(yīng)力τω(x,y,z)為

(13)

式中,G為剪切彈性模量.

運(yùn)用有限元軟件計(jì)算繪制翼板橫向位移分布圖(見圖3),繪制時(shí)引入以下2個(gè)基本假設(shè)：箱梁頂、底板中點(diǎn)處的橫向位移為0;變形前后翼板與腹板的夾角不發(fā)生改變.位移方向規(guī)定為：與坐標(biāo)軸正方向一致為正,相反為負(fù)[18].

圖3 箱梁翼板橫向位移分布圖

根據(jù)圖3,可給出橫向位移分布函數(shù)φ(x,y)的表達(dá)式為

(14)

式中,α1、α2、α3為翼板橫向位移修正系數(shù).

(15)

式中,μ為材料泊松比.

將頂板翹曲分布函數(shù)代入式(15),令x=b1,即可求得頂板橫向位移修正系數(shù)α1的表達(dá)式為

(16)

同理可得,箱梁底板、懸臂板的橫向位移修正系數(shù)α2、α3的表達(dá)式為

(17)

(18)

從式(16)～(18)可以看出,橫向位移修正系數(shù)與泊松比、翼板寬度和跨度有關(guān).

3 控制微分方程的建立

結(jié)合彈性理論,箱梁剪力滯翹曲變形的體系總勢(shì)能Π可表達(dá)為

(19)

由最小勢(shì)能駐值原理可知,對(duì)式(19)求一階變分,并令δΠ=0,可得關(guān)于附加撓度的控制微分方程為

(20)

式中,k為考慮翼板橫向位移的Reissner參數(shù),即

分析總勢(shì)能一階變分的邊界項(xiàng),可以得到關(guān)于廣義剪力Qω的表達(dá)式為

Qω=-EIωf?+GAωf′=-EIω(f?-k2f′)

(21)

常系數(shù)非齊次線性微分方程式(20)的通解為

f=C1+C2z+C3sinh(kz)+C4cosh(kz)+f*(22)

式中,C1～C4為待定系數(shù),由具體邊界條件確定;f*為僅與q(z)分布荷載有關(guān)的特解.

確定上述4個(gè)常數(shù)所需的邊界條件為

固定端

f=0,f′=0

簡(jiǎn)支端

f=0,f″=0

自由端

f″=0,f?-k2f′=0

4 箱梁剪力滯效應(yīng)計(jì)算

4.1 簡(jiǎn)支箱梁

如圖4所示,簡(jiǎn)支箱梁受集中荷載P作用,a、b為集中荷載作用點(diǎn)至左、右支點(diǎn)的距離.作用點(diǎn)左、右梁段內(nèi)的剪力滯附加撓度、剪力滯系數(shù)用下標(biāo)1、2表示.

圖4 簡(jiǎn)支箱梁受集中荷載作用簡(jiǎn)圖

根據(jù)式(22),再結(jié)合4個(gè)梁端邊界條件和4個(gè)連續(xù)性條件[18],即可得到集中荷載作用下簡(jiǎn)支箱梁的剪力滯附加撓度計(jì)算公式為

(23)

將初等梁和翹曲正應(yīng)力表達(dá)式代入式(6),可得截面上任一點(diǎn)的剪力滯系數(shù)λ(x,y,z)表達(dá)式為

(24)

4.2 連續(xù)箱梁

圖5為兩跨連續(xù)箱梁受均布荷載作用的示意圖.為便于分析,可取其中一跨建立剪力滯效應(yīng)解析解,取左跨為研究對(duì)象.

(a)兩跨連續(xù)梁

根據(jù)式(22),再結(jié)合4個(gè)梁端邊界約束條件[18],即可求得兩跨連續(xù)梁?jiǎn)慰缌旱募袅郊訐隙扔?jì)算公式為

(25)

將初等梁和翹曲正應(yīng)力表達(dá)式代入式(6),可得兩跨連續(xù)箱梁?jiǎn)慰缌航孛嫔先我稽c(diǎn)的剪力滯系數(shù)λ(x,y,z)表達(dá)式為

(26)

5 算例分析

5.1 簡(jiǎn)支箱梁

以文獻(xiàn)[18]中介紹的有機(jī)玻璃簡(jiǎn)支箱梁模型為例,如圖6所示,跨度為0.8 m,跨中截面作用集中荷載P=272.2 N,材料彈性模量E=3 GPa,μ=0.385.

圖6 箱梁橫截面尺寸及計(jì)算點(diǎn)位置(單位：mm)

運(yùn)用本文方法計(jì)算跨中截面各計(jì)算點(diǎn)的縱向應(yīng)力,與文獻(xiàn)[18]中的有限元解一并列于表1中.計(jì)算繪制跨中截面上翼板剪力滯系數(shù)橫向分布圖、關(guān)鍵點(diǎn)(截面)的剪力滯系數(shù)及附加撓度縱向分布圖,如圖7～圖9所示.

圖9 簡(jiǎn)支箱梁剪力滯附加撓度縱向分布圖

表1 簡(jiǎn)支箱梁跨中截面縱向應(yīng)力對(duì)比

由表1可知:考慮翼板橫向位移的計(jì)算結(jié)果與有限元數(shù)值解吻合更好,進(jìn)而驗(yàn)證了本文方法的正確性;以有限元數(shù)值解為參照,與不考慮橫向位移的計(jì)算結(jié)果相比,考慮后跨中截面頂(底)板肋處的縱向應(yīng)力計(jì)算精度提高了8.83%和7.92%,懸臂板端部縱向應(yīng)力計(jì)算精度提高了16.78%.

由圖7可知：翼板橫向位移對(duì)簡(jiǎn)支箱梁剪力滯系數(shù)橫向分布的影響較小;與不考慮橫向位移的計(jì)算結(jié)果相比,考慮后簡(jiǎn)支箱梁跨中截面頂板肋處剪力滯系數(shù)減小了7.88%,頂板中點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)增大了4.66%,懸臂板端部的剪力滯系數(shù)增大了14.93%.

圖7 簡(jiǎn)支箱梁跨中截面上翼板剪力滯系數(shù)橫向分布圖

由圖8可知：考慮翼板橫向位移時(shí)簡(jiǎn)支箱梁頂板肋處的剪力滯系數(shù)小于不考慮時(shí)的計(jì)算結(jié)果,考慮后剪力滯系數(shù)縱向分布曲線更貼近于λ=1的水平線;考慮和不考慮橫向位移的剪力滯系數(shù)的差值由兩側(cè)支點(diǎn)向跨中截面遞增.

圖8 簡(jiǎn)支箱梁截面頂板肋處剪力滯系數(shù)縱向分布圖

由圖9可知：翼板橫向位移對(duì)簡(jiǎn)支箱梁剪力滯附加撓度的影響較大;考慮翼板橫向位移的附加撓度小于不考慮時(shí)的計(jì)算結(jié)果;考慮和不考慮橫向位移的附加撓度差值比,由兩側(cè)支點(diǎn)向跨中截面遞增;與不考慮橫向位移的計(jì)算結(jié)果相比,考慮后簡(jiǎn)支箱梁跨中截面附加撓度減小了61.81%.

5.2 連續(xù)箱梁

以文獻(xiàn)[18]中介紹的兩跨等截面有機(jī)玻璃連續(xù)箱梁為例,其荷載示意圖如圖5所示,橫截面尺寸如圖10所示,均布荷載q=0.2 kN/m,單跨長l=0.8 m,材料參數(shù)為E=2.8 GPa,μ=0.37.

圖10 連續(xù)箱梁橫截面尺寸(單位：mm)

建立單跨梁ANSYS有限元模型(共劃分為5 010個(gè)節(jié)點(diǎn),4 992個(gè)單元),并計(jì)算跨中截面上翼板的剪力滯系數(shù).按照本文方法計(jì)算繪制連續(xù)箱梁?jiǎn)慰缌嚎缰薪孛嫔弦戆寮袅禂?shù)橫向分布圖、關(guān)鍵點(diǎn)(截面)的剪力滯系數(shù)及附加撓度縱向分布圖,如圖11～圖13所示.

圖11 連續(xù)梁?jiǎn)慰缌嚎缰薪孛嫔弦戆寮袅禂?shù)橫向分布圖

圖12 連續(xù)梁?jiǎn)慰缌航孛骓敯謇咛幖袅禂?shù)縱向分布圖

圖13 連續(xù)梁?jiǎn)慰缌杭袅郊訐隙瓤v向分布圖

由圖11可知：考慮翼板橫向位移時(shí)兩跨連續(xù)箱梁?jiǎn)慰缌嚎缰薪孛婕袅禂?shù)與有限元數(shù)值解吻合更好,再次驗(yàn)證了本文方法的正確性;翼板橫向位移對(duì)兩跨連續(xù)梁剪力滯系數(shù)的影響較小,與不考慮翼板橫向位移的計(jì)算結(jié)果相比,考慮時(shí)單跨梁跨中截面頂板肋處的剪力滯系數(shù)減小了6.81%,頂板中點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)增大了2.92%,懸臂板端部剪力滯系數(shù)增大了7.42%.

由圖12和圖13可知：翼板橫向位移對(duì)連續(xù)梁剪力滯系數(shù)縱向分布的影響較小,對(duì)附加撓度的影響較大;翼板橫向位移對(duì)連續(xù)梁反彎點(diǎn)及中支點(diǎn)附近梁段的剪力滯系數(shù)影響較顯著,其余梁段影響較小;翼板橫向位移對(duì)剪力滯附加撓度的影響較大,與不考慮橫向位移的結(jié)果相比,考慮橫向位移時(shí)單跨梁跨中截面的附加撓度減小了71.08%,且二者差值比由兩側(cè)支點(diǎn)向跨中遞增.

6 結(jié)論

1)針對(duì)箱梁剪力滯翹曲變形狀態(tài),定義了箱梁的翼板橫向位移模式,解決了既有文獻(xiàn)忽略翼板橫向位移對(duì)剪力滯產(chǎn)生的放大效應(yīng).

2)翼板橫向位移對(duì)箱梁剪力滯系數(shù)有一定的削弱作用;與不考慮翼板橫向位移的計(jì)算結(jié)果相比,考慮橫向位移時(shí)簡(jiǎn)支和連續(xù)箱梁跨中截面頂板肋處的剪力滯系數(shù)減小了7.88%和6.81%;考慮和不考慮橫向位移的剪力滯系數(shù)差值比由支點(diǎn)向跨中遞增,且考慮后的剪力滯系數(shù)縱向分布更貼近于λ=1的水平線.

3)翼板橫向位移對(duì)箱梁剪力滯附加撓度有顯著的影響;與不考慮翼板橫向位移的計(jì)算結(jié)果相比,考慮后簡(jiǎn)支和連續(xù)箱梁跨中截面附加撓度減小了61.81%和71.08%;考慮和不考慮橫向位移的附加撓度差值比由支點(diǎn)向跨中遞增.