由 X上理想族誘導出的＊X上的 I-拓撲

馬春暉,李生剛,史艷維

(1.陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院,陜西西安710062;

2.西安建筑科技大學理學院,陜西西安710055;

3.西安培華學院基礎(chǔ)部,陜西西安710125)

由X上理想族誘導出的＊X上的 I-拓撲

馬春暉1,2,李生剛1,史艷維3

(1.陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院,陜西西安710062;

2.西安建筑科技大學理學院,陜西西安710055;

3.西安培華學院基礎(chǔ)部,陜西西安710125)

在非標準擴大模型下,利用集合X上全體理想之族,誘導出了集合X的非標準擴張＊X上的一種拓撲——I-拓撲.研究了集合X上全體理想之族的基本性質(zhì)及理想族上、下確界存在的條件.在此基礎(chǔ)上,利用X上全體理想之族誘導出了＊X上的 I-拓撲.討論了 I-拓撲的緊性、分離性等基本性質(zhì)及其在非標準拓撲學中的一些應(yīng)用.

非標準擴大模型;理想;單子;I-拓撲;弱 Hausdo rff

非標準拓撲學是非標準分析理論的一個重要的研究方向[1],對它的研究是非標準分析理論前進的主要動力之一.非標準拓撲學的研究大致分為兩個方面:一是利用非標準分析理論的有關(guān)知識對拓撲學中的概念和結(jié)論進行非標準刻畫,進而得到較原有結(jié)論簡潔、直觀的結(jié)果[2-4];二是在集合X的非標準擴張＊X上構(gòu)造出一種拓撲結(jié)構(gòu),利用非標準模型的特性,討論其拓撲性質(zhì)[5-8].

本文主要是對非標準拓撲學的第二個研究方面做了一些嘗試性探討.在非標準擴大模型下,利用集合X上全體理想之族,誘導出了集合X的非標準擴張＊X上的一種拓撲——I-拓撲,討論了 I-拓撲的緊性、分離性等基本性質(zhì)及其在非標準拓撲學中的一些應(yīng)用.

1 預備知識

2 理想族及其上、下確界

3 由X上的理想族誘導出的＊X上的拓撲——I-拓撲

接下來討論 I-拓撲空間(X,T)的分離性.

引理3.1 設(shè)A?＊X,則A°=ν(Id(A)),其中A°表示集合A在 I-拓撲空間(X,T)中的內(nèi)部.

證明由于A?＊X,則 Id(A)是由A生成的X上的離散理想,即 Id(A)∈I,所以ν(Id(A))∈T.又ν(Id(A))= ∪{＊G|＊G?A},于是ν(Id(A))?A.假設(shè)G是包含在A中的 I-開集,則G≠＊X,于是存在I∈I,使得G=ν(I),這樣對于任意的I∈I,＊I?G?A,由 Id(A)的定義,I∈Id(A),即 I?Id(A),由引理2.1,G=ν(I)?ν(Id(A)).從而ν(Id(A))是包含在A中的最大 I-開集,即A°=ν(Id(A)).

引理3.2[9]ν(Id(＊X-{x}))=＊X-{x},當且僅當x∈X.

由引理3.1和引理3.2直接可得:

定理3.3 I-拓撲空間(X,T)不是T1空間,進而不是 Hausdorff空間.

但 I-拓撲空間(X,T)仍具有以下弱分離性:

引理3.3 設(shè)A?X,則＊A既是 I-開集,又是 I-閉集.

證明若A=X,則＊X顯然既是 I-開集,又是 I-閉集.若A?X,則由例2.1知,I(A)是X上的一個由A生成的主理想,這樣ν(I(A))=∩{＊G|G?X,G?A}=＊A,也就是說,對于任意的A?X,存在I(A)∈I,使得＊A=ν(I(A)),即＊A∈T.同理＊X-＊A=＊(X-A)是 I-開集,所以＊A又是 I-閉集.從而,對于任意的A?X,＊A既是 I-開集,又是 I-閉集.

定理3.4 I拓撲空間(X,T)是弱 Hausdorff空間.

證明設(shè)x,y∈＊X,G是點x的任意一個 I-開鄰域,并且y?G.由于y?G,所以G≠＊X,由 T的定義,存在X上的理想 I∈I,使得x∈G=ν(I),這樣,根據(jù)理想單子的定義,存在I∈I,x∈＊I?G.由引理3.3,＊I既是 I-開集,又是 I-閉集.從而＊X-＊I也既是 I-開集,又是 I-閉集.而＊X-＊I?＊X-G,于是y∈＊X-＊E.即存在 I-開集＊E和＊X-＊I,使得x∈＊I,y∈＊X-＊I,且＊I∩(＊X-＊I)= ?,亦即 I拓撲空間(X,I)是弱 Hausdorff空間.

在一般拓撲空間,有以下結(jié)論:

引理3.4[10]在任一拓撲空間中,對于任意的閉集A,A∪B°?(A∪B)°,其中Y°表示集合Y在該拓撲空間下的內(nèi)部.

定理3.5 設(shè)集合A既是 I-開集,又是 I-閉集,則對于任意的B?＊X,A°∪B°=(A∪B)°.

證明一方面,因為A?A∪B,所以A°?(A∪B)°.同理可得B°?(A∪B)°,于是A°∪B°?(A∪B)°.另一方面,因為集合A是 I-閉集,所以對于任意的B?＊X,A∪B°?(A∪B)°,而A又是 I-開集,所以A=A°,于是A°∪B°?(A∪B)°.從而,A°∪B°=(A∪B)°.

定理3.6 設(shè)A?＊X,則以下結(jié)論等價:

(1)集合A是標準集合;

(2)集合A既是 I-開集,又 I-閉集;

(3)對于任意的B?＊X,A°∪B°=(A∪B)°.

證明只需證明(3)?(1).令B=＊X-A,則A°∪B°=(A∪B)°=(A∪(＊X-A))°=＊X°=＊X,由引理3.1,A°∪B°=ν(Id(A))∪ν(Id(B))=＊X,于是存在G∈Id(A),H∈Id(B)滿足＊G∪＊H=＊X,由Id(A)和 Id(B)的定義,A?＊G,B?＊H,所以A∪B=＊X,又A∩B= ?,因此A=＊G,即集合A是標準集合.

定理3.7 設(shè)集合A是 I-開集,I∈I,若對于任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,則A∪ν(I)≠＊X.

證明顯然A≠＊X,否則對于任意的I∈I,A∪＊I=＊X.于是,由引理3.1和集合A是 I-開集,有A=A°=ν(Id(A)).因為對任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,所以ν(Id(A))∪＊I≠＊X,于是,對任意的G∈Id(A),＊G∪＊I≠＊X,由轉(zhuǎn)換原理,G∪I≠＊X.又由定理 2.3和定理 2.4,Id(A)∨I存在,因此＊X≠Id(A)∨ν(I)=ν(Id(A))∪ν(I)=A°∪ν(I)=A∪ν(I),即A∪ν(I)≠＊X.

[1] DAV ISM.App lied nonstandard analysis[M].New York:Wiley,1977:83-117.

[2] 史艷維,陳東立,馬春暉.理想收斂理論的非標準刻畫[J].西安建筑科技大學學報,2005,37(2):294-296.

[3] 陳東立,馬春暉,苑文法.濾子收斂的非標準特征及其應(yīng)用[J].純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學,2004,20(1):10-13.

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[5] 陳東立,馬春暉,史艷維.拓撲的非標準定義[J].西北大學學報,2006,36(3):348-351.

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[9] LUXEMBURGW A J.A general theo ry of monads[M].New Yo rk:Halt,1969:7-23.

[10] KELLEY J L.General topology[M].New York:Sp ringer-Verlag,1955:107-123.

The I-topology on＊X induced by the fam ily of ideals on set X

MA Chun-hui1,2,L ISheng-gang1,SH I Yan-wei3

(1.College of Mathematics and Information Science,Shanxi Normal University,Xi'an 710062,China;
2.School of Science,Xi'an University of A rchitecture and Technology,Xi'an 710055,China;
3.Department of Basic Courses,Xi'an Peihua University,Xi'an 710125,China)

The I-topology on＊Xwas induced by the family of all ideals onXunder the nonstandard enlarged model.Firstly,some p ropertiesof idealsand conditionsof existence of the sup reme and infium of a family of ideals onXwere discussed.Then the I-topology on＊Xwas defined,and some topological p roperties were show n.A t last,some app lications of I-topology in nonstandard topology were obtained.

nonstandard enlarged model;ideals;monad;I-topology;weakly Hausdorff

O141.41;O189.11

110·31

A

1000-1832(2010)03-0013-05

2009-12-27

陜西省自然科學基金資助項目(2007A 12);西安建筑科技大學青年科技基金資助項目(QN0736).

馬春暉(1980—),男,博士研究生,主要從事格上拓撲學和應(yīng)用非標準分析研究;李生剛(1959—),男,教授,博士研究生導師,主要從事格上拓撲學與擬陣鄰域研究.

(責任編輯陶 理)