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    關(guān)于 Diophantine方程 x3+1=111y2

    2010-12-23 09:53:36
    關(guān)鍵詞:三明整數(shù)因數(shù)

    劉 杰

    (三明職業(yè)技術(shù)學(xué)院 ,福建三明 365000)

    關(guān)于 Diophantine方程 x3+1=111y2

    劉 杰

    (三明職業(yè)技術(shù)學(xué)院 ,福建三明 365000)

    應(yīng)用遞歸序列、同余式證明了丟番圖方程x3+1=111y2僅有整數(shù)解(x,y)=(-1,0).

    丟番圖方程;整數(shù)解;遞歸數(shù)列;平方剩余

    對(duì)于丟番圖方程x3±1=Dy2(D>0)的整數(shù)解,曾有多人進(jìn)行過(guò)研究,如曹珍富[1],柯召,孫琦[2]等人,但當(dāng)D有 6k+1素因數(shù)時(shí),方程求解較為困難,文獻(xiàn)[3]討論了方程x3+1=Dy2當(dāng) 0100情形,則較少研究,特別當(dāng)D既含 3因數(shù)又含6k+1形因數(shù)時(shí)要分多種情形討論,研究更為繁難.筆者利用余模定向法[8]研究丟番圖方程x3+1=111y2的整數(shù)解問(wèn)題,其中 111既含有 6k+1因子,又含有 3的因子,證明了丟番圖方程x3+1=111y2的全部整數(shù)解僅為(-1,0).

    引理 1[1]x2-3y4=1僅有整數(shù)解(x,y)=(±2,±1),(±7,±2),(1,0),(-1,0).

    引理 2[1]4x4-3y2=1僅有整數(shù)解(x,y)=(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1).

    1 主要結(jié)果

    定理1 不定方程

    僅有整數(shù)解(x,y)=(-1,0).

    證明 因?yàn)椋▁+1,x2-x+1)=1或 3,又111,所以不定方程(1)有下列 8種分解:

    下面分別對(duì) 8種情形進(jìn)行討論.

    (Ⅰ)此時(shí)分解方程為x+1=111u2,x2-x+1=v2,y=uv.

    對(duì)于遞歸式(12)有

    對(duì)于遞歸式(12)在 2u2=±Xn+3中,由于X-n-1=21U-n-1+222V-n-1=21(295Un+28×111Vn)-222(28Un+295Vn)=-21Un-222Vn=-Xn,故只要考慮 2u2=Xn+3,nZ,n≥0的情況.由(13)式2u2=21Un+222Vn+3顯然有Xn≡(-5)n(mod 16).

    若n≡1(mod 2),則Xn≡-5≡11(mod 16),從而 2u2≡14(mod 16)即u2≡7(mod 8)不可能成立.

    故n必須為偶數(shù),

    1)當(dāng)n≡0(mod 4)時(shí),Xn≡1(mod 10).此時(shí) 2u2≡Xn+3≡4(mod 10)即u2=2(mod 5)也不可能成立.

    2)當(dāng)n≡2(mod 4)時(shí),由(17)式有

    此時(shí),2u2≡-Xn+3≡-21+3≡-18(mod 295),據(jù) jacobi符號(hào)法則,因?yàn)椋?u2/295)=(2/295)= (-1)294×296/8=1,而(-18/295)=(-1/295)(2×32/295)=(-1)(2/295)=(-1)×1=-1矛盾.

    故(Ⅱ)情形原方程無(wú)整數(shù)解.

    (Ⅲ)此時(shí)分解方程為x+1=3u2,x2-x+1=37v2,y=uv.

    解 對(duì)于x+1=3u2,x2-x+1=37v2,后式化為(2x-1)2-37(2v)2=-3,由x=3u2-1代入后得

    2)現(xiàn)考慮n≡±1(mod 4)時(shí)情形,容易驗(yàn)證下列關(guān)系式成立:

    ①當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí)有Vn≡1(mod 8),此時(shí) 222u2≡1+Vn(mod 8)≡2(mod 8),即 3u2≡1(mod 4)不可能成立.

    ②當(dāng)n≡-1(mod 4)時(shí),設(shè)n=4m-1,則

    其中u=2ab.把(19)式的前式代入,由引理2得V2m-1=±1,即m=0或 1,但當(dāng)m=1時(shí),不適合(19)式的后式.而當(dāng)m=0時(shí),(19)式中b=0,從而u=0,這就給出了(1)式的平凡解(-1,0).(20)式中V2m=2b2=2UmVm得UmVm=b2.因?yàn)椋║m,Vm)=1,所以可設(shè)Um=c2, Vm=d2代入得c4-3(d2)2=1,據(jù)方程x4-Dy2=1[2]的結(jié)果有d=0,從而b=0,V2m=0,m=0,但不適合(20)式的前式,故(20)式無(wú)解.而(21)式的前式V2m-1≡2(mod 8)≠6a2≡6,0(mod 8),故(21)式不成立.對(duì)于(22)式,由后式得V2m=6b2=2UmVm,即 3UmVm=9b2,于是Um=c2,3Vm= (3d)2,b=3cd,從而c4-3(3d2)2=1.據(jù)方程x4-Dy2=1的結(jié)果[2],必有d=0,從而b=0,V2m=0,得m=0,但不適合(22)式的前式,故此時(shí)無(wú)解.

    綜合以上各項(xiàng)討論,這樣(Ⅳ)就只有(1)式的平凡解(x,y)=(-1,0).

    (Ⅴ)此時(shí)分解方程為x+1=37u2,x2-x+1=3v2,y=uv.

    下面對(duì)n≡1(mod 2),即n≡±1(mod 4)情形進(jìn)行討論:

    討論情況完全與 (Ⅳ)的情形(2)相同,只要將這里的p看成u即可.于是得到(1)的平凡解(x,y)= (-1,0).

    (Ⅵ)此時(shí)分解方程為x+1=3u2,x2-x+1=333v2,y=3uv.

    解 對(duì)于x+1=3u2,x2-x+1=333v2后式可化為(2x-1)2+3=333(2v)2,x=3u2-1代入得(6u2-3)2-37(6v)2=-3.

    此時(shí)完全類(lèi)似于(Ⅲ)的討論得原方程無(wú)整數(shù)解.

    (Ⅶ)此時(shí)分解方程為x+1=9u2,x2-x+1=111v2,y=3uv.

    (Ⅷ)此時(shí)分解方程為x+1=111u2,x2-x+1=9v2,y=3uv.

    解 對(duì)于x+1=111u2,x2-x+1=9v2后式化為(2x-1)2-9(2v)2=-3,把x=111u2-1代入得(222u2-3)2-(6v)2=-3,設(shè)X2-Y2=-3得X+Y=1,-3,X-Y=-3,1或X+Y=-1,3,XY=3,-1解得X=1,-1,從而x=0或 1都使得u,v無(wú)整數(shù)解,故原方程無(wú)整數(shù)解.

    由以上 (Ⅰ)~(Ⅷ)的討論知方程(1)僅有整數(shù)解 (-1,0),定理證畢.

    [1]曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989.

    [2]柯召,孫琦.談不定方程[M].上海:上海教育出版社,1980.

    [3]倪谷炎.關(guān)于不定方程x3+1=Dy2[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1999,36(3):13-15.

    [4]樂(lè)茂華.聯(lián)立 Pell方程組的解數(shù)[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,24(2):1-9.

    [5]羅明.關(guān)于不定方程x3+1=7y2[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,20(1):5-7.

    [6]楊麗芬.關(guān)于丟番圖方程x3+1=Dy2[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1995,32(4):32-36.

    [7]段輝明.關(guān)于不定方程x3+1=38y2[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006(1):35-39.

    [8]劉杰.關(guān)于丟番圖方程x3+1=201y2[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,27(5):761-763.

    On the D iophantine Equationx3+1=111y2

    L IU Jie

    (SanmingVocational and Technical College,Sanming 365000,China)

    In this paper,itwas proved that the Diophantine Equationx3+1=111y2has only integer solutions:(x,y)=(-1,0).

    Diophantine Equation;integer solution;recurrent sequence;guadratic remainder

    O 156

    A

    1004-1729(2010)03-0205-04

    2010-06-23

    劉杰(1973-),男,福建寧化人,三明職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師.

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