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    pósa-條件下的圖的 Z4-連通性

    2010-12-23 09:53:34尹建華
    關(guān)鍵詞:記作阿貝爾海南大學(xué)

    張 岳,尹建華

    (海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南???570228)

    pósa-條件下的圖的 Z4-連通性

    張 岳,尹建華

    (海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南???570228)

    一個(gè)滿足 pósa-條件且階至少為 3的簡單圖G是A-連通的當(dāng)且僅當(dāng)G≠C4,其中A是階至少為 4的阿貝爾群.

    pósa-條件;群流;群連通性

    為了給出圖的群連通性定義,先給出圖的一些基本概念.本文中所涉及的圖均為有限圖,且可以包含多重邊和環(huán).圖G的頂點(diǎn)集和邊集分別記作V(G)和E(G).若一個(gè)圖不包含多重邊和環(huán),則稱之為簡單圖.設(shè)D是無向圖G的一個(gè)定向且v?V(G),則用E+(v)(或E-(v))表示以v為尾(或頭)的邊構(gòu)成的集合.n階循環(huán)群記作Zn,其中n≥2.設(shè)V1,V2是V(G)的 2個(gè)不相交的子集,e(V1,V2)表示一個(gè)頂點(diǎn)在V1中另一個(gè)頂點(diǎn)在V2中的邊的個(gè)數(shù).

    令D是一個(gè)定向圖,A是一個(gè)阿貝爾群(“0”為單位元的加法群),φ:E(D)→A是一個(gè)函數(shù),如果 0φ(E(D)),則稱φ是處處不為零的.對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)vV(D),設(shè)函數(shù) ?φ:V(D)→A為 ?φ(v)=∑ φ(e)-

    e∈E+(v)∑e∈E-(v)φ(e)且有 ∑v∈V(D)?φ(v)=0.如果 ?φ的值恒等于零,則稱φ為流或A-流.如果對(duì)于每個(gè)滿足∑v∈V(D)p(v)=0的函數(shù)p:V(D)→A,總能找到處處不為零的函數(shù)φ:E(D)→A使得 ?φ=p,則稱D是A-連通的.

    如果φ是D中的一個(gè)處處不為零的流,則對(duì)D中任意一條邊e,將e的方向反向,用 -φ(e)替換φ(e),所得到的仍然是D中的一個(gè)處處不為零的流.由此可見一個(gè)處處不為零的流的存在性并不依賴于邊的定向,而只與原來的無向圖有關(guān).因此,如果無向圖G的某個(gè)定向有處處不為零的A-流 (是A-連通的),則稱G有處處不為零的A-流(是A-連通的).因此,接下來只討論無向圖的群連通性.

    群連通的概念是由 Jaeger等人[2]在研究和推廣流的問題過程中引入的.在文獻(xiàn)[2]中,有如下猜想:

    猜想 1[2]:任何一個(gè) 5-邊連通圖都是Z3-連通的.

    猜想 2[2]:任何一個(gè) 3-邊連通圖都是Z5-連通的.

    上述 2個(gè)猜想蘊(yùn)含著 Tutte的著名的 3-流猜想和 5-流猜想.

    1)pósa-條件包含Ore-條件,反之不成立.

    2)如果G滿足 pósa-條件,則G是哈密頓圖,G有一個(gè)處處不為零的 4-流,但G不一定是Z4-連通的.

    令A(yù)是階至少為4的阿貝爾群.在文獻(xiàn)[4]中,Sun J Z等人證明了一個(gè)滿足Ore-條件且階至少為3的簡單圖G是A-連通的當(dāng)且僅當(dāng)G≠C4.在本文中將進(jìn)一步證明一個(gè)滿足 pósa-條件且階至少為 3的簡單圖G是A-連通的當(dāng)且僅當(dāng)G≠C4,見定理 1.

    1 主要結(jié)論

    設(shè)G是一個(gè)圖,X?E(G).在G中將集合X中的每條邊e的 2個(gè)頂點(diǎn)重合,然后去掉邊e所得到的圖稱為G收縮X,記為G/X.為簡單起見,把G/{e}記作G/e,把G/E(H)記作G/H.為了證明主要結(jié)論,首先給出下面幾個(gè)引理.

    引理 1[3]設(shè)A是一個(gè)阿貝爾群,H是G的子圖.如果H和G/H都是A-連通的,則G也是A-連通的.

    引理 2 設(shè)A是一個(gè)阿貝爾群.有下面幾個(gè)結(jié)論

    定理 1 設(shè)|G|=n≥3.如果G滿足 pósa-條件,則G是A-連通的當(dāng)且僅當(dāng)G≠C4,其中A是階至少為 4的阿貝爾群.

    證明 如果G是A-連通的,則根據(jù)引理 2中的結(jié)論1),G≠C4.反之,如果G≠C4,將證明G是A-連通的.當(dāng)n=3時(shí),G顯然是一個(gè)三角形,根據(jù)引理 2中的結(jié)論 1),G是A-連通的.接下來假設(shè)n≥4,根據(jù)G是否包含三角形來分 2種情況討論.

    情況 1G包含三角形.

    [1]CHEN J J,ESCHEN E,LA IH J.Group connectivity of certain graphs[J].Ars Combin.,2008,89:141-158.

    [2]JAEGER F,L IN IAL N,PAYAN C,et al.Group connectivity of graphs-A nonhomogeneous analogue of nowhere zero flow properties[J].J.Combin.,Theory Ser.B,1992,56:165-182.

    [3]LA IH J.Group connectivity of 3-edge-connected chordal graphs[J].Graphs Combin.,2000,16:165-176.

    [4]SUN J Z,XU R,Y IN J H.Group connectivityof graphs satisfyingOre-condition:proceeding 2008 InternationalConference on Foundations of Computer Science,LasVegas,July 14-17,2008[C].USA:Csrea Press,2008:21-24.

    Z4-connectivity of Graphs Satisfying pósa-condition

    ZHANG Yue,Y IN Jian-hua

    (College of Information Science and Technology,Hainan University,Haikou 570228,China)

    In this paper,a simple graphGsatisfying pósa-condition withV(G)≥3 isA-connected if and only ifG≠C4was showed,in whichAis an abelian group andC4is a cycle of length 4.

    pósa-condition;group flow;group connectivity

    O 157.5

    A

    1004-1729(2010)03-0209-03

    2010-04-06

    國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (10861006)

    張?jiān)溃?986-),女,河北邢臺(tái)人,海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué) 2008級(jí)碩士研究生.

    尹建華 (1970-),男,湖南祁陽人,海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系教授,博士.

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