未知參數(shù)高階線性系統(tǒng)基于特征模型的卡爾曼濾波*

龔宇蓮，吳宏鑫

(1.北京控制工程研究所,北京100190; 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

未知參數(shù)高階線性系統(tǒng)基于特征模型的卡爾曼濾波*

龔宇蓮1,2，吳宏鑫1,2

(1.北京控制工程研究所,北京100190; 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

針對(duì)一類有量測(cè)噪聲的未知參數(shù)高階線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于特征模型的卡爾曼濾波器，改進(jìn)了由于傳統(tǒng)卡爾曼濾波器在未知系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣時(shí)應(yīng)用的難題.在對(duì)高階線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制中，利用建立系統(tǒng)的特征模型構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣，結(jié)合卡爾曼濾波的思想對(duì)系統(tǒng)輸出進(jìn)行濾波，使系統(tǒng)輸出以及控制量的性能得到極大的改善.通過對(duì)一個(gè)未知參數(shù)的高階線性系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此方法的有效性.

特征建模；黃金分割；自適應(yīng)控制；卡爾曼濾波；高階線性系統(tǒng)

自適應(yīng)控制發(fā)展半個(gè)多世紀(jì)以來，提出了大量的自適應(yīng)控制方法，基本的自適應(yīng)控制的結(jié)構(gòu)是由模型的辨識(shí)和控制律的設(shè)計(jì)兩部分組成的.在高階線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制中，量測(cè)噪聲一方面影響系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)的質(zhì)量，另一方面噪聲經(jīng)控制器嚴(yán)重放大，導(dǎo)致控制輸入性能惡化.文獻(xiàn)[1]作者提出在有量測(cè)噪聲時(shí)自適應(yīng)控制對(duì)于控制量的要求不切實(shí)際的高.

因此要實(shí)現(xiàn)優(yōu)良的控制，對(duì)信號(hào)在線濾波是必不可少的.針對(duì)參數(shù)已知，噪聲符合高斯分布的情形，卡爾曼濾波已取得了很好的成果[2].但卡爾曼濾波器需要確知系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣，因此在參數(shù)未知的系統(tǒng)中難以運(yùn)用.文獻(xiàn)[3]研究了系統(tǒng)參數(shù)含有不確定性時(shí)的濾波問題，提出了一種魯棒濾波器，但并沒有研究系統(tǒng)參數(shù)完全未知的情形.九十年代末，以序貫蒙特卡洛方法(SMC)為基礎(chǔ)，發(fā)展出了粒子濾波器[4-5](PF).然而盡管PF在理論上，不要求知道系統(tǒng)的狀態(tài)方程，只需要系統(tǒng)狀態(tài)量的先驗(yàn)概率密度函數(shù)或構(gòu)造一個(gè)重要性采樣函數(shù)，但在系統(tǒng)參數(shù)未知時(shí)概率密度函數(shù)難以獲得，重要性采樣函數(shù)的選取也沒有很好的方法，因此其應(yīng)用也具有很大局限.目前，除了簡(jiǎn)單的低通濾波器(LPF)外，針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)未知情形下量測(cè)噪聲的濾波問題的研究仍然較為缺失.

本文針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)未知的高階線性系統(tǒng)有量測(cè)噪聲情況下自適應(yīng)控制性能惡化的問題，利用特征模型對(duì)系統(tǒng)輸入輸出的低階建模，結(jié)合卡爾曼濾波的思想，設(shè)計(jì)出基于特征模型的卡爾曼濾波器(CKF).本文第1部分對(duì)問題進(jìn)行描述并介紹預(yù)備知識(shí)；第2部分設(shè)計(jì)基于特征模型的卡爾曼濾波器；第3部分仿真驗(yàn)證；最后總結(jié)該濾波方法的優(yōu)勢(shì)以及局限性.

1 問題描述及預(yù)備知識(shí)

1.1問題的描述

考慮一類有量測(cè)噪聲的未知參數(shù)高階線性系統(tǒng)：

其中，u為控制量，x為系統(tǒng)輸出，y為帶白噪聲e的量測(cè)值.

對(duì)系統(tǒng)(1)這類高階線性系統(tǒng)的跟蹤問題，在無噪聲情況下，基于特征模型的黃金分割自適應(yīng)控制律[6-8]已經(jīng)可以很好地解決，文獻(xiàn)[8]對(duì)于特征模型理論作了系統(tǒng)而詳盡的闡述，并列舉了大量工程應(yīng)用實(shí)例.但在量測(cè)噪聲存在的情況，計(jì)算控制量所用到的反饋信號(hào)來源于有量測(cè)噪聲的測(cè)量值，因而計(jì)算得到的控制量會(huì)隨著帶噪聲信號(hào)劇烈變化.文獻(xiàn)[1]作者研究大型撓性航天器有量測(cè)噪聲情況下的自適應(yīng)控制時(shí)，用仿真顯示了控制量劇烈抖動(dòng)的情形.而目前大部份研究有量測(cè)噪聲情況下控制問題的論文中，作者都避免提及控制量的情形.因此，本文主要考慮如何通過對(duì)這類系統(tǒng)的量測(cè)值進(jìn)行濾波，從而設(shè)計(jì)出較為平穩(wěn)的控制量.

1.2卡爾曼濾波器

卡爾曼濾波方法[2]自上世紀(jì)中期提出以來，因其在解決有噪聲情況下的實(shí)時(shí)最優(yōu)估計(jì)問題上的優(yōu)勢(shì)，立即受到了工程界的重視.對(duì)于如下用狀態(tài)方程描述的線性系統(tǒng)：

如果系統(tǒng)狀態(tài)噪聲w(k)、量測(cè)噪聲v(k)符合零均值高斯分布，則系統(tǒng)狀態(tài)量的最優(yōu)卡爾曼濾波器為：

卡爾曼濾波增益陣K(k)由下式遞推得到：

幾十年來，卡爾曼濾波的研究逐漸深入，然而現(xiàn)有的各種改進(jìn)的卡爾曼濾波方法都要求已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣.在未知系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣時(shí)，如果可以得知系統(tǒng)的階數(shù)，用辨識(shí)方法得到其系統(tǒng)參數(shù)，再利用辨識(shí)出的參數(shù)設(shè)計(jì)高階的卡爾曼濾波器，在理論上是一種解決方法.但是參數(shù)辨識(shí)以及計(jì)算卡爾曼濾波增益陣的時(shí)間復(fù)雜度都是R(n2).事實(shí)上，即使在系統(tǒng)參數(shù)已知的情況下，系統(tǒng)階數(shù)較高時(shí)，過高的計(jì)算量也影響了卡爾曼濾波器的應(yīng)用.因此，如果可以將高階系統(tǒng)用低階狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述，并以低階狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器，將會(huì)為高階系統(tǒng)的實(shí)時(shí)濾波提供很好的解決途徑.

1.3高階線性系統(tǒng)的特征建模

對(duì)于高階線性系統(tǒng)的低階建模問題，特征建模理論[6-8]提供了很好的解決辦法.所謂特征建模，就是根據(jù)對(duì)象動(dòng)力學(xué)特征、環(huán)境特征和控制性能要求相結(jié)合進(jìn)行建模，而不僅以對(duì)象精確的動(dòng)力學(xué)分析來建模，特征模型的特點(diǎn)如下：

(1)在同樣輸入控制作用下，對(duì)象特征模型和實(shí)際對(duì)象在輸出上是等價(jià)的(即在動(dòng)態(tài)過程中能保持在允許的輸出誤差內(nèi))，在穩(wěn)定情況下，輸出是相等的.

(2)特征模型的形式和階次除考慮對(duì)象特征外，主要取決于控制性能要求.

(3)特征模型建立的形式應(yīng)比原對(duì)象的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)單，易于控制器設(shè)計(jì)，工程實(shí)現(xiàn)容易、方便.

(4)特征模型與高階系統(tǒng)的降階模型不同，它是把高階模型有關(guān)信息壓縮到幾個(gè)特征參量之中，并不丟失信息，一般情況下特征模型用慢時(shí)變差分方程描述.

文獻(xiàn)[6]提出將高階線性系統(tǒng)化為二階時(shí)變差分方程的特征模型形式，并提出了黃金分割控制器，文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步證明，對(duì)于式(5)中的高階線性系統(tǒng)：

采樣時(shí)間足夠小的情況下，其特征模型可以描述為式(6)的慢時(shí)變二階差分方程形式：

x(k+1)=f1(k)x(k)+f2(k)x(k-1)+

遞推辨識(shí)方程如下：

D(k)=R(k-1)h(k)[hT(k)R(k-1)h(k)+λ]-1,

2 控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于式(1)中的系統(tǒng)，根據(jù)特征建模理論，可以描述為如下的帶量測(cè)噪聲的二階時(shí)變差分方程形式：

將其特征模型化成狀態(tài)空間的形式：

其中：

P(k)=[I-K(k)C(k)]P(k|k-1)[I-K(k)

將此濾波方案結(jié)合黃金分割控制器[6]，構(gòu)成自適應(yīng)控制方案，其控制器結(jié)構(gòu)為圖1所示.

圖1 基于特征模型的卡爾曼濾波器

在應(yīng)用中，量測(cè)噪聲序列的方差陣可以根據(jù)量測(cè)裝置的統(tǒng)計(jì)特性得知，系統(tǒng)噪聲包含辨識(shí)參數(shù)的誤差造成的系統(tǒng)偏差，其大小很難得知，應(yīng)用中可先設(shè)定一個(gè)較小的值.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

帶量測(cè)噪聲的高階線性系統(tǒng)：

其中：

系統(tǒng)(12)為一個(gè)高階線性系統(tǒng).因此在采樣時(shí)間足夠小時(shí)，特征建模理論是成立的.設(shè)計(jì)控制器，將系統(tǒng)從0跟蹤到10.假設(shè)系統(tǒng)的量測(cè)噪聲e符合N(0,1)的正態(tài)分布.

采用式(9)中的辨識(shí)方法，構(gòu)建圖1中的控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真.控制律采用基于特征模型的黃金分割控制律結(jié)合維持跟蹤和邏輯積分控制[6]：

黃金分割控制律：

ul(k)=

維持跟蹤控制律：

u0(k)=

邏輯積分控制律：

(19)

總的控制量:

(20)

其中：

仿真實(shí)驗(yàn)中分別在不進(jìn)行濾波、應(yīng)用數(shù)字低通濾波器(LPF)以及應(yīng)用基于特征模型的卡爾曼濾波器(CKF)的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn).仿真時(shí)間100s，采樣時(shí)間0.01s.考慮到過渡段低通濾波器對(duì)信號(hào)的跟蹤能力較弱，而基于特征模型的卡爾曼濾波器也需要一定的時(shí)間獲取系統(tǒng)特征模型的參數(shù)辨識(shí)值，因此在仿真前2s，都不使用濾波信號(hào).3種情況下控制系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)輸出真值、量測(cè)信號(hào)、以及控制量的變化曲線分別為圖2～4.

圖2 無濾波控制仿真

圖3 LPF濾波控制仿真

圖4 CKF濾波控制仿真

圖5針對(duì)穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)變化較小，將坐標(biāo)放大，觀察3個(gè)方案的穩(wěn)態(tài)性能.3個(gè)實(shí)驗(yàn)在穩(wěn)態(tài)階段(20s～100s)的系統(tǒng)輸出以及控制輸入的均值、方差由表(1)中列出.

圖6、圖7給出應(yīng)用低通濾波器(LPF)和基于特征模型的卡爾曼濾波器(CKF)實(shí)驗(yàn)中過渡段(0～10s)，CKF和LPF的濾波情況.

圖5 3種方案穩(wěn)態(tài)輸出細(xì)節(jié)

圖6 LPF過渡段濾波情況

圖7 CKF過渡段濾波情況

圖8為L(zhǎng)PF和CKF在穩(wěn)態(tài)階段(20～100s)各自的系統(tǒng)輸出真值與控制量坐標(biāo)放大的變化曲線.圖9列出了整個(gè)控制過程中，兩種濾波器濾波信號(hào)與系統(tǒng)真實(shí)輸出信號(hào)的偏差變化曲線.

從仿真圖以及表1的數(shù)據(jù)可以看出，基于特征模型的黃金分割控制器即使不經(jīng)濾波也可以保證較高的系統(tǒng)輸出精度，但不經(jīng)濾波的情況下，控制量的性能惡化，控制量輸入的均方根達(dá)到1.27,實(shí)際信號(hào)大約在均值的正負(fù)三倍均方根內(nèi)變化(如圖2所示).控制量的劇烈變化對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)要求過高，甚至根本無法實(shí)現(xiàn).

對(duì)比兩種濾波方案，在系統(tǒng)過渡段， 由于LPF是靠抑制信號(hào)帶寬實(shí)現(xiàn)對(duì)高頻干擾的濾波，因此LPF對(duì)信號(hào)的變化敏感性較弱，實(shí)驗(yàn)中可以看出在系統(tǒng)過渡過段LPF的濾波信號(hào)與真值的偏差較大，如果繼續(xù)降低帶寬，偏差會(huì)繼續(xù)增大，從而嚴(yán)重影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能.

圖8 穩(wěn)態(tài)階段兩種濾波器對(duì)比

圖9 全過程濾波誤差情況

從圖8以及表1中的數(shù)據(jù)可以看出穩(wěn)態(tài)階段用CKF濾波的系統(tǒng)輸出以及控制量輸入都比LPF要平穩(wěn).圖9全過程濾波誤差顯示出，基于特征模型的卡爾曼濾波器(CKF)無論過渡段還是穩(wěn)態(tài)階段，濾波性能都優(yōu)于簡(jiǎn)單的低通濾波(LPF).由于平穩(wěn)的濾波信號(hào)，使系統(tǒng)的自適應(yīng)控制輸入輸出性能得到大大改善.

4 結(jié) 論

本文試圖通過對(duì)帶噪聲的量測(cè)信號(hào)濾波，以改善在有量測(cè)噪聲情況下的自適應(yīng)控制性能惡化的問題.由于卡爾曼濾波器必需知道系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣的局限性，本文針對(duì)線性系統(tǒng)參數(shù)未知情況，通過辨識(shí)系統(tǒng)特征模型參數(shù)構(gòu)造二階的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣，探索了一種解決方案.同時(shí)，由于使用低階的特征模型，使得卡爾曼濾波器在高階系統(tǒng)中面臨的計(jì)算量過大問題得到改善.

由于本方法是基于特征模型而設(shè)計(jì)濾波器，需要特征模型的辨識(shí)參數(shù)構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣,因此在特征建模理論不成立的情況下，還有待進(jìn)一步研究.

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CharacteristicModel-BasedKalmanFilterfortheHighDimensionLinearSystemswithUnknownParameters

GONG Yulian1,2, WU Hongxin1,2

(1.BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100190，China; 2.ScienceandTechnologyonSpaceIntelligentControlLaboratory，Beijing100190，China)

In this paper, a characteristic model based Kalman filter (CKF) is designed for high dimension linear systems with unknown parameters. The proposed approach overcomes difficuties in the application of traditional Kalman filters in unknown parameter systems. By building the characteristic model of the high dimension system, a state transfer matrix is constituted， and the CKF is establishedin combination with the algorithm of Kalman Filter. The CKF is used to filter the output signal with measurement noise, the performance of the adaptive control of high dimension systems is improved, and simulation results prove the capability of this method.

characteristic model; gold section; adaptive control; Kalman filter; high dimension linear system

V249

A

1674-1579(2010)06-0016-06

*國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(60736023)及國(guó)家自然科學(xué)基金(60704014)資助項(xiàng)目.

2010-05-10

龔宇蓮(1985—), 女，四川人，助理工程師，研究方向?yàn)楹教炱髯赃m應(yīng)控制 (e-mail: yulianworld@hotmail.com).