加強(qiáng)型2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)普適公式

譚志中，羅禮進(jìn)

(南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226007)

電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究[1-11]有一定的實(shí)際意義.許多實(shí)際問題可以通過構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行模擬.研究電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的普適規(guī)律是科技應(yīng)用研究的理論基礎(chǔ)，構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行模擬已成為解決一些科學(xué)問題的基本方法．文[1-5]研究了圖1中r1=r情形時(shí)的2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)不同節(jié)點(diǎn)間的等效電阻．文[1-5]的研究推動(dòng)了文[7-8]的研究，而等效電阻的研究又有助于推動(dòng)等效復(fù)阻抗的研究[9-11]．文獻(xiàn)[6]通過構(gòu)建等效模型研究了r,r1為任意電阻值情形時(shí)的等效電阻Rac(n)的通項(xiàng)公式．為便于區(qū)別不同情形的電阻網(wǎng)絡(luò)，我們稱r,r1為任意情形時(shí)的電阻網(wǎng)絡(luò)為加強(qiáng)型2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)．

文獻(xiàn)[2-5]給出了圖1所示結(jié)構(gòu)在特殊情形r1=r時(shí)的對角和側(cè)端的等效電阻Rca′(n)、Rcc′(n)的通用公式.本文進(jìn)一步研究了圖1所示加強(qiáng)型2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)在r,r1為任意情形時(shí)的對角和側(cè)端的等效電阻．給出了圖1所示結(jié)構(gòu)的等效電阻Rca′(n)、Rcc′(n)的兩個(gè)通用公式.

圖1 加強(qiáng)型2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)模型

1 差分方程模型構(gòu)建

應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)分析方法，設(shè)在c,a′或c,c′兩節(jié)點(diǎn)間通入恒定電流I,且電流從c輸入至a′(或c′)輸出.為便于研究，將圖1所示網(wǎng)絡(luò)重新表示成圖2所示含有電流參數(shù)及其方向的子網(wǎng)絡(luò)模型．設(shè)上下邊的網(wǎng)絡(luò)元橫向電阻分別為r，網(wǎng)絡(luò)元中間橫向電阻為r1，所有縱向電阻均為r0.

圖2 子網(wǎng)絡(luò)電流參數(shù)

根據(jù)文[1-5]所采用的網(wǎng)絡(luò)分析方法,由圖2子網(wǎng)絡(luò)中的電流參數(shù)可構(gòu)建出關(guān)于電流的差分方程組模型，并且根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]采用的矩陣表示方法得到

(1)

(2)

(3)

設(shè)關(guān)于x的方程的兩根分別為α、β，關(guān)于y的方程的兩根分別為γ、δ，則解式(3)得

(4)

(5)

根據(jù)文[1-5]解差分方程的方法解式(2)得

(6)

2 對角等效電阻Rac′(n)的通項(xiàng)公式

2．1 邊界電流規(guī)律

當(dāng)電流從c輸入至a′輸出時(shí),如圖3所示．根據(jù)電流的連續(xù)性方程由圖2、圖3可知

(7)

將式(6)分別對k從1到n+1求和并應(yīng)用式(7)化簡整理得

(8)

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[1-5,7-8]所采用的網(wǎng)絡(luò)分析方法,由圖3得左邊界電流參數(shù)的差分方程組

(10)

(11)

(12)

2．2 等效電阻Rca′(n)的計(jì)算

設(shè)在電阻網(wǎng)絡(luò)中通入恒定電流I,電流從c輸入至a′輸出，如圖3所示.

圖3 邊界電流參數(shù)圖

在圖3中根據(jù)不同的路徑可得到c,a′二節(jié)點(diǎn)間電壓的不同表達(dá)式，即

將上三式的兩端分別同時(shí)除以r,r1,r，并且同向相加合并整理得

(13)

當(dāng)電流從c輸入至a′輸出時(shí)，電流分布呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)對稱性，由圖3根據(jù)對稱性得

(14)

根據(jù)電流的連續(xù)性方程得到

Iai+Ibi+Ici=I.

(15)

由式(13)、(14)、(15)得

(16)

(17)

(18)

其中α,β由式(4)確定，γ,δ由式(5)確定.式(18)即為加強(qiáng)型2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)對角c,a′二節(jié)點(diǎn)間的等效電阻Rca′(n)的通項(xiàng)公式.

3 側(cè)端等效電阻Rcc′(n)的通項(xiàng)公式

3．1 邊界電流規(guī)律

當(dāng)電流從c輸入至c′輸出時(shí)，根據(jù)電流的連續(xù)性方程由圖2、圖4可知

(19)

將式(6)分別對k從1到n+1求和并應(yīng)用式(19)得

(20)

(21)

(22)

3．2 等效電阻Rcc′(n)的計(jì)算

設(shè)在電阻網(wǎng)絡(luò)中通入恒定電流I,電流從c輸入至c′輸出，如圖4所示.

圖4 邊界電流參數(shù)圖

在圖4中根據(jù)不同的路徑可得c,c′二節(jié)點(diǎn)間電壓的不同表達(dá)式，即

將上三式的兩端分別同時(shí)除以r,r1,r，并且將所得結(jié)果同向相加合并整理得

(23)

當(dāng)電流從c輸入至a′輸出時(shí)，電流分布呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)對稱性，由圖4根據(jù)對稱性得

(24)

根據(jù)電流的連續(xù)性方程得

Iai+Ibi+Ici=I.

(25)

由式(23)、(24)、(25)得

(26)

(27)

(28)

其中α,β和γ,δ分別由式(4)、(5)確定.式(28)即為加強(qiáng)型2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)c,c′二節(jié)點(diǎn)間的等效電阻Rcc′(n)的通項(xiàng)表達(dá)式.

4 具體比較與討論

4．1 特例與比較

當(dāng)r1=r時(shí)，由式(18)得到特殊情形時(shí)的2×n階網(wǎng)絡(luò)對角等效電阻

(29)

式(29)與文獻(xiàn)[3]的結(jié)論完全一致．

當(dāng)r1=r時(shí)，由式(28)得到特殊情形時(shí)的2×n階網(wǎng)絡(luò)側(cè)端等效電阻

(30)

式(30)與文獻(xiàn)[4]的結(jié)論完全一致．

上式比較表明，本文得到的結(jié)論式(18)、(28)與文獻(xiàn)[3-4]的結(jié)論是一般與特殊的關(guān)系．

4．2 相互關(guān)系

式(18)與式(28)僅僅存在微小的差別．由式(18)-(28)得到

(31)

這是一個(gè)非常有趣的結(jié)論，式(31)與γ,δ無關(guān)．

Rca′(∞)=Rcc′(∞).

(32)

式(32)是一個(gè)很有意義的結(jié)果，式(32)表明當(dāng)n→∞時(shí)，2×n階網(wǎng)絡(luò)可以視為線形n階網(wǎng)絡(luò)．當(dāng)n足夠大時(shí)，網(wǎng)絡(luò)左右兩端點(diǎn)間的等效電阻與圖1中的節(jié)點(diǎn)a′,b′,c′的選取無關(guān)．

5 結(jié) 語

[1] 譚志中，陸建隆，吳國祥.三端梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的普適研究[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2004,28(3)：258-262.

[2] 譚志中,羅達(dá)峰,李頌.2×n階網(wǎng)絡(luò)對角等效電阻的再研究[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,7(2):12-16.

[3] 譚志中,方靖淮,羅達(dá)峰.2×N階網(wǎng)絡(luò)對角等效電阻的另一種公式[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,8(4):69-72.

[4] 譚志中,曹秀華,李頌.2×n階梯形網(wǎng)絡(luò)側(cè)端等效電阻的普適規(guī)律[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,5(2):10-14.

[5] 李頌,譚志中,曹秀華.2×n階網(wǎng)絡(luò)側(cè)端等效電阻的另一種公式[J].物理與工程,2007,17(4):36-39.

[6] 曹秀華,譚志中,李頌.構(gòu)建等效模型研究2×N階網(wǎng)絡(luò)的等效電阻[J].大學(xué)物理,2008，27(3)：25-26.

[7] 譚志中,方靖淮.3×N階電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究[J]．大學(xué)物理,2008，27(9)：7-10．

[8] 譚志中,李頌.3×n階網(wǎng)絡(luò)等效電阻的另一個(gè)普適規(guī)律[J].大學(xué)物理,2009,28(4)：23-25.

[9] 肖哲,黃銘,巫躍鳳,等.三維RC網(wǎng)絡(luò)仿真異質(zhì)材料的通用介質(zhì)響應(yīng)[J]．物理學(xué)報(bào)，2008，57(2)：957-961．

[10] 孫俊,肖哲,胡寶晶,等.基于RC網(wǎng)絡(luò)的非均勻介質(zhì)模型研究[J]．電子測量技術(shù)，2007，30(4)：136-138．

[11] 譚志中,陸建隆.二端梯形網(wǎng)絡(luò)等效復(fù)阻抗的普適研究[J].大學(xué)物理,2009,28(7):29-33.