集值映射空間上可數(shù)強(qiáng)Fan Tightness

郭先一，李祖泉

(杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

在此，拓?fù)淇臻gX,Y均是完全正則T1的，M(X,Y)為拓?fù)淇臻gX到Y(jié)上的所有集值映射族，K(X)表示X的所有非空緊子集族，N表示自然數(shù)集，R表示實(shí)直線(xiàn)，0是可數(shù)基數(shù)，λ為任意無(wú)限基數(shù)，文中未定義的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)均以文[4-5]為準(zhǔn).

設(shè)f∈M(X,Y)，對(duì)A?X，記f(A)=∪x∈Af(x)；對(duì)B?Y，記

f+(B)={x∈X:f(x)?B};f-(B)={x∈X:f(x)∩B≠?}.

對(duì)于X的子集K，Y的子集U，V，記

W+[K,U]={f∈M(X,Y):f(x)?U,x∈K};W-[K,V]={f∈M(X,Y):f(x)∩V≠?,x∈K}.

以所有形如W+[K,U]，W-[K,V]的集為子基生成M(X,Y)的拓?fù)銽k稱(chēng)為緊開(kāi)拓?fù)?，其中K為X的緊子集，U，V為Y的開(kāi)子集[6].

記Ck(X,R)為X到R上的所有點(diǎn)緊致的連續(xù)集值映射族，并且賦予緊開(kāi)拓?fù)?，Ck(X,R)簡(jiǎn)記為Ck(X).

2 主要結(jié)果

空間X的tightness定義為t(X)=sup{t(X,x):x∈X}，其中X在x的tightness定義為t(X,x)=0+min{λ:對(duì)于X的子集Y，若則存在Y的子集Z，使得|Z|≤λ且}.

空間X的fan tightness定義為ft(X)=sup{ft(X,x):x∈X}，其中X在x的fan tightness定義為ft(X,x)=0+min{λ:對(duì)于X的子集列{An}和存在An的子集Bn，使得|Bn|≤λ且}.

易見(jiàn)，第一可數(shù)空間?可數(shù)強(qiáng)fan tightness?可數(shù)fan tightness空間?可數(shù)tightness空間.

空間X的子集族U稱(chēng)為X的k覆蓋[3]，若對(duì)于每一個(gè)緊子集K?X，存在U∈U，使得K?U.若集族U由空間X的開(kāi)子集組成，則U稱(chēng)為X的開(kāi)k覆蓋.

定義2對(duì)于任意非空A,B?R，定義

ρ(x,A)=inf{|x-y|:y∈A}，

ρ(A,B)=sup{ρ(x,B):x∈A}，

d(A,B)=sup{ρ(A,B),ρ(B,A)}，

對(duì)于x∈R，記d(x,A)=d({x},A).

定義3設(shè)ψ是拓?fù)淇臻g族，令∏Yα∈ψYα是空間族ψ的Tychonoff積拓?fù)洌瑢?duì)于每一個(gè)Yα∈ψ，令pYα:∏Yα∈ψYα→Yα是投影映射.若X是拓?fù)淇臻g，定義集值拓?fù)浞e映射T:M(X,∏Yα∈ψYα)→∏Yα∈ψM(X,Yα)為：對(duì)于每一個(gè)f∈M(X,∏Yα∈ψYα)和Yα∈ψ，有pM(X,Yα)°T(f)=pYα(f).

引理1[5]設(shè)ψ是拓?fù)淇臻g族，X是拓?fù)淇臻g，則集值拓?fù)浞e映射T:Ck(X,∏Yα∈ψYα)→∏Yα∈ψCk(X,Yα)為同胚映射.

定理1對(duì)于空間X，下列條件是等價(jià)的：

1)sft(Ck(X))=0;

3) 對(duì)于X的每一個(gè)開(kāi)k覆蓋列{Un}n∈N，都存在Un∈Un，使得{Un}n∈N是X的開(kāi)k覆蓋.

證明1)?3) 設(shè){Un}n∈N是空間X的開(kāi)k覆蓋列，對(duì)于每一個(gè)n∈N，令

An={f∈Ck(X):存在U∈Un，使得f(X-U)?{0}}.

下面證明An是Ck(X)的稠密子集.設(shè)

為Ck(X)的基中的開(kāi)集，其中K∈K(X)，V1,V2,…,Vk為R中的開(kāi)集.因?yàn)閁n是X的開(kāi)k覆蓋，存在U∈Un，使得K?U.設(shè)f∈W[K,V1,V2,…,Vk]，則

〈UΔ〉={K∈H(R):K?∪UΔ,K∩U≠?,U∈UΔ}

形式.這樣乘積空間Rω上的緊子集超空間(H(R))ω的基為形如

W[A,Vn]={g∈Ck(X,Rω):g(A)∈Vn}，

存在g∈An∩W[A,Vn]，使得A?{x:g(x)∈Vn}∈Vn.令M={n∈N:X∈Vn}.若M為無(wú)限集，則對(duì)于f的任意鄰域W[A,〈U1,U2,…,Uk〉]，因?yàn)閒(A)為緊的，由文獻(xiàn)[7]的28.10-28.11可知R是可數(shù)型的，從而Rω是可數(shù)型的，可設(shè)f(A)的局部基VA?{Vn:n∈N}是遞縮的，而〈U1,U2,…,Uk〉為含f(A)的開(kāi)集，故存在空間(H(R))ω的基中開(kāi)集Vm∈VA(m∈M)，使得對(duì)于每一個(gè)x∈A，有

f(x)∈Vm?〈U1,U2,…,Uk〉，

[1] Sakai M. Property C″and function spaces[J]. Proc Amer Math Soc,1988,104:917-919.

[2] Mccoy R A, Ntantu I. Topological properties of spaces of continuous functions(Lecture Notes in Math,No.1315)[M]. Berlin: Springer-Verlag,1988.

[3] 林壽.度量空間與函數(shù)空間的拓?fù)鋄M].北京:科學(xué)出版社，2004.

[4] Engelking. General topology[M]. Warszwa: Polish Scientific Pubilishers,1977.

[5] Li Zuquan. Tightness and fan tightness on multifunction spaces[J]. J Math Res Exposition,2008,28(4):1007-1012.

[6] 張紅，楊麗華，李祖泉.集值映射空間的可數(shù)性和度量化[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,8(3):180-183.

[7] 兒玉之宏，永見(jiàn)啟應(yīng).拓?fù)淇臻g論[M].北京:科學(xué)出版社，2004:152-153.