兩兩NQD序列部分和之和的強(qiáng)大數(shù)定律

章 茜，王張燕，何思思，曾 艷

(杭州師范大學(xué) 理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

0 引 言

(1)

眾所周知,長期以來,人們立足于研究隨機(jī)變量序列部分和Sn的極限性質(zhì),卻很少有關(guān)于部分和之和Tn極限性質(zhì)的討論.事實(shí)上,研究隨機(jī)變量序列部分和之和Tn的極限性質(zhì),在理論和實(shí)踐中均是有必要的.最初對Tn的研究,是Resnick[1]以及Arnold[2]等在研究記錄值的極限理論時發(fā)現(xiàn).而在實(shí)際問題中,如隨機(jī)游動、破產(chǎn)理論及時間序列理論均有必要研究“部分和之和”.基于此,蘇淳、江濤等[3-4]分別研究了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列“部分和之和”的強(qiáng)、弱大數(shù)定律和中心極限定理,得到部分和之和Tn與部分和Sn有一致的收斂條件,但這僅限于隨機(jī)變量為獨(dú)立列的情形.文獻(xiàn)[5]又討論了NA隨機(jī)變量的指數(shù)不等式和一個強(qiáng)大數(shù)律.

受以上啟發(fā),在此嘗試著討論兩兩NQD序列部分和之和的強(qiáng)大數(shù)定律.

定義1(部分和之和Tn的強(qiáng)大數(shù)定律) 設(shè){Xi,i≥1}為一列隨機(jī)變量序列,如果存在常數(shù)序列{an}和正常數(shù)序列{bn},其中設(shè)b0=0，bn→∞(n→∞),使得

(2)

成立.

文中恒設(shè)N是自然數(shù)集,IA為集合A的示性函數(shù).約定C為正常數(shù)且在不同的地方可以代表不同的值.

1 主要結(jié)果

(3)

的充要條件是

(4)

(5)

2 定理的證明

定理的證明需要下面的一些引理.

引理1[6]設(shè)隨機(jī)變量X和Y是NQD的,則

1)EXY≤EXEY.2)對任意x,y∈R都有P(X

3)如f,g同為非降(或非增)函數(shù),則f(X)與g(Y)仍為NQD的.

1){Xn}和{Yn}是尾列等價的,即P(Xn≠Yn,i.o.)=0;2){Xn}和{Yn}是收斂等價的.

引理3[8](推廣的Barel-Cantelli引理)

引理4[9]設(shè){bn}是一列正數(shù)且bn↑∞,則存在子列{kn}?N,使得

2bkn≤bkn+1≤8bkn+1.

(6)

則

(7)

從而由引理2可知只需證

(8)

為此先證

(9)

因?yàn)閎n↑∞,由引理4可知存在{kn}?N使得2bkn≤bkn+1≤8bkn+1.令li=min{n:kn≥i},i≥1.?ε>0,由Chebyshev不等式有

(10)

由引理3知

獎懲機(jī)制不完善是企業(yè)全面預(yù)算管理工作在開展過程中遇到的主要問題。因此，企業(yè)要加強(qiáng)對獎懲機(jī)制建立工作的重視，結(jié)合全面預(yù)算管理工作涉及的各個領(lǐng)域，綜合員工的工作狀態(tài)和工作積極性等因素，建立科學(xué)的獎懲機(jī)制，使員工加強(qiáng)對預(yù)算工作的重視。同時企業(yè)在經(jīng)營過程中還可以將預(yù)算執(zhí)行狀況和員工的經(jīng)濟(jì)效益以及部門效益結(jié)合起來，利用獎懲結(jié)合的手段，合理開展各項(xiàng)預(yù)算管理工作，提高員工參與預(yù)算管理工作的積極性，推動企業(yè)全面預(yù)算管理工作合理開展。企業(yè)還要加大對于新人才的重視，及時引入高素質(zhì)人才，推動其不斷完善全面預(yù)算管理模式，調(diào)動員工的工作積極性，將全面預(yù)算管理工作的各項(xiàng)要求落實(shí)到實(shí)處，提高企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。

(11)

又由于

由Kronecker引理及式(6)知，當(dāng)k→∞時,T1→0.又因?yàn)?/p>

由Kronecker引理知，當(dāng)k→∞時,有T2→0.從而

(12)

從而由式(11)可得

(13)

于是有

下面證明必要性.必要條件證明過程與上述引理相似.

從而由引理2可知只需證

(14)

為此先證

(15)

因?yàn)閎n↑∞，由引理4可知存在{kn}?N使得

2bkn≤bkn+1≤8bkn+1.

令li=min{n:kn≥i},i≥1.?ε>0,由Chebyshev不等式有

(16)

由引理3知

(17)

又由于

由條件(3)知T1→0,k→∞,

由前面引理5的相應(yīng)部分證明可知，T2→0,k→∞.從而

(18)

從而由式(17)可得，當(dāng)k→∞時,

因此有

定理2的證明由關(guān)系式(1),有

[1] Resnick S L. Limit laws for record values[J]. Stochastic Processes and Their Applications,1973(1):67-82.

[2] Arnold B C, Villasenor J A. The asymptotic distributions of sums of record[J]. Extremes,1998(1):351-363.

[3] 江濤，蘇淳，唐啟鶴.I.I.D隨機(jī)變量部分和之隨機(jī)和的極限定理[J].中國科技大學(xué)學(xué)報,2001,31(4):394-399.

[4] 江濤,林日其.I.I.D隨機(jī)變量部分和之和的極限定理[J].淮南工業(yè)學(xué)院學(xué)報,2002,22(2):73-78.

[5] 王洪春.NA隨機(jī)變量的指數(shù)不等式和一個強(qiáng)大數(shù)律[J].浙江大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2000,27(1):20-25.

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[7] 甘師信.B值隨機(jī)元陣列加權(quán)和的收斂性及大數(shù)定律[J].武漢大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,1997,43(5):569-574.

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[9] Wittmann R. An application of Rosenthal’s moment inequality to the strong law of large numbers[J]. Statistics & Probability Letters,1985(3):131-133.