一類鞅差序列加權(quán)和的Baum-Katz大數(shù)定律的精確漸近性

何思思，王文勝

(杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

1 引言及主要結(jié)果

而隨機(jī)變量列的強(qiáng)收斂性質(zhì)的研究也是近代概率極限理論研究的熱門方向之一，近年來，許多學(xué)者對隨機(jī)變量列的精確漸近性作了大量深入的研究，Gut和Sp?taru[1]給出了獨立隨機(jī)變量列的精確漸近性，Mi[2]給出了PA列的精確漸近性，Tan[3]給出了PA列生成線性過程的精確漸近性.

可以得出以下定理:

(1)

(2)

{cnk:1≤k≤n}為雙下標(biāo)常數(shù)列，

(3)

(4)

(5)

則對?1≤p

其中Z服從均值為0，方差為σ2的正態(tài)分布.

2 引 理

(6)

故由鞅差序列不等式[4]、式(6)及已知，對任意s>2，有

(7)

故引理1成立.

3 定理1的證明

定理1的證明可由以下4個命題得證.不失一般性，令σ=1.

命題1對?1≤p

其中，Z服從均值為0，方差為1的正態(tài)分布.

證明見文獻(xiàn)[2]中命題3.1.

命題3對?1≤p1，關(guān)于ε>0一致地有

證明見文獻(xiàn)[2]中命題3.3.

證明在定理1的條件下，由引理1可知，對任意s>2，存在不依賴于n的常數(shù)B，使得對任意n≥1，有

E|Sn|s≤Bns/2.

于是，由Markov不等式，有

因此命題成立.

結(jié)合上面4個命題，定理1得證.

4 定理2的證明

定理2的證明可由以下4個命題得證.

命題5對任意1≤p<2，有

證明見文獻(xiàn)[2]中命題4.1.

命題7對任意1≤p<2及p<β<2，有

證明見文獻(xiàn)[2]中命題4.3.

證明類似于命題4，由Markov不等式，有

余下證明同文獻(xiàn)[2]中命題4.4.

結(jié)合上面4個命題，定理2得證.

[1] Gut A, Sp?taru A. Precise asmptotics in the Baum-Katz and Davis law of large numbers[J]. J Math Anal Appl,2000a,248:233-246.

[2] Mi Chenjing. Precise asymptotics in the Baum-Katz and Davis law of large numbers for positively associated sequences[J]. Appl Math J Chinese Univ Scr B,2005,20(2):197-204.

[3] Tan Xili. A general result on precise asymptotics for linear processes of positively associated sequences[J]. Appl Math J Chinese Univ Scr B,2008,23(2):190-196.

[4] 林正炎，陸傳榮，蘇中根.概率極限理論基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1999:234.

[5] 胡舒合.鞅差序列加權(quán)和的中心極限定理[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2001,24(4):539-546.